1. a) Nous devons déterminer et construire le point G, barycentre des points (A,1), (B,-1) et (C,1).
Par définition, nous obtenons :
Le point G est donc l'extrémité du vecteur tel que (construction en bleu dans la figure ci-dessous).
1. b) Nous devons déterminer et construire le point G', barycentre des points (A,1), (B,5) et (C,-2).
Par définition, nous obtenons :
Nous avons construit le point B' tel que .
Nous avons construit le point C' tel que . Le point G' est l'extrémité du vecteur .
(La construction du point G' est réalisée en rouge sur la figure ci-dessus.)
2. Soit J le milieu de [AB].
2. a) Exprimons le vecteur en fonction de et
Exprimons le vecteur en fonction de et
Puisque le point J est le milieu de [AB], nous savons que
Nous devons en déduire que le point J est le point d'intersection des droites (GG') et (AB).
D'où les points G, G' et J sont alignés. Le point J appartient donc à la droite (GG').
Puisque, par définition, J est le milieu de [AB], le point J appartient à la droite (AB).
Par conséquent, le point J est le point d'intersection des droites (GG') et (AB).
2. b) Nous devons montrer que le barycentre I des points pondérés (B,2) et (C,-1) appartient à (GG').
Par définition de I, nous obtenons :
De plus,
Nous en déduisons que les points G, G' et I sont alignés.
Par conséquent, le barycentre I des points pondérés (B,2) et (C,-1) appartient à (GG').
3. Soient D un point quelconque du plan n'appartenant pas à la droite (AC), O le milieu de [CD] et K le milieu de [OA].
3. a) Nous devons déterminer trois nombres réels a , b et c tels que K soit le barycentre de (A,a ); (D,b ) et (C,c ).
O est le milieu de [CD].
Donc O est le barycentre de (C,1); (D,1).
K est le milieu de [OA].
Donc K est le barycentre de (O,1); (A,1).
Par la propriété d'homogénéité, nous déduisons que K est le barycentre de (O,2); (A,2).
Par la propriété d'associativité, nous déduisons que K est le barycentre de (C,1); (D,1); (A,2).
Par conséquent, trois nombres réels a , b et c tels que K soit le barycentre de (A,a ); (D,b ) et (C,c ) sont : a = 2, b = 1 et c = 1.
3. b) Soit E le point d'intersection des droites (DK) et (AC).
Nous devons démontrer que E est le barycentre des points pondérés (A,2) et (C,1).
En utilisant le résultat de la question 3. a), nous obtenons :
Or les vecteurs et dirigent la droite (DK) tandis que les vecteurs et dirigent la droite (AC).
Puisque ces droites (DK) et (AC) sont sécantes, l'égalité ne sera vraie que si les vecteurs et sont nuls.
D'où, par définition de barycentre, le point E est le barycentre des points pondérés (A,2) et (C,1).
points
exercice 2
Soit la suite (un ) définie par :
1. Soit f la fonction numérique définie sur [0 ; 1] par :
1. a) Déterminons l'expression de f' (x ).
Nous devons en déduire la valeur de
1. b) Nous devons calculer
Remarque :
Dès lors,
2. a) Nous devons démontrer que la suite (un ) est décroissante.
Pour tout entier naturel n 1,
Par conséquent, la suite (un ) est décroissante.
Montrons ensuite que la suite (un ) converge.
Donc la suite (un ) est minorée par 0.
Par conséquent, la suite (un ) converge car elle est décroissante et minorée par 0.
2. b) Pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [0 ; 1],
Nous en déduisons que pour tout entier naturel n 1,
3. Soit
3. a) Pour tout entier naturel n 3,
3. b) A l'aide d'une intégration par parties, calculons
Or nous avons montré dans la question 3. a) que
3. c) Nous savons par la question 2. a) que la suite (un ) est décroissante.
Donc pour tout entier naturel n 3,
3. d) Par la question 2. b), nous savons que pour tout entier naturel n 3,
Par la question 3. c), nous savons que pour tout entier naturel n 3,
Or 2n -1 > 0 car n 3.
Donc
Dès lors,
Nous devons en déduire que la suite (nun ) converge.
Par conséquent, la suite (nun ) converge vers
points
probleme
n est un entier naturel non nul.
Soit la fonction numérique fn définie sur [0 ; 1] par :
Partie A
1. Démontrons que fn est dérivable à droite de 0.
Par conséquent, fn est dérivable à droite de 0 car existe et est réelle.
2. b) Nous devons résoudre dans ]0 ; 1], l'inéquation :
Ces valeurs de x appartiennent bien à l'intervalle ]0 ; 1] (voir question 2. a).
Par conséquent, l'ensemble S des solutions dans ]0 ; 1] de l'inéquation : est
3. b) Etudions suivant les valeurs de n , les variations de fn .
Distinguons trois cas :
Premier cas : n = 1.
Dans ce cas,
et
Le signe de f' (1)(x ) est le signe de car 2x > 0 sur l'intervalle ]0 ; 1].
En utilisant le résultat de la question 2. b), nous obtenons le tableau de variation de la fonction f1.
Deuxième cas : n est pair.
Dans ce cas, n - 1 est impair et le signe de sur l'intervalle ]0 ; 1] est le signe de , soit sur l'intervalle ]0 ; 1].
En utilisant le résultat de la question 2. b), nous obtenons le tableau de variation de la fonction fn .
Troisième cas : n est impair, n > 1.
Dans ce cas, n - 1 est pair et donc sur l'intervalle ]0 ; 1].
En utilisant le résultat de la question 2. b), nous obtenons le tableau de variation de la fonction fn .
4. a) Démontrons que toutes les courbes (Cn) passent par deux points fixes.
Déterminons si les courbes (C1) et (C2) passent par deux points fixes.
