Fiche de mathématiques

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Épreuve anticipée de mathématiques - Sujet 0

Spécialité Maths - 1er sujet

PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES - QCM (6 pts)

QUESTION 1 - Réponse b.
Le double d'un nombre réel $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { 2a }$ et l'inverse d'un nombre réel non nul $\overset{ { \white{ _. } } } { b }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac 1b. }$
Donc, le double de $\overset{ { \white{ _. } } } { 5 }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { 2\times 5=10 }$ et l'inverse du double de 5 est $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{1}{10} . }$

QUESTION 2 - Réponse a.
On considère la valeur $\overset{ { \white{ _. } } } { F=a+\dfrac{b}{cd}.}$
Calculons $\overset{ { \white{ _. } } } { F }$ lorsque $\overset{ { \white{ _. } } } { a=\dfrac 12,\,b=3,\,c=4, \d=-\dfrac 14. }$

${ \white{ xxi } }$ $F=a+\dfrac{b}{cd} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F}=\dfrac 12+\dfrac{3}{4\times(-\frac 14)} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F}=\dfrac 12+\dfrac{3}{-1} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F}=\dfrac 12-3 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F}=\dfrac 12-\dfrac 62 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ F}=-\dfrac 52 }$

QUESTION 3 - Réponse a.

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ le prix d'un article.
Supposons que ce prix soit multiplié par $\overset{ { \white{ _. } } } { 0,975. }$

Nous obtenons ainsi : $\overset{ { \white{ _. } } } { 0,975x=x-0,025x. }$

Donc $\overset{ { \white{ _. } } } { 0,975x }$ est égal à $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ diminué de $\overset{ { \white{ . } } } { 2,5 \% }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { x. }$

Par conséquent, si le prix d'un article est multiplié par $\overset{ { \white{ _. } } } { 0,975, }$ cela signifie que le prix de cet article a connu une baisse de $\overset{ { \white{ _. } } } { 2,5\%. }$

QUESTION 4 - Réponse c.

Le prix d'un article est noté $\overset{ { \white{ _. } } } { P. }$
Ce prix augmente de $\overset{ { \white{ _. } } } { 10\% . }$
Le coefficient multiplicateur est alors égal à $\overset{ { \white{ _. } } } { 1+0,1 = 1,1. }$

Après cette augmentation, le prix de l'article est : $\overset{ { \white{ _. } } } { 1,1\times P. }$
Ce prix diminue alors de $\overset{ { \white{ _. } } } { 10\% . }$
Le coefficient multiplicateur est alors égal à $\overset{ { \white{ _. } } } { 1-0,1 = 0,9. }$

Après cette diminution, le prix de l'article est : $\overset{ { \white{ _. } } } { 0,9\times(1,1\times P) = 0,99 P. }$

Donc à l'issue de ces deux variations, le nouveau prix est noté $\overset{ { \white{ _. } } } { P_1 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { P_1=0,99P. }$
Or sachant que $\overset{ { \white{ _. } } } { P }$ est un nombre réel positif, nous avons : $\overset{ { \white{ _. } } } { 0,99 P < P. }$

D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{P_1<P}\,. }$

QUESTION 5 - Réponse a.

On lance un dé à 4 faces. La probabilité d'obtenir chacune des faces est donnée dans le tableau ci-dessous :

${ \white{ xxi } }$ $\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline &&&\\\text{Face numéro 1}&\text{Face numéro 2}&\text{Face numéro 3}&\text{Face numéro 4}\\ &&& \\\hline &&&\\0,5&\dfrac 16&0,2&x\\&&&\\\hline \end{array}$

Nous devons rechercher la valeur de $\overset{ { \white{ . } } } { x. }$

La somme des probabilités des événements élémentaires est égale à 1.
Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $0,5+\dfrac 16+0,2+x=1\quad\Longleftrightarrow\quad x=1-0,7-\dfrac 16 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0,5+\dfrac 16+0,2+x=1}\quad\Longleftrightarrow\quad x=0,3-\dfrac 16 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0,5+\dfrac 16+0,2+x=1}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac {3}{10}-\dfrac 16} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0,5+\dfrac 16+0,2+x=1}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac {9}{30}-\dfrac {5}{30}}$
${ \white{ xxi } }$ $.\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0,5+\dfrac 16+0,2+x=1}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac {4}{30}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 0,5+\dfrac 16+0,2+x=1}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{ x=\dfrac {2}{15}}}$

QUESTION 6 - Réponse a.
On considère $\overset{ { \white{ o. } } } { x,\,y,\,u }$ des réels non nuls tels que $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac 1x + \dfrac 1y =\dfrac 1 u. }$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac 1 u=\dfrac 1x + \dfrac 1y \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac 1 u=\dfrac{y+x}{xy} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \dfrac 1x + \dfrac 1y=\dfrac 1 u}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{u=\dfrac{xy}{x+y}}\quad(\text{en supposant que }x+y\neq 0)}$

QUESTION 7 - Réponse b.

