Fiche de mathématiques

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Voie technologique - 2e sujet

PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES - QCM (6 pts)

1. Un article coûte 400 euros. Le prix augmente de 20%. Le nouveau prix est 480 euros.

En effet, le coefficient multiplicateur correspondant à une augmentation de 20% est $\overset{ { \white{ _. } } } { 1+\dfrac{20}{100}=1+0,2=1,2. }$
Le prix de l'article après augmentation est donc égal à $\overset{ { \white{ _. } } } { 1,2\times400=480 . }$
Par conséquent, le nouveau prix de l'article est 480 euros.
La réponse correcte est donc la réponse b.

2. Un sac coûte 130 euros. Le prix baisse de 10%. Le nouveau prix est $\overset{ { \white{ . } } }{{\red{ \mathbf{130\times 0,9}. }} }$

En effet, le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de 10% est $\overset{ { \white{ . } } } { 1-\dfrac{10}{100}=1-0,1=0,9. }$
Donc le nouveau prix en euros est $\overset{ { \white{ . } } }{{{ 130\times 0,9. }} }$
La réponse correcte est donc la réponse d.

3. Le prix d'un article est noté $\overset{ { \white{ _{_.} } } } { P. }$ Il connaît deux augmentations de 20%.
${ \white{ xx } }$ Le prix après ces augmentations est $\overset{ { \white{ _. } } }{{\red{ P\times 1,2^2. }} }$

En effet, le coefficient multiplicateur correspondant à une augmentation de 20% est $\overset{ { \white{ _. } } } { 1+\dfrac{20}{100}=1+0,2=1,2. }$
Dès lors, le prix après une augmentation est $\overset{ { \white{ _. } } } { P \times1,2. }$
Par suite, le prix après une seconde augmentation est $\overset{ { \white{ _. } } } { (P \times1,2)\times 1,2=P\times 1,2^2 }$

Nous en déduisons que le prix après ces deux augmentations est $\overset{ { \white{ _. } } }{{{ P\times 1,2^2. }} }$
La réponse correcte est donc la réponse d.

4. Lors d'une élection, le quart des électeur a voté pour A, 20% a voté pour B, un tiers a voté pour C et le reste a voté pour D.
${ \white{ xx } }$ Le candidat ayant recueilli le moins de votes est B.

Déterminons d'abord la proportion notée $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ , des électeurs ayant voté pour D.

Nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac 14+\dfrac{20}{100}+\dfrac 13+x=1\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac 14+\dfrac{1}{5}+\dfrac 13+x=1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac 14+\dfrac{20}{100}+\dfrac 13+x=1}\quad\Longleftrightarrow\quad x=1-\dfrac 14-\dfrac{1}{5}-\dfrac 13} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac 14+\dfrac{20}{100}+\dfrac 13+x=1}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{60}{60}-\dfrac{15}{60}-\dfrac{12}{60}-\dfrac{20}{60}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac 14+\dfrac{20}{100}+\dfrac 13+x=1}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=\dfrac{13}{60}}}$
Donc $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{13}{60} }$ des électeurs a voté pour D.
Comparons ces quatre proportions.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Proportions des électeurs ayant voté pour A : $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac 14 = \dfrac{15}{60} }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Proportions des électeurs ayant voté pour B : $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac {20}{100}=\dfrac {1}{5} = \dfrac{12}{60} }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Proportions des électeurs ayant voté pour C : $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac 13 = \dfrac{20}{60} }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Proportions des électeurs ayant voté pour A : $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{13}{60} }$

Nous obtenons ainsi : $\overset{ { \white{ _. } } } { {\red{\dfrac{12}{60}}}<\dfrac{13}{60}<\dfrac{15}{60} <\dfrac{20}{60}. }$
Par conséquent, le candidat ayant recueilli le moins de votes est le candidat B.
La réponse correcte est donc la réponse b.