Déterminons donc les valeurs de x dans l'intervalle [0 ; 1] telles que
Par définition de la fonction numérique fn , nous savons que
D'où les courbes (C1) et (C2) passent par le point fixe (0 ; 0).
D'où les courbes (C1) et (C2) passent par le point fixe (1 ; 0).
Montrons que les points A(0 ; 0) et B(1 ; 0) appartiennent à toutes les courbes (Cn).
En effet,
Par conséquent, toutes les courbes (Cn) passent par les deux points fixes A(0 ; 0) et B(1 ; 0).
4. b) Représentation graphique des courbes (C1) et (C2) dans le même repère.
Partie B
Soit et
Nous admettons que
1. Soit F la fonction dérivable et définie sur [0 ; 1] par
1. a) Démontrons que pour tout x dans [0 ; 1],
Premier cas : x ]0 ; 1].
Second cas : x = 0.
D'où, pour tout x dans [0 ; 1],
Par conséquent, la fonction F est une primitive de f1.
2. Soit n la fonction définie sur ]0 ; 1] par
Dès lors,
2. d) Démontrons par récurrence que :
Initialisation : Démontrons que la propriété est vraie pour n = 1.
Démontrons donc que
La démonstration est évidente car nous avons montré dans la question 1. b) que
D'où l'initialisation est vraie. Hérédité : Si pour un entier n non nul fixé nous savons que : , montrons que nous obtenons alors :
D'où l'hérédité est vraie.
Par conséquent, puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons démontré par récurrence que :
3. La fonction fn est continue en 0 puisqu'elle est dérivable en 0 (voir Partie A, 1.).
De plus, cette fonction fn est continue sur l'intervalle ]0 ; 1]comme produit de fonctions continues sur ]0 ; 1].
En utilisant le tableau de variation de fn (voir Partie A, 3. b), nous en déduisons que fn 0 si n est pair et fn 0 si n est impair.
Nous en déduisons que l'aire A (n ) de la partie du plan délimité par (Cn), l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 0 et x = 1 est donnée par :
Par conséquent,
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+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWWWW...}\Longleftrightarrow\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWWWW...}\Longleftrightarrow\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWWWW...}\Longleftrightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWWWW...}\Longleftrightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWWWW...}\Longleftrightarrow\boxed{\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{BC}})
tel que 
(construction en bleu dans la figure ci-dessous).
-2(\overrightarrow{G'A}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow\overrightarrow{G'A}+5\overrightarrow{G'A}+5\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{G'A}-2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow4\overrightarrow{G'A}+5\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow4\overrightarrow{AG\,'}=5\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC} \\\\\phantom{WWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow\boxed{\overrightarrow{AG\,'}=\dfrac{5}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}})
.
.
. 
en fonction de 
et 
\ \ \ \ (\text{par la question 1.}) \\\overset{}{\phantom{\overrightarrow{GG\,'}}=(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})+(\dfrac{5}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC})} \\\overset{}{\phantom{\overrightarrow{GG\,'}}=-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}} \\\overset{}{\phantom{\overrightarrow{GG\,'}}=\dfrac{9}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{GG\,'}=\dfrac{9}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}})
en fonction de 
}\ \ \ \ (\text{par la question 1. b}) \\\overset{}{\phantom{\text{D'où}\ \overrightarrow{JG\,'}}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}} \\\overset{}{\phantom{\text{D'où}\ \overrightarrow{JG\,'}}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{JG\,'}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}})
\\\\\overrightarrow{JG\,'}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{\overrightarrow{GG\,'}=3\overrightarrow{JG\,'}})
-(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWW}\Longleftrightarrow2\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWW}\Longleftrightarrow\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWW}\Longleftrightarrow\boxed{\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}})
\\\overset{}{\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\ \ \ (\text{voir ci-dessus})\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\end{matrix}\right.)
+(2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}) \\\phantom{\Longrightarrow\ \ \ \overrightarrow{G\,'I}}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} \\\overset{}{\phantom{\Longrightarrow\ \ \ \overrightarrow{G\,'I}}=\overrightarrow{JG\,'}\ \ \ (\text{voir question 2. a})} \\\overset{}{\phantom{\Longrightarrow\ \ \ \overrightarrow{G\,'I}}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{GG\,'}\ \ \ (\text{voir question 2. a})} \\\\\Longrightarrow\ \ \ \boxed{\overrightarrow{G\,'I}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{GG\,'}})
+\overrightarrow{KD}+(\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{EC})=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWWWWWnWW}\Longleftrightarrow2\overrightarrow{KE}+2\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWWWWWnWW}\Longleftrightarrow3\overrightarrow{KE}+2\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWWWWWnWW}\Longleftrightarrow(3\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{KD})+(2\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EC})=\overrightarrow{0} \\\phantom{WWWWWWWWWnWW}\Longleftrightarrow3\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{KD}=2\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{CE})
et 
dirigent la droite (DK) tandis que les vecteurs 
et 
dirigent la droite (AC).
ne sera vraie que si les vecteurs 
et 
sont nuls. 
}\end{matrix}\right.)
=\ln(x+\sqrt{1+x^2}).)