On a représenté ci-dessous la parabole d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { y=x^2. }$

Résoudre graphiquement l'inéquation $\overset{ { \white{ _. } } } { x^2 \geq 10 }$ revient à déterminer les abscisses des points de la parabole d'ordonnée supérieure ou égale à 10.

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Dès lors, nous obtenons : $\overset{ { \white{ _. } } } { x^2\geq 10\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x\leq -\sqrt{10}\quad\text{ou}\quad x\geq \sqrt{10}} }$

QUESTION 8 - Réponse d.

On a représenté ci-dessous une droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{D} }$ dans un repère orthonormé.

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Déterminons une équation de cette droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{D} . }$

L'équation réduite de $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{D} }$ est de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { y=ax+b. }$

Déterminons le coefficient directeur $\overset{ { \white{ _. } } } { a. }$
Par lecture graphique, la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr D }$ semble passer par les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A\,(0\;;\;2) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B\,( 3\;;\;0) }$

Dès lors, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ a }=\dfrac{0-2}{3-0} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ a }=-\dfrac{2}{3} } \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{a=-\dfrac 23}$

Déterminons l'ordonnée à l'origine $\overset{ { \white{ _. } } } { b. }$
Puisque $\overset{ { \white{ _. } } } { A\,(0\;;\;2) }$ appartient à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{D}, }$ l'ordonnée à l'origine est $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{b=2} }$
Nous en déduisons que l'équation réduite de $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{D} }$ est de $\overset{ { \white{ _. } } } { y=-\dfrac 23 x + 2. }$

Transformons cette équation car elle ne figure pas dans les propositions de l'énoncé.

${ \white{ xxi } }$ $y=-\dfrac 23 x + 2\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac 23 x + y - 2=0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ y=-\dfrac 23 x + 2}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac 13 x +\dfrac 12 y -1=0} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ y=-\dfrac 23 x + 2}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\dfrac x3 +\dfrac y2 -1=0}}$

QUESTION 9 - Réponse b.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Soit la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f_1 }$ une fonction définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } {x\mapsto x^2-(1-x)^2. }$

${ \white{ xxi } }$ $f_1(x)=x^2-(1-x)^2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f_1(x)}=x^2-(1-2x+x^2) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f_1(x)}=x^2-1+2x-x^2 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f_1(x)}=-1+2x } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ f_1(x)=2x-1 }$

Nous observons que $\overset{ { \white{ _. } } } { f_1(x) }$ est de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { f_1(x)=ax+b }$ avec $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { b }$ réels.
D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { f_1 }$ est une fonction affine.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Soit la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f_2 }$ une fonction définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } {x\mapsto \dfrac x2 -\left(1+\dfrac {1}{\sqrt 2}\right). }$

${ \white{ xxi } }$ $f_2(x)=\dfrac x2 -\left(1+\dfrac {1}{\sqrt 2}\right) \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ f_2(x)=\dfrac 12 x -\left(1+\dfrac {1}{\sqrt 2}\right)}$

Nous observons que $\overset{ { \white{ _. } } } { f_2(x) }$ est de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { f_2(x)=ax+b }$ avec $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { b }$ réels.
D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { f_2 }$ est une fonction affine.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Soit la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f_3 }$ une fonction définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } {x\mapsto \dfrac{5-\frac 23x}{0,7}. }$

${ \white{ xxi } }$ $f_3(x)=\dfrac{5-\frac 23x}{0,7} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f_3(x)}=\dfrac{5}{0,7}-\dfrac{2}{3\times 0,7}x } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f_3(x)}=\dfrac{5}{0,7}-\dfrac{2}{2,1}x } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f_3(x)}=\dfrac{50}{7}-\dfrac{20}{21}x } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ f_3(x)=-\dfrac{20}{21}x +\dfrac{50}{7}}$

Nous observons que $\overset{ { \white{ _. } } } { f_3(x) }$ est de la forme $\overset{ { \white{ _. } } } { f_3(x)=ax+b }$ avec $\overset{ { \white{. } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { b }$ réels.
D'où $\overset{ { \white{ _. } } } { f_3 }$ est une fonction affine.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Par conséquent, les trois fonctions proposées dans l'énoncé sont des fonctions affines.