5. On considère $\overset{ { \white{ \frac{v^2}{-} } } } { A=\dfrac{2}{1-\dfrac 23}\,. }$ On a : $\overset{ { \white{ _. } } }{{\red{ A=6. }} }$
En effet,

${ \white{ xxi } }$ $A=\dfrac{2}{1-\dfrac 23} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A}=\dfrac{2}{\dfrac 13} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A}=2\times\dfrac 31 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A}=6} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{A=6}$
La réponse correcte est donc la réponse c.

6. On considère $\overset{ { \white{ _. } } } { A=\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{1000} . }$ On a : $\overset{ { \white{ _. } } }{{\red{ A=0,011. }} }$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $A=\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{1000} \\\overset{ { \white{ O. } } } { \phantom{ A}=0,01+0,001}\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A}=0,010+0,001} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ A}=0,011} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{A=0,011}$
La réponse correcte est donc la réponse d.

7. Une durée de 75 minutes correspond à 1,25 heure.

En effet, 75 minutes = 60 minutes + 15 minutes.
Or $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\white{x}}$ 60 minutes correspondent à 1 heure.
${ \white{ xx.} }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\white{x}}$ 15 minutes correspondent à $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac 14 }$ d'une heure, soit 0,25 heure.

Par conséquent, 75 minutes correspondent à 1,25 heure.
La réponse correcte est donc la réponse b.

8. $\overset{ { \white{ } } } { 10^{30}+10^{-30} }$ est environ égal à $\overset{ { \white{ } } }{{\red{ 10^{30}. }} }$

En effet, $\overset{ { \white{ } } } { 10^{-30}\approx 0 }$ et est négligeable face à $\overset{ { \white{ } } } { 10^{30}. }$

D'où $\overset{ { \white{ } } } { 10^{30}+10^{-30} \approx 10^{30}. }$
La réponse correcte est donc la réponse c.

9. La seule droite pouvant correspondre à l'équation $\overset{ { \white{. } } } { y=-2x+5 }$ est la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { {\red{D_3}}. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le coefficient directeur de cette droite est égal à -2 et est donc négatif.
Dès lors, la fonction affine correspondant à cette droite est décroissante.
Visuellement, cette droite doit "descendre" de gauche à droite, ce qui n'est pas le cas pour les droites $\overset{ { \white{ _. } } } { D_1 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D_2 }$ que nous excluons de la réponse.

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$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ L'ordonnée à l'origine de la droite est égal à 5 et est donc positif.
Dès lors, la droite doit couper l'axe des ordonnées en un point dont l'ordonnée est positive, ce qui n'est pas le cas pour la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { D_4 }$ que nous excluons de la réponse.

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$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Par conséquent, la seule droite pouvant correspondre à l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { y=-2x+5 }$ est la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { D_3. }$

La réponse correcte est donc la réponse c.

10. La solution de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { 3x=0 }$ est $\overset{ { \white{ _. } } }{{\red{x=0. }} }$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $3x=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac 03 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 3x=0 } \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=0} }$
La réponse correcte est donc la réponse d.

11. La solution de l'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{144}{x}=9 }$ est $\overset{ { \white{ _. } } }{{\red{x=\dfrac{144}{9}. }} }$

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{144}{x}=9\quad\Longleftrightarrow\quad 144=9x \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{144}{x}=9} \quad\Longleftrightarrow\quad 9x=144 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{144}{x}=9} \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=\dfrac{144}{9}} }$
La réponse correcte est donc la réponse c.

12. Voici les notes sur vingt obtenues par un élève en mathématiques :

${ \white{ WWWWW } }$ $\begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline\overset{ { \white{ _. } } } { \text{Note}}&&10&&&13&&&12&&&x&\\\hline\overset{ { \white{ _. } } } { \text{Coefficient}}&&1&&&1&&&1&&&2&\\\hline\end{array}$

Pour que la moyenne de l'élève soit égale à 15, $\overset{ { \white{ . } } }{{\red{ x }} }$ doit valoir 20.