=\dfrac{(x+\sqrt{1+x^2})'}{x+\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{x'+(\sqrt{1+x^2})'}{x+\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{1+\dfrac{(1+x^2)'}{2\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{1+\dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}} =\dfrac{\dfrac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}}{\dfrac{x+\sqrt{1+x^2}}{1}} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}\times\dfrac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}})
![u_0=\int\limits_0^1\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x=\left[\overset{}{f(x)}\right]\limits_0^1=f(1)-f(0) \\\overset{}{\phantom{u_0}=\ln(1+\sqrt{1+1^2})-\ln(0+\sqrt{1+0})} \\\overset{}{\phantom{u_0}=\ln(1+\sqrt{2})-\ln1=\ln(1+\sqrt{2})-0} \\\overset{}{\phantom{u_0}=\ln(1+\sqrt{2})} \\\\\Longrightarrow\boxed{u_0=\ln(1+\sqrt{2})}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u_0=\int\limits_0^1\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x=\left[\overset{}{f(x)}\right]\limits_0^1=f(1)-f(0) \\\overset{}{\phantom{u_0}=\ln(1+\sqrt{1+1^2})-\ln(0+\sqrt{1+0})} \\\overset{}{\phantom{u_0}=\ln(1+\sqrt{2})-\ln1=\ln(1+\sqrt{2})-0} \\\overset{}{\phantom{u_0}=\ln(1+\sqrt{2})} \\\\\Longrightarrow\boxed{u_0=\ln(1+\sqrt{2})})
'=\dfrac{(1+x^2)'}{2\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\Longrightarrow\boxed{(\sqrt{1+x^2})'=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}})
![u_1=\int\limits_0^1\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x=\left[\sqrt{1+x^2}\right]\limits_0^1=\sqrt{1+1^2}-\sqrt{1+0}=\sqrt{2}-1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u_1=\int\limits_0^1\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x=\left[\sqrt{1+x^2}\right]\limits_0^1=\sqrt{1+1^2}-\sqrt{1+0}=\sqrt{2}-1)
1, }{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x)
}{\sqrt{1+x^2}}\le0} \\\overset{}{\phantom{\text{Or }: 0\le x\le1}\Longrightarrow\int\limits_0^1\dfrac{x^{n}(x-1)}{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x\le0} \\\overset{}{\phantom{\text{Or }: 0\le x\le1}\Longrightarrow \boxed{u_{n+1}-u_n\le0}})
![1\le \sqrt{x^2+1}\le\sqrt{2}\Longrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2}}\le \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\le1 \\\\\phantom{1\le \sqrt{x^2+1}\le\sqrt{2}}\Longrightarrow\dfrac{x^n}{\sqrt{2}}\le \dfrac{x^n}{\sqrt{x^2+1}}\le x^n\ \ \ \ (\text{car }x^n\ge0) \\\\\phantom{1\le \sqrt{x^2+1}\le\sqrt{2}}\Longrightarrow\int\limits_0^1\dfrac{x^n}{\sqrt{2}}\,\text{d}x\le\int\limits_0^1 \dfrac{x^n}{\sqrt{x^2+1}}\,\text{d}x\le\int\limits_0^1x^n\,\text{d}x \\\\\phantom{1\le \sqrt{x^2+1}\le\sqrt{2}}\Longrightarrow\left[\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)\sqrt{2}}\right]\limits_0^1\le u_n\le\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]\limits_0^1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1\le \sqrt{x^2+1}\le\sqrt{2}\Longrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2}}\le \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\le1 \\\\\phantom{1\le \sqrt{x^2+1}\le\sqrt{2}}\Longrightarrow\dfrac{x^n}{\sqrt{2}}\le \dfrac{x^n}{\sqrt{x^2+1}}\le x^n\ \ \ \ (\text{car }x^n\ge0) \\\\\phantom{1\le \sqrt{x^2+1}\le\sqrt{2}}\Longrightarrow\int\limits_0^1\dfrac{x^n}{\sqrt{2}}\,\text{d}x\le\int\limits_0^1 \dfrac{x^n}{\sqrt{x^2+1}}\,\text{d}x\le\int\limits_0^1x^n\,\text{d}x \\\\\phantom{1\le \sqrt{x^2+1}\le\sqrt{2}}\Longrightarrow\left[\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)\sqrt{2}}\right]\limits_0^1\le u_n\le\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]\limits_0^1)
\sqrt{2}}-0\le u_n\le\dfrac{1}{n+1}-0 \\\overset{}{\text{soit }\ \ \boxed{\dfrac{1}{(n+1)\sqrt{2}}\le u_n\le\dfrac{1}{n+1}}})
 }}}\ \left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{1}{(n+1)\sqrt{2}}\le u_n\le\dfrac{1}{n+1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\overset{}{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{(n+1)\sqrt{2}}=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{n+1}\right)=0}\end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{théorème des gendarmes}}{\Longrightarrow}\ \ \ \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0})
)
}{\sqrt{x^2+1}}\,\text{d}x} \\\overset{}{\phantom{u_n+u_{n-2}}=\int\limits_0^1 x^{n-2}\sqrt{x^2+1}\,\text{d}x} \\\overset{}{\phantom{u_n+u_{n-2}}=I_n} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall n\ge3,\ u_n+u_{n-2}=I_n})
.)
![\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\int\limits_0^1u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_0^1-\int\limits_0^1u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=\sqrt{1+x^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ u'(x)=\dfrac{(1+x^2)'}{2\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\\\overset{}{v'(x)=x^{n-2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \ v(x)=\dfrac{x^{n-1}}{n-1}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\int\limits_0^1u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_0^1-\int\limits_0^1u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=\sqrt{1+x^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ u'(x)=\dfrac{(1+x^2)'}{2\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\\\overset{}{v'(x)=x^{n-2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \ v(x)=\dfrac{x^{n-1}}{n-1}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.)