QUESTION 10 - Réponse c.

On a représenté ci-dessous une parabole $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{P}. }$

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Cette parabole coupe l'axe des ordonnées en un point d'ordonnée positive.
La seule fonction susceptible d'être représentée par la parabole $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr P }$ est la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } {x\mapsto -x^2+10. }$
En effet, l'image de 0 par cette fonction est égale à 10 et par suite, la parabole représentant cette fonction coupe alors l'axe des ordonnées au point de coordonnées $\overset{ { \white{ _. } } } { (0\;;\;10). }$

Les fonctions définies en a., b. et d. sont représentées par des paraboles coupant l'axe des ordonnées aux points de coordonnées respectives $\overset{ { \white{ _. } } } { (0\;;\;-10),\;(0\;;\;-10) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { (0\;;\;0), }$ ce qui n'est manifestement pas le cas sur la figure.

Par conséquent, la réponse correcte est la réponse c.

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DEUXIÈME PARTIE (14 pts)

X points

exercice 1

On considère la figure suivante, représentée dans un repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } { (O;\,\vec i\,;\,\vec j). }$

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On dispose des données suivantes :

${ \white{ xxi } }$ - Le quadrilatère $\overset{ { \white{ _. } } } { OABC }$ est un carré de côté 4 ;
${ \white{ xxi } }$ - On a : $\overset{ { \white{ _. } } } { A(4;0)\,,\,B(4;4)\,,\,C(0;4)\,,\,I(4;3) ; }$
${ \white{ xxi } }$ - Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ est le projeté orthogonal du point $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ sur la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (OI); }$
${ \white{ xxi } }$ - On note $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr E }$ le cercle de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { D(2;2) }$ et de rayon 0,5.

1. a) Déterminons les coordonnées des vecteurs $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{OI} }$ et $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{OC} . }$

Nous avons : $\overset{ { \white{ _. } } } { I(4;3)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow{OI}\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}} }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { C(0;4)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow{OC}\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}} }$

1. b) Nous devons en déduire le produit scalaire $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{OC} . }$

Puisque le repère $\overset{ { \white{ _. } } } { (O;\,\vec i\,;\,\vec j) }$ est orthonormé, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{OC}=4\times0+3\times4\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{OC}=12}$

2. a) Exprimons le produit scalaire $\overset{ { \white{ } } } { \overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{OC} }$ en fonction des longueurs $\overset{ { \white{ _. } } } { OH }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { OI. }$

Par définition, le point $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ est le projeté orthogonal du point $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ sur la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (OI). }$
Dès lors, $\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{OH}$

Or $\overrightarrow{OI}$ et $\overrightarrow{OH}$ sont deux vecteurs colinéaires de même sens.

Par conséquent, $\boxed{\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{OC}=OI\times OH}$

2. b) Nous devons calculer la longueur $\overset{ { \white{ _. } } } { OI. }$

${ \white{ xxi } }$ $\overrightarrow{OI}\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad OI=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25} \\ \phantom{ \overrightarrow{OI}\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{OI=5}$

2. c) Nous devons en déduire que $\overset{ { \white{ _. } } } { OH=2,4. }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{OC}=12\\\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{OC}=OI\times OH \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{OI\times OH=12}$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}OI\times OH=12\\OI=5\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad 5\times OH=12 \\\phantom{\begin{cases}OI\times OH=12\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad OH=\dfrac{12}{5} \\\phantom{\begin{cases}OI\times OH=12\\OI=5\end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{OH=2,4}$

3. a) Nous devons déterminer une équation cartésienne de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (CH). }$

Puisque le point $\overset{ { \white{ _. } } } { H }$ est le projeté orthogonal du point $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ sur la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (OI), }$ nous en déduisons que le vecteur $\overset{ { \white{.o } } } { \overrightarrow{OI} \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix} }$ est un vecteur normal à la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (CH). }$
D'où une équation de la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(CH) }$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } {4x+3y+c=0 }$ où $\overset{ { \white{ _. } } } {c }$ est un nombre réel.