En effet, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac{10\times1+13\times1+12\times1+x\times2}{1+1+1+2}=15\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{10+13+12+2x}{5}=15 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{10\times1+13\times1+12\times1+x\times2}{1+1+1+2}=15}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{35+2x}{5}=15 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{10\times1+13\times1+12\times1+x\times2}{1+1+1+2}=15}\quad\Longleftrightarrow\quad 35+2x=5\times15 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac{10\times1+13\times1+12\times1+x\times2}{1+1+1+2}=15}\quad\Longleftrightarrow\quad 35+2x=75 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \dfrac{10\times1+13\times1+12\times1+x\times2}{1+1+1+2}=15}\quad\Longleftrightarrow\quad 2x=40 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ \dfrac{10\times1+13\times1+12\times1+x\times2}{1+1+1+2}=15}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=20} }$

D'où pour que la moyenne de l'élève soit égale à 15, $\overset{ { \white{ . } } }{x }$ doit valoir 20.
La réponse correcte est donc la réponse a.

DEUXIÈME PARTIE (14 pts)

X points

exercice 1

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, nous devons indiquer si elle est VRAIE ou FAUSSE en justifiant la réponse.

1. On considère une suite arithmétique $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ de raison $\overset{ { \white{ _. } } } { r=\dfrac 12. }$
${ \white{ xx } }$ On sait que $\overset{ { \white{ _. } } } { u_{50}=1000. }$

${ \white{ xx } }$ Affirmation 1 : $\overset{ { \white{ _. } } } { u_{60}=1005. }$
${ \white{ xx } }$ Affirmation VRAIE.

En effet, en utilisant la formule $\overset{ { \white{ _. } } } { u_p=u_q+(p-q)\times r }$ , nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $u_{60}=u_{50}+(60-50)\times\dfrac 12\quad\Longleftrightarrow\quad u_{60}=1000+10\times\dfrac 12 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{60}=u_{50}+(60-50)\times\dfrac 12}\quad\Longleftrightarrow\quad u_{60}=1000+5} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{60}=u_{50}+(60-50)\times\dfrac 12}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{u_{60}=1005}}$

2. On considère une suite géométrique $\overset{ { \white{ _. } } } { (u_n) }$ de raison $\overset{ { \white{ o } } } { q }$ positive.
${ \white{ xx } }$ On sait que $\overset{ { \white{ _. } } } { u_{100}=5 }$ et que $\overset{ { \white{ _. } } } { u_{102}=20 }$

${ \white{ xx } }$ Affirmation 2 : $\overset{ { \white{ _. } } } { u_{99}=2,5. }$
${ \white{ xx } }$ Affirmation VRAIE.

En effet, en utilisant la formule $\overset{ { \white{ _. } } } { u_p=u_t\times\times q^{p-t} }$ , nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $u_{102}=u_{100}\times q^{102-100}\quad\Longleftrightarrow\quad 20=5\times q^2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{102}=u_{100}\times q^{102-100}}\quad\Longleftrightarrow\quad q^2=\dfrac{20}{5}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{102}=u_{100}\times q^{102-100}}\quad\Longleftrightarrow\quad q^2=4} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{102}=u_{100}\times q^{102-100}}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{q=2}\quad\text{car }q\geq0}$

Nous obtenons alors :

${ \white{ xxi } }$ $u_{100}=u_{99}\times q\quad\Longleftrightarrow\quad 5=u_{99}\times 2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{100}=u_{99}\times q}\quad\Longleftrightarrow\quad u_{99}=\dfrac{5}{2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ u_{100}=u_{99}\times q}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{u_{99}=2,5}}$

3. Affirmation 3 : Il est possible de trouver au moins un réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ tel que $\overset{ { \white{ } } } { x+x=x^2. }$
Affirmation VRAIE.

Par évidence, nous avons : $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{x=0} }$ car $\overset{ { \white{ } } } { 0+0=0^2. }$

4. On lance deux pièces équilibrées.
${ \white{ xx } }$ On gagne si les deux pièces tombent du même côté.

${ \white{ xx } }$ Affirmation 4 : On a une chance sur quatre de gagner.
${ \white{ xx } }$ Affirmation FAUSSE.