![\text{Dès lors, }I_n=\int\limits_0^1x^{n-2}\sqrt{1+x^2}\,\text{d}x \\\phantom{\text{Dès lors, }I_n}=\left[\sqrt{1+x^2}\times\dfrac{x^{n-1}}{n-1}\right]\limits_0^1- \int\limits_0^1\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\times\dfrac{x^{n-1}}{n-1}\,\text{d}x \\\phantom{\text{Dès lors, }I_n}=\left[\sqrt{1+x^2}\times\dfrac{x^{n-1}}{n-1}\right]\limits_0^1-\dfrac{1}{n-1}\int\limits_0^1\dfrac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x \\\phantom{\text{Dès lors, }I_n}=\left[\sqrt{2}\times\dfrac{1}{n-1}-0\right]-\dfrac{1}{n-1}\int\limits_0^1\dfrac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x \\\phantom{\text{Dès lors, }I_n}=\dfrac{\sqrt{2}}{n-1}-\dfrac{1}{n-1}u_n \\\\\Longrightarrow\boxed{I_n=\dfrac{\sqrt{2}}{n-1}-\dfrac{1}{n-1}u_n}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{Dès lors, }I_n=\int\limits_0^1x^{n-2}\sqrt{1+x^2}\,\text{d}x \\\phantom{\text{Dès lors, }I_n}=\left[\sqrt{1+x^2}\times\dfrac{x^{n-1}}{n-1}\right]\limits_0^1- \int\limits_0^1\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\times\dfrac{x^{n-1}}{n-1}\,\text{d}x \\\phantom{\text{Dès lors, }I_n}=\left[\sqrt{1+x^2}\times\dfrac{x^{n-1}}{n-1}\right]\limits_0^1-\dfrac{1}{n-1}\int\limits_0^1\dfrac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x \\\phantom{\text{Dès lors, }I_n}=\left[\sqrt{2}\times\dfrac{1}{n-1}-0\right]-\dfrac{1}{n-1}\int\limits_0^1\dfrac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x \\\phantom{\text{Dès lors, }I_n}=\dfrac{\sqrt{2}}{n-1}-\dfrac{1}{n-1}u_n \\\\\Longrightarrow\boxed{I_n=\dfrac{\sqrt{2}}{n-1}-\dfrac{1}{n-1}u_n})
}}(u_n+u_{n-2})={\blue{(n-1)}}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{n-1}-\dfrac{1}{n-1}u_n\right)} \\\overset{}{\Longleftrightarrow (n-1)(u_n+u_{n-2})=\sqrt{2}-u_n} \\\Longleftrightarrow (n-1)u_n+(n-1)u_{n-2}=\sqrt{2}-u_n \\\Longleftrightarrow nu_n-u_n+u_n+(n-1)u_{n-2}=\sqrt{2} \\\overset{}{\Longleftrightarrow \boxed{nu_n+(n-1)u_{n-2}=\sqrt{2}}})
u_{n-2}=\overset{.}{\sqrt{2}}\\u_n\le u_{n-2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ nu_n+(n-1)u_{n}\le\sqrt{2} \\\phantom{WWWWWWWWWWWw}\Longrightarrow\ \ \ nu_n+nu_{n}-u_{n}\le\sqrt{2} \\\phantom{WWWWWWWWWWWw}\Longrightarrow\ \ \ 2nu_{n}-u_{n}\le\sqrt{2} \\\phantom{WWWWWWWWWWWw}\Longrightarrow\ \ \ \boxed{(2n-1)u_{n}\le\sqrt{2}})
\sqrt{2}}\le u_n.)
u_{n}\le\sqrt{2}.)
u_{n}\le\sqrt{2}\Longleftrightarrow u_{n}\le\dfrac{\sqrt{2}}{2n-1}.)
\sqrt{2}}\le u_n\\u_{n}\le\dfrac{\sqrt{2}}{2n-1}\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \dfrac{1}{(n+1)\sqrt{2}}\le u_n\le\dfrac{\sqrt{2}}{2n-1} \\\phantom{WWWWWWWw}\underset{(\text{car }n>0)}{\Longleftrightarrow}\ \ \ \boxed{\dfrac{n}{(n+1)\sqrt{2}}\le n\,u_n\le\dfrac{n\,\sqrt{2}}{2n-1}})
\sqrt{2}}=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{n}{n\sqrt{2}}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\\\\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n\,\sqrt{2}}{2n-1}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n\,\sqrt{2}}{2n}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\\\\text{D'où }\ \left\lbrace\begin{matrix}{\blue{\dfrac{n}{(n+1)\sqrt{2}}}}\le n\,u_n\le{\red{\dfrac{n\,\sqrt{2}}{2n-1}}}\\\lim\limits_{n\to+\infty}{\blue{\dfrac{n}{(n+1)\sqrt{2}}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\overset{}{\lim\limits_{n\to+\infty}{\red{\dfrac{n\,\sqrt{2}}{2n-1}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{théorème des gendarmes}}{\Longrightarrow}\ \ \ \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}(n\,u_n)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}})
![\left\lbrace\begin{matrix}f_n(x)=x^2(\ln x)^n\ \ \ \text{si }\ x\in\,]0\,;\,1]\\f_n(0)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left\lbrace\begin{matrix}f_n(x)=x^2(\ln x)^n\ \ \ \text{si }\ x\in\,]0\,;\,1]\\f_n(0)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.)