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {C(0\;;\;4) }$ appartient à cette droite.
Donc $\overset{ { \white{ . } } } {0+3\times4+c=0, }$ soit $\overset{ { \white{ _. } } } {c=-12. }$

Par conséquent, une équation cartésienne de la droite $\overset{ { \white{ . } } } {(CH) }$ est $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{4x+3y-12=0}\,. }$

3. b) Déterminons une équation du cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr E . }$

Une équation du cercle de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega\,(a\;;\;b) }$ et de rayon $\overset{ { \white{ . } } } { r }$ est : $\overset{ { \white{ _. } } } { (x-a)^2+(y-b)^2=r^2. }$

D'où une équation du cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr E }$ de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { D(2;2) }$ et de rayon 0,5 est : $\overset{ { \white{ _. } } } { (x-2)^2+(y-2)^2=0,5^2. }$

Développons cette équation.

${ \white{ xxi } }$ $(x-2)^2+(y-2)^2=0,5^2\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-4x+4+y^2-4y+4=0,25 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ (x-2)^2+(y-2)^2=0,5^2} \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x^2+y^2-4x-4y+7,75=0 }}$

Par conséquent, une équation du cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr E }$ est : $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{x^2+y^2-4x-4y+7,75=0 } }$

3. c) Déterminons si le point $\overset{ { \white{ _. } } } {M\,(1,5\;;\;2) }$ appartient à l'intersection du cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr E }$ et de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (CH). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ vérifient l'équation du cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr E. }$

En effet, $\overset{ { \white{ _. } } } { 1,5^2+2^2-4\times 1,5-4\times2+7,75=2,25+4-6-8+7,75\;{\red{=0}} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Montrons que les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ vérifient l'équation de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (CH). }$

En effet, $\overset{ { \white{ _. } } } { 4\times1,5+3\times2-12=6+6-12\;{\red{=0}} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Par conséquent, le point $\overset{ { \white{ _. } } } {M\,(1,5\;;\;2) }$ appartient à l'intersection du cercle $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr E }$ et de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (CH). }$

X points

exercice 2

On se place dans un repère $\overset{ { \white{ _. } } } { (O;\vec i;\vec j) }$ orthogonal.

1. On considère la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ définie pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { g(x)=x^2-5x+4. }$
On note $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr P }$ la courbe représentative de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g. }$

1. a) Nous devons étudier le signe de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R. }$

${ \white{ xxi } }$ $\underline{\text{Discriminant de } x^2-5x+4}:\quad\Delta=(-5)^2-4\times1\times4 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Discriminant de } x^2-5x+4:\Delta\quad}=25-16} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Discriminant de } x^2-5x+4:\Delta\quad}=9>0}$

${ \white{ xxi } }$ $\underline{\text{Racines de } x^2-5x+4}:\quad x_1=\dfrac{5-\sqrt 9}{2}=\dfrac{5-3}{2}=1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \text{Racines de } x^2-5x+4:\quad} x_2=\dfrac{5+\sqrt 9}{2}=\dfrac{5+3}{2}=4}$

Le coefficient principal de $\overset{ { \white{ _. } } } { x^2-5x+4 }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { 1>0. }$

Nous pouvons alors dresser le tableau de signes de $\overset{ { \white{ _. } } } { g(x)=x^2-5x+4. }$

${ \white{ WWWWWWW } }$ $\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&& x&-\infty&&1&&4&&+\infty\\&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&g(x)=x^2-5x+4&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

Donc pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\,]-\infty\;;\;1[\,\cup\;]4\;;\;+\infty[,\quad g(x)>0\; ; }$
${ \white{ WWi } }$ pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\,]1\;;\;4[,\quad g(x)<0\; ; }$
${ \white{ WWi }} \overset{ { \white{ _. } } } { g(1)=g(4)=0.}$

1. b) On considère un entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ quelconque.
On note $\overset{ { \white{ _. } } } { A_n }$ le point de la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr P }$ d'abscisse $\overset{ { \white{ _. } } } { n. }$
On note $\overset{ { \white{ _. } } } { a_n }$ le coefficient directeur de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (A_nA_{n+1} ). }$

Nous devons justifier que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ o. } } } { n, }$ on a $\overset{ { \white{ _. } } } { a_n=2n-4. }$

Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ _. } } } { n,\quad A_n }$ est le point de la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr P }$ d'abscisse $\overset{ { \white{ _. } } } { n. }$
Donc les coordonnées du point $\overset{ { \white{ _. } } } {A_n }$ sont $\overset{ { \white{ _. } } } { (n\;;\;g(n)). }$

Nous en déduisons que le coefficient directeur de la droite $\overset{ { \white{ _. } } } { (A_nA_{n+1} ). }$ est donné par :

${ \white{ xxi } }$ $a_n=\dfrac{g(n+1)-g(n)}{(n+1)-n} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ a_n }=\dfrac{\Big((n+1)^2-5(n+1)+4\Big)-(n^2-5n+4)}{1} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ a_n }=n^2+2n+1-5n-5+4-n^2+5n-4} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ a_n }=2n-4} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,\quad a_n=2n-4}$

1. c) La suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (a_n) }$ est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme égal à -4.