Considérons les événements suivants :
${ \white{ xx } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ P : ''la pièce tombe sur PILE''
${ \white{ xx } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ F : ''la pièce tombe sur FACE''

Dressons un arbre de probabilité représentant la situation.

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Nous obtenons ainsi :

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ La probabilité d'obtenir deux fois ''PILE'' est égale à $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac 12 \times \dfrac 12=\dfrac 14 }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ La probabilité d'obtenir deux fois ''FACE'' est égale à $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac 12 \times \dfrac 12=\dfrac 14 }$

Les événements 'obtenir deux fois PILE' et 'obtenir deux fois FACE' sont incompatibles.
Dès lors, la probabilité que les deux pièces tombent du même côté est égale à $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac 14 + \dfrac 14 = \dfrac 24. }$
Nous avons donc deux chances sur quatre de gagner et au lieu d'une chance sur quatre comme annoncé dans l'affirmation 4.

X points

exercice 2

On considère la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=-x^2+6x-5. }$

1. Nous devons calculer l'image de 0 et de 3 par la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f. }$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\quad f(0)=-0^2+6\times 0 -5 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\quad f(0)}=0+0-5 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\quad f(0)}=-5 } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{f(0)=-5}$

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\quad f(3)=-3^2+6\times 3 -5 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\quad f(3)}=-9+18-5 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \bullet\quad f(3)}=4 } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{f(3)=4}$

2. Nous devons montrer que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ , on a : $\overset{ { \white{ _. } } } { (x-1)(5-x)=-x^2+6x-5. }$

En effet, pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $(x-1)(5-x)=5x-x^2-5+x \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (x-1)(5-x)}=-x^2+5x+x-5 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (x-1)(5-x)}=-x^2+6x-5 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{(x-1)(5-x)=-x^2+6x-5 }$

3. Nous devons en déduire les antécédents de 0 par la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f. }$

Les antécédents de 0 par la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sont les valeurs de $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ telles que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=0. }$

$\text{Or }\quad f(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad -x^2+6x-5 =0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad f(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad (x-1)(5-x) =0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad f(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x-1=0\quad\text{ou}\quad5-x =0 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Or }\quad f(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=1\quad\text{ou}\quad x=5} }$

Par conséquent, les antécédents de 0 par la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sont 1 et 5.

4. Nous devons montrer que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ , on a : $\overset{ { \white{ _. } } } { 4-(x-3)^2=-x^2+6x-5. }$

En effet, pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x } ,$

${ \white{ xxi } }$ $4-(x-3)^2=4-(x^2-6x+9) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 4-(x-3)^2}=4-x^2+6x-9 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 4-(x-3)^2}=-x^2+6x-5 } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{4-(x-3)^2=-x^2+6x-5 }$

5. Nous devons déterminer s'il est possible de trouver un réel $\overset{ { \white{ _. } } } { x }$ tel que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)>4. }$

Pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $(x-3)^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad -(x-3)^2\leq 0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (x-3)^2\geq 0}\quad\Longrightarrow\quad 4-(x-3)^2\leq 4 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (x-3)^2\geq 0}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(x)\leq 4} }$

Nous en déduisons qu'il est impossible de trouver un réel $\overset{ { \white{ _. } } } { x }$ tel que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)>4. }$

6. Nous devons réaliser un schéma donnant l'allure de la courbe de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur lequel apparaîtront les résultats des questons 1., 3. et 5.

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est une fonction polynôme du second degré.
La courbe représentant la fonction est donc une parabole.

Dans la question 1., nous avons montré que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(0)=-5 }$ et que $\overset{ { \white{ _. } } } { f(3)=4. }$
Dès lors, la parabole passe par les points de coordonnées (0 ; -5) et (3 ; 4).

Les antécédents de 0 par la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sont 1 et 5.
Donc la parabole passe par les points de coordonnées (1 ; 0) et (5 ; 0).

Dans la question 5., nous avons montré que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x\,, \quad f(x)\leq 4.}$
Par conséquent, le maximum de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est égal à 4.
Le point de coordonnées (3 ; 4) est donc le sommet de la parabole.