-f_n(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_n(x)-0}{x-0} =\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_n(x)}{x} \\\\\phantom{WWWWWWWW}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x^2(\ln x)^n}{x} =\lim\limits_{x\to0^+} x(\ln x)^n=0\ \ \ \ (\text{par les croissances comparées}) \\\\\Longrifgtarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_n(x)-f_n(0)}{x}=0})
-f_n(0)}{x})
existe et est réelle. }}}\ n>0\Longrightarrow-\dfrac{n}{2}<0 \\\overset {}{\phantom{{\red{2.\ \text{a) }}}\ n>0}\Longrightarrow\text{e}^{-\frac{n}{2}}<\text{e}^0}\ \ \ (\text{car la fonction exponentielle est strictement croissante)} \\\overset{}{\phantom{{\red{2.\ \text{a) }}}\ n>0}\Longrightarrow\text{e}^{-\frac{n}{2}}<1} \\\\\text{Or }\text{e}^{-\frac{n}{2}}>0\ \ \ (\text{car toute fonction exponentielle est strictement positive).} \\\\\text{D'où }\boxed{\forall\,n>0,\ \ 0<\text{e}^{-\frac{n}{2}}<1})
est ![\boxed{S=\,]0\,;\text{e}^{-\frac{n}{2}}[.}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{S=\,]0\,;\text{e}^{-\frac{n}{2}}[.})
![{\red{3.\ \text{a) }}}\ \forall x\in\,]0\,;1],\,f'_n(x)=(x^2)' \times(\ln x)^n+x^2\times[(\ln x)^n]' \\\phantom{{\red{3.\ \text{a) }}}\ \forall x\in\,]0\,;1],\,f'_n(x)}=2x\times(\ln x)^n+x^2\times[n\times(\ln x)'\times(\ln x)^{n-1}] \\\phantom{{\red{3.\ \text{a) }}}\ \forall x\in\,]0\,;1],\,f'_n(x)}=2x(\ln x)^n+x^2\times[n\times\dfrac{1}{x}\times(\ln x)^{n-1}] \\\overset{}{\phantom{{\red{3.\ \text{a) }}}\ \forall x\in\,]0\,;1],\,f'_n(x)}=2x(\ln x)^n+nx(\ln x)^{n-1}} \\\overset{}{\phantom{{\red{3.\ \text{a) }}}\ \forall x\in\,]0\,;1],\,f'_n(x)}=2x(\ln x)^n+\dfrac{n}{2}\times 2x(\ln x)^{n-1}} \\\overset{}{\phantom{{\red{3.\ \text{a) }}}\ \forall x\in\,]0\,;1],\,f'_n(x)}=2x(\ln x)^{n-1}\left(\ln x+\dfrac{n}{2}\right)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall x\in\,]0\,;1],\,f'_n(x)=2x(\ln x)^{n-1}\left(\ln x+\dfrac{n}{2}\right)}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\red{3.\ \text{a) }}}\ \forall x\in\,]0\,;1],\,f'_n(x)=(x^2)' \times(\ln x)^n+x^2\times[(\ln x)^n]' \\\phantom{{\red{3.\ \text{a) }}}\ \forall x\in\,]0\,;1],\,f'_n(x)}=2x\times(\ln x)^n+x^2\times[n\times(\ln x)'\times(\ln x)^{n-1}] \\\phantom{{\red{3.\ \text{a) }}}\ \forall x\in\,]0\,;1],\,f'_n(x)}=2x(\ln x)^n+x^2\times[n\times\dfrac{1}{x}\times(\ln x)^{n-1}] \\\overset{}{\phantom{{\red{3.\ \text{a) }}}\ \forall x\in\,]0\,;1],\,f'_n(x)}=2x(\ln x)^n+nx(\ln x)^{n-1}} \\\overset{}{\phantom{{\red{3.\ \text{a) }}}\ \forall x\in\,]0\,;1],\,f'_n(x)}=2x(\ln x)^n+\dfrac{n}{2}\times 2x(\ln x)^{n-1}} \\\overset{}{\phantom{{\red{3.\ \text{a) }}}\ \forall x\in\,]0\,;1],\,f'_n(x)}=2x(\ln x)^{n-1}\left(\ln x+\dfrac{n}{2}\right)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall x\in\,]0\,;1],\,f'_n(x)=2x(\ln x)^{n-1}\left(\ln x+\dfrac{n}{2}\right)}})
![\left\lbrace\begin{matrix}f_1(x)=x^2\,\ln x\ \ \ \text{si }\ x\in\,]0\,;\,1]\\f_1(0)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left\lbrace\begin{matrix}f_1(x)=x^2\,\ln x\ \ \ \text{si }\ x\in\,]0\,;\,1]\\f_1(0)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.)
![\forall x\in\,]0\,;1],\,f'_1(x)=2x\left(\ln x+\dfrac{1}{2}\right)}.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in\,]0\,;1],\,f'_1(x)=2x\left(\ln x+\dfrac{1}{2}\right)}.)
)
car 2x > 0 sur l'intervalle ]0 ; 1].=(\text{e}^{-\frac{1}{2}})^2(-\dfrac{1}{2})\\\overset{}{\phantom{WWWWw}=\text{e}^{-1}(-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{1}{2\text{e}}}\end{matrix} \ \ \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&\text{e}^{-\frac{1}{2}}&&1\\&&&&&\\\hline 2x&0&+&+&+&+\\\ln x+\dfrac{1}{2}&||||&-&0&+&+\\\hline&&&&&\\f_1'(x)&||||&-&0&+&+\\&(0)&&&&\\\hline &0&&&&0 \\ f_1(x)&&\searrow&&\nearrow& \\ &&&-\dfrac{1}{2\text{e}}&& \\ \hline \end{array}\end{matrix})
^{n-1})
sur l'intervalle ]0 ; 1] est le signe de 
, soit ^{n-1}\le0)
sur l'intervalle ]0 ; 1].=(\text{e}^{-\frac{n}{2}})^2(-\dfrac{n}{2})^n\\\phantom{WWWWW.WWw}=\text{e}^{-n}(\dfrac{n}{2})^n\ \ (n\ \text{est pair})\\\phantom{WWWWW.WWw}=\left(\text{e}^{-1}\right)^n(\dfrac{n}{2})^n=\left(\dfrac{n}{2\text{e}}\right)^n\end{matrix} \ \ \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&\text{e}^{-\frac{n}{2}}&&1\\&&&&&\\\hline 2x&0&+&+&+&+\\ (\ln x)^{n-1}&||||&-&-&-&0\\\ln x+\dfrac{n}{2}&||||&-&0&+&+\\\hline&&&&&\\f_n'(x)&||||&+&0&-&0\\&(0)&&&&\\\hline &&&\left(\dfrac{n}{2\text{e}}\right)^n&& \\ f_n(x)&&\nearrow&&\searrow & \\ &0&&&&0 \\ \hline \end{array}\end{matrix})
^{n-1}\ge0)
sur l'intervalle ]0 ; 1].=(\text{e}^{-\frac{n}{2}})^2\left(-\dfrac{n}{2}\right)^n\\\phantom{WWw}=\text{e}^{-n}(-\dfrac{n}{2})^n\\\phantom{WWWWW.WW}=\left(\text{e}^{-1}\right)^n(-\dfrac{n}{2})^n=\left(-\dfrac{n}{2\text{e}}\right)^n\end{matrix} \ \ \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&\text{e}^{-\frac{n}{2}}&&1\\&&&&&\\\hline 2x&0&+&+&+&+\\ (\ln x)^{n-1}&||||&+&+&+&0\\\ln x+\dfrac{n}{2}&||||&-&0&+&+\\\hline&&&&&\\f_n'(x)&||||&-&0&+&0\\&(0)&&&&\\\hline &0&&&&0 \\ f_n(x)&&\searrow&&\nearrow & \\ &&&\left(-\dfrac{n}{2\text{e}}\right)^n&& \\ \hline \end{array}\end{matrix})
=f_2(x).)