2. On considère la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie pour tout réel $\overset{ { \white{. } } } { x }$ de l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0,5\;;\;8] }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=x-5+\dfrac 4x. }$
On note $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr C }$ la courbe représentative de $\overset{ { \white{ _. } } } { f. }$

2. a) Nous devons vérifier que pour tout $\overset{ { \white{o. } } } { x }$ de l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [0,5\;;\;8] }$ , on a : $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=\dfrac{g(x)}{x} }$

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x }$ de l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0,5\;;\;8] }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $f(x)=x-5+\dfrac 4x \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x) }=\dfrac{x^2-5x+4}{x} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f(x) }=\dfrac{g(x)}{x} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\, x\in\,[0,5\;;\;8],\quad f(x)=\dfrac{g(x)}{x}}$

2. b) Nous devons déterminer la position de la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr C }$ par rapport à l'axe des abscisses.
Cela revient à étudier le signe de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0,5\;;\;8] .}$

Puisque $\overset{ { \white{ _. } } } { x }$ est strictement positif sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0,5\;;\;8] ,}$ le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est le signe de $\overset{ { \white{o. } } } { g }$ étudié dans la question 1. a).

Nous obtenons ainsi le tableau de signes de $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x) }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0,5\;;\;8]. }$

${ \white{ WWWWWWW } }$ $\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&& x&0,5&&1&&4&&8\\&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&f(x)&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

Par conséquent,

${ \white{ WwW} }$ sur l'ensemble $\overset{ { \white{ _. } } } { [0,5\;;\;1[\,\cup\,]4\;;\;8] }$ , la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr C }$ est strictement au-dessus de l'axe des abscisses,
${ \white{ WwW} }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { ]1\;;\;4[ }$ , la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr C }$ est strictement en dessous de l'axe des abscisses,
${ \white{ WWw} }$ aux points d'abscisses 1 et 4, la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr C }$ coupe de l'axe des abscisses.

2. c) On admet que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est dérivable sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0,5\;;\;8]. }$
Déterminons $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x }$ de l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0,5\;;\;8]. }$

Pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x }$ de l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0,5\;;\;8], }$

${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=\Big(x-5+\dfrac 4x\Big)' \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }=1-\dfrac{4}{x^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }=\dfrac{x^2-4}{x^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ f'(x) }=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,[0,5\;;\;8],\quad f'(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}}$

2. d) Nous devons en déduire le tableau de variations de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0,5\;;\;8]. }$

Etudions le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0,5\;;\;8]. }$
Remarquons que $\overset{ { \white{ _. } } } { x \in\,[0,5\;;\;8]\quad\Longrightarrow \begin{cases} x+2>0 \\x^2>0 \end{cases} }$
Dès lors, le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ est le signe de $\overset{ { \white{ _. } } } { (x-2). }$
D'où le tableau de variations de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ _. } } } { [0,5\;;\;8]. }$

${ \white{ WWW } }$ $\begin{matrix}x-2=0\quad\Longrightarrow\quad x=2\\x-2<0\quad\Longrightarrow\quad x<2\\x-2>0\quad\Longrightarrow\quad x>2\\\\f(0,5)=0,5-5+\dfrac {4}{0,5}=3,5\\\overset{ { \white{ _. } } } {f(2)=2-5+\dfrac {4}{2}=-1}\\\overset{ { \white{ _. } } } {f(8)=8-5+\dfrac {4}{8}=3,5}\\\end{matrix} \begin{matrix} \\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\|| \\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&0,5&&2&&8\\ &&&&& \\\hline &&&&&\\x-2&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline &&&&&\\f'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline&3,5&&&&3,5\\f&&\searrow&&\nearrow&\\&&&-1&&\\\hline \end{array}$

2. e) Allure de la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr C . }$

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Publié par malou le 04-08-2025

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