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X points

exercice 3

Un club d'escalade propose à ses 100 adhérents deux séances par semaine : lundi, jeudi.
À chacune des séances, chaque adhérent est libre de venir ou pas.

Le tableau ci-dessous récapitule les choix des adhérents une semaine donnée.

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Exemple : le tableau montre que 45 adhérents sont venus lundi et jeudi.

1. Le nombre $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ représente le nombre d'adhérents venus le lundi et absents le jeudi.

En ne retenant que la ligne réservée aux nombres d'adhérents présents le lundi, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $45+x=75\quad\Longleftrightarrow\quad x = 75 - 45 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 45+x=75}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x = 30} }$

2. On choisit un adhérent au hasard.

2. a) Nous devons déterminer la probabilité qu'il s'agisse d'un adhérent qui n'est venu ni le lundi, ni le jeudi.

Nous lisons dans le tableau que 5 adhérents parmi les 100 adhérents ne sont venus ni le lundi, ni le jeudi.
Dès lors, la probabilité que l'adhérent choisi au hasard ne soit venu ni le lundi, ni le jeudi est égale à $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{5}{100}=0,05. }$

2. b) Nous devons déterminer la probabilité qu'il s'agisse d'un adhérent qui n'est venu qu'un seul jour.

Un adhérent n'est venu qu'un seul jour s'il est venu le lundi sans venir le jeudi (il y en a 30 dans ce cas) ou s'il est venu le jeudi sans venir le lundi (il y en a 20 dans ce cas).
Au total, il y a donc 50 adhérents sur les 100 adhérents qui ne sont venus qu'un seul jour.

Dès lors, la probabilité que l'adhérent choisi au hasard ne soit venu qu'un seul jour est égale à $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{50}{100}=0,5. }$

2. c) On sait à présent que l'adhérent choisi est venu le lundi.
${ \white{ WW } }$ Nous devons déterminer la probabilité qu'il soit également venu le jeudi.

Parmi les 75 adhérents venus le lundi, 45 d'entre eux sont venus le jeudi.

Dès lors, la probabilité que l'adhérent choisi au hasard soit venu le jeudi sachant qu'il est venu le lundi est égale à $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{45}{75}=\dfrac{3}{5}=0,6. }$

3. Chacun des adhérents verse au club une cotisation annuelle de 100 euros.

3. a) En 2026, le club compte 100 adhérents.
Le montant total des cotisations versées au club en 2026 est donc 100 fois 100 euros, soit 10 000 euros.

3. b) On suppose que, de 2026 (inclus) à 2041 (inclus), le montant de la cotisation reste stable mais que le nombre d'adhérents augmente régulièrement de 5 unités chaque année.

${ \white{ WW } }$ Nous devons déterminer le montant total des cotisations versées au club entre 2026 et 2041.

Indication : on pourra utiliser la formule ci-dessous :

$a+(a+r)+(a+2r)+(a+3r)+\cdots+(a+nr)=\dfrac{2a+nr}{2}\times(n+1).$

Déterminons d'abord le nombre de personnes ayant versé une cotisation durant la période allant de 2026 (inclus) à 2041 (inclus).

${ \white{ xxi } }$ $100+(100+5)+(100+2\times5)+(100+3\times5)+\cdots+(100+15\times5) \\\\ {\white{ppppp}}= \dfrac{2\times100+15\times5}{2}\times(15+1) \\\\ {\white{ppppp}}= \dfrac{200+75}{2}\times16 \\\\ {\phantom{ppppp}}= \dfrac{275}{2}\times16 \\\\ {\phantom{ppppp}}= 275\times8 \\\\ {\phantom{ppppp}}=2200$

Par conséquent, de 2026 (inclus) à 2041 (inclus), il y a eu 2200 versements de 100 euros, soit un montant total de 220 000 euros.

_{Merci à Hiphigenie et malou pour avoir élaboré cette contribution.}

Publié par malou le 09-09-2025

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