=f_2(0).)
![\forall\ x\in\,]0\,;1],\ f_1(x)=f_2(x)\Longleftrightarrow x^2(\ln x)^1=x^2(\ln x)^2 \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;1],\ f_0(x)=f_1(x)}\Longleftrightarrow x^2\ln x=x^2(\ln x)^2 \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;1],\ f_0(x)=f_1(x)}\Longleftrightarrow \ln x=(\ln x)^2\ \ \ (\text{en divisant l'égalité précédente par }x^2\neq 0) \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;1],\ f_0(x)=f_1(x)}\Longleftrightarrow (\ln x)^2-\ln x =0 \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;1],\ f_0(x)=f_1(x)}\Longleftrightarrow \ln x(\ln x-1) =0 \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;1],\ f_0(x)=f_1(x)}\Longleftrightarrow \ln x=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ \ln x-1 =0 \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;1],\ f_0(x)=f_1(x)}\Longleftrightarrow \ln x=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ \ln x=1 \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;1],\ f_0(x)=f_1(x)}\Longleftrightarrow x=1\ \ \ \text{ou}\ \ \ x=\text{e} \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;1],\ f_0(x)=f_1(x)}\Longleftrightarrow x=1\ \ \ \text{car}\ \ \ \text{e}\notin\,]0\,;1], \\\\\text{N. B. : }\ f_1(1)=f_2(1)=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall\ x\in\,]0\,;1],\ f_1(x)=f_2(x)\Longleftrightarrow x^2(\ln x)^1=x^2(\ln x)^2 \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;1],\ f_0(x)=f_1(x)}\Longleftrightarrow x^2\ln x=x^2(\ln x)^2 \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;1],\ f_0(x)=f_1(x)}\Longleftrightarrow \ln x=(\ln x)^2\ \ \ (\text{en divisant l'égalité précédente par }x^2\neq 0) \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;1],\ f_0(x)=f_1(x)}\Longleftrightarrow (\ln x)^2-\ln x =0 \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;1],\ f_0(x)=f_1(x)}\Longleftrightarrow \ln x(\ln x-1) =0 \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;1],\ f_0(x)=f_1(x)}\Longleftrightarrow \ln x=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ \ln x-1 =0 \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;1],\ f_0(x)=f_1(x)}\Longleftrightarrow \ln x=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ \ln x=1 \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;1],\ f_0(x)=f_1(x)}\Longleftrightarrow x=1\ \ \ \text{ou}\ \ \ x=\text{e} \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;1],\ f_0(x)=f_1(x)}\Longleftrightarrow x=1\ \ \ \text{car}\ \ \ \text{e}\notin\,]0\,;1], \\\\\text{N. B. : }\ f_1(1)=f_2(1)=0)
=0\phantom{=1^2(\ln 1)^n=1\times0.}\\f_n(1)=1^2(\ln 1)^n=1\times0=0\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}f_n(0)=0\\f_n(1)=0\end{matrix}\right.)
![I_n(t)=\int\limits_t^1f_n(x)\text{d}x\ \ \ (\text{où }\ t\in[0;1])](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_n(t)=\int\limits_t^1f_n(x)\text{d}x\ \ \ (\text{où }\ t\in[0;1]))
et \text{d}x.)
.)
![\left\lbrace\begin{matrix}F(x)=\dfrac{x^3}{3}(\ln x)-\dfrac{x^3}{9}\ \ \ \text{si }\ x\in\,]0\,;\,1]\\F(0)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left\lbrace\begin{matrix}F(x)=\dfrac{x^3}{3}(\ln x)-\dfrac{x^3}{9}\ \ \ \text{si }\ x\in\,]0\,;\,1]\\F(0)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.)
=f_1(x).)
]0 ; 1].![F'(x)=\left(\dfrac{x^3}{3}\right)'\times\ln x+\dfrac{x^3}{3}\times(\ln x)'-\left(\dfrac{x^3}{9}\right)' \\\phantom{F'(x)}=\left(\dfrac{3x^2}{3}\right)\times\ln x+\dfrac{x^3}{3}\times(\dfrac{1}{x})-\left(\dfrac{3x^2}{9}\right) \\\phantom{F'(x)}=x^2\times\ln x+\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{x^2}{3} \\\phantom{F'(x)}=x^2\times\ln x \\\phantom{F'(x)}=f_1(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in\,]0\,;\,1],\ F'(x)=f_1(x)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F'(x)=\left(\dfrac{x^3}{3}\right)'\times\ln x+\dfrac{x^3}{3}\times(\ln x)'-\left(\dfrac{x^3}{9}\right)' \\\phantom{F'(x)}=\left(\dfrac{3x^2}{3}\right)\times\ln x+\dfrac{x^3}{3}\times(\dfrac{1}{x})-\left(\dfrac{3x^2}{9}\right) \\\phantom{F'(x)}=x^2\times\ln x+\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{x^2}{3} \\\phantom{F'(x)}=x^2\times\ln x \\\phantom{F'(x)}=f_1(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in\,]0\,;\,1],\ F'(x)=f_1(x)})
=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{F(x)-F(0)}{x-0} \\\overset{}{\phantom{F\,'(0)}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\dfrac{x^3}{3}(\ln x)-\dfrac{x^3}{9}-0}{x-0}} \\\overset{}{\phantom{F\,'(0)}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\dfrac{x^3}{3}(\ln x)-\dfrac{x^3}{9}}{x}} \\\overset{}{\phantom{F\,'(0)}=\lim\limits_{x\to0^+}\left(\dfrac{x^2}{3}(\ln x)-\dfrac{x^2}{9}\right)} \\\overset{}{\phantom{F\,'(0)}=\lim\limits_{x\to0^+}\left(\dfrac{x^2}{3}(\ln x)\right)-\lim\limits_{x\to0^+}\left(\dfrac{x^2}{9}\right)} \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\left(\dfrac{x^2}{3}(\ln x)\right)=0\ \ \ \ (\text{par les croissances comparées)}\\\lim\limits_{x\to0^+}\left(\dfrac{x^2}{9}\right)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow F\,'(0)=0\\\\\Longrightarrow\boxed{F\,'(0)=f_1(0)})
![{\red{1.\ \text{b) }}}\ L_1=\lim\limits_{t\to0}I_1(t) =\lim\limits_{t\to0}\int\limits_t^1f_1(x)\text{d}x=\lim\limits_{t\to0}\ \left[\overset{}{F(x)}\right]\limits_t^1 \\\phantom{WWW}=\lim\limits_{t\to0}\ \left[\overset{}{\dfrac{x^3}{3}(\ln x)-\dfrac{x^3}{9}}\right]\limits_t^1 =\lim\limits_{t\to0}\ \left[\left(\dfrac{1^3}{3}(\ln 1)-\dfrac{1^3}{9}\right)-\left(\dfrac{t^3}{3}(\ln t)-\dfrac{t^3}{9}\right)\right] \\\\\phantom{WWW}=\lim\limits_{t\to0}\ \left[\left(0-\dfrac{1}{9}\right)-\left(\dfrac{t^3}{3}(\ln t)-\dfrac{t^3}{9}\right)\right] \\\\\phantom{WWW}=-\dfrac{1}{9}-\lim\limits_{t\to0}\ \left(\dfrac{t^3}{3}(\ln t)-\dfrac{t^3}{9}\right)=-\dfrac{1}{9}-\lim\limits_{t\to0}\ \left(\dfrac{t^3}{3}(\ln t)\right)+\lim\limits_{t\to0}\ \left(\dfrac{t^3}{9}\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\red{1.\ \text{b) }}}\ L_1=\lim\limits_{t\to0}I_1(t) =\lim\limits_{t\to0}\int\limits_t^1f_1(x)\text{d}x=\lim\limits_{t\to0}\ \left[\overset{}{F(x)}\right]\limits_t^1 \\\phantom{WWW}=\lim\limits_{t\to0}\ \left[\overset{}{\dfrac{x^3}{3}(\ln x)-\dfrac{x^3}{9}}\right]\limits_t^1 =\lim\limits_{t\to0}\ \left[\left(\dfrac{1^3}{3}(\ln 1)-\dfrac{1^3}{9}\right)-\left(\dfrac{t^3}{3}(\ln t)-\dfrac{t^3}{9}\right)\right] \\\\\phantom{WWW}=\lim\limits_{t\to0}\ \left[\left(0-\dfrac{1}{9}\right)-\left(\dfrac{t^3}{3}(\ln t)-\dfrac{t^3}{9}\right)\right] \\\\\phantom{WWW}=-\dfrac{1}{9}-\lim\limits_{t\to0}\ \left(\dfrac{t^3}{3}(\ln t)-\dfrac{t^3}{9}\right)=-\dfrac{1}{9}-\lim\limits_{t\to0}\ \left(\dfrac{t^3}{3}(\ln t)\right)+\lim\limits_{t\to0}\ \left(\dfrac{t^3}{9}\right))
\right)=0\ \ \ \ (\text{par les croissances comparées)}\\\lim\limits_{t\to0}\left(\dfrac{t^3}{9}\right)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow L_1=-\dfrac{1}{9}-0+0\\\\\Longrightarrow\boxed{L_1=-\dfrac{1}{9}})
n la fonction définie sur ]0 ; 1] par  =-\dfrac{1}{3}\,t^3(\ln t)^n.)
 }}}\ \lim\limits_{t\to0}\varphi_n(t)=-\dfrac{1}{3}\times\lim\limits_{t\to0}\,t^3(\ln t)^n \\\\\text{Or }\lim\limits_{t\to0}\,t^3(\ln t)^n=0\ \ \ \ (\text{par les croissances comparées)} \\\\\Longrightarrow\lim\limits_{t\to0}\varphi_n(t)=-\dfrac{1}{3}\times0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{t\to0}\varphi_n(t)=0})
![{\red{2.\ \text{b) }}}\ \forall\ t\in[0;1], I_{n+1}(t)=\int\limits_t^1x^2(\ln x)^{n+1}\text{d}x.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\red{2.\ \text{b) }}}\ \forall\ t\in[0;1], I_{n+1}(t)=\int\limits_t^1x^2(\ln x)^{n+1}\text{d}x.)
![\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\int\limits_t^1u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_t^1-\int\limits_t^1u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=(\ln x)^{n+1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ u'(x)=(n+1)\times(\ln x)'\times(\ln x)^n\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWv}=(n+1)\times\dfrac{1}{x}\times(\ln x)^n\ \ \ \ \ \\\overset{}{v'(x)=x^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \ v(x)=\dfrac{x^3}{3}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\end{matrix}\right.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\int\limits_t^1u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_t^1-\int\limits_t^1u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=(\ln x)^{n+1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ u'(x)=(n+1)\times(\ln x)'\times(\ln x)^n\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWv}=(n+1)\times\dfrac{1}{x}\times(\ln x)^n\ \ \ \ \ \\\overset{}{v'(x)=x^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \ v(x)=\dfrac{x^3}{3}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\end{matrix}\right.)
![\int\limits_t^1x^2(\ln x)^{n+1}\text{d}x=\left[(\ln x)^{n+1}\times\dfrac{x^3}{3}\right]\limits_t^1-\int\limits_t^1(n+1)\times\dfrac{1}{x}\times(\ln x)^n\times\dfrac{x^3}{3}\text{d}x \\\\\phantom{WWnWWWW}=\left[(\ln x)^{n+1}\times\dfrac{x^3}{3}\right]\limits_t^1-\dfrac{n+1}{3}\int\limits_t^1x^2(\ln x)^n\text{d}x \\\\\phantom{WWnWWWW}=\left((\ln 1)^{n+1}\times\dfrac{1^3}{3}\right)-\left((\ln t)^{n+1}\times\dfrac{t^3}{3}\right)-\dfrac{n+1}{3}\int\limits_t^1x^2(\ln x)^n\text{d}x \\\\\phantom{WWnWWWW}=0-(\ln t)^{n+1}\times\dfrac{t^3}{3}-\dfrac{n+1}{3}\int\limits_t^1x^2(\ln x)^n\text{d}x \\\\\phantom{WWnWWWW}=-\dfrac{1}{3}t^3(\ln t)^{n+1}-\dfrac{n+1}{3}\int\limits_t^1f_n(x)\text{d}x \\\\\phantom{WWnWWWW}=\varphi_{n+1}(t)-\dfrac{n+1}{3}\,I_n(t) \\\\\Longrightarrow\boxed{I_{n+1}(t)=\varphi_{n+1}(t)-\dfrac{n+1}{3}\,I_n(t)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\int\limits_t^1x^2(\ln x)^{n+1}\text{d}x=\left[(\ln x)^{n+1}\times\dfrac{x^3}{3}\right]\limits_t^1-\int\limits_t^1(n+1)\times\dfrac{1}{x}\times(\ln x)^n\times\dfrac{x^3}{3}\text{d}x \\\\\phantom{WWnWWWW}=\left[(\ln x)^{n+1}\times\dfrac{x^3}{3}\right]\limits_t^1-\dfrac{n+1}{3}\int\limits_t^1x^2(\ln x)^n\text{d}x \\\\\phantom{WWnWWWW}=\left((\ln 1)^{n+1}\times\dfrac{1^3}{3}\right)-\left((\ln t)^{n+1}\times\dfrac{t^3}{3}\right)-\dfrac{n+1}{3}\int\limits_t^1x^2(\ln x)^n\text{d}x \\\\\phantom{WWnWWWW}=0-(\ln t)^{n+1}\times\dfrac{t^3}{3}-\dfrac{n+1}{3}\int\limits_t^1x^2(\ln x)^n\text{d}x \\\\\phantom{WWnWWWW}=-\dfrac{1}{3}t^3(\ln t)^{n+1}-\dfrac{n+1}{3}\int\limits_t^1f_n(x)\text{d}x \\\\\phantom{WWnWWWW}=\varphi_{n+1}(t)-\dfrac{n+1}{3}\,I_n(t) \\\\\Longrightarrow\boxed{I_{n+1}(t)=\varphi_{n+1}(t)-\dfrac{n+1}{3}\,I_n(t)})
 }}}\ L_{n+1}=\lim\limits_{t\to 0}I_{n+1}(t) \\\phantom{WWWWw}=\lim\limits_{t\to 0}\left(\varphi_{n+1}(t)-\dfrac{n+1}{3}\,I_n(t)\right)\ \ \ \ (\text{voir question 2. b)} \\\phantom{WWWWw}=\lim\limits_{t\to 0}\varphi_{n+1}(t)-\dfrac{n+1}{3}\lim\limits_{t\to 0}\,I_n(t) \\\overset{}{\phantom{WWWWw}={\blue{\lim\limits_{t\to 0}\varphi_{n+1}(t)}}-\dfrac{n+1}{3}L_n} \\\text{Or }\lim\limits_{t\to0}\varphi_{n+1}(t)=-\dfrac{1}{3}\times\lim\limits_{t\to0}\,t^3(\ln t)^{n+1} =0\ \ \ \ (\text{par les croissances comparées)} \\\overset{}{\Longrightarrow{\blue{\lim\limits_{t\to0}\varphi_{n+1}(t)=0}}} \\\overset{}{\text{D'où }L_{n+1}=0-\dfrac{n+1}{3}L_n} \\\\\Longrightarrow\boxed{L_{n+1}=-\dfrac{n+1}{3}L_n})
^n\,\dfrac{n!}{3^{n+1}}.)
^1\times\dfrac{1!}{3^{2}}=-\dfrac{1}{9}.)
^n\,\dfrac{n!}{3^{n+1}})
, montrons que nous obtenons alors : ^{n+1}\,\dfrac{(n+1)!}{3^{n+2}})
^n\,\dfrac{n!}{3^{n+1}} \\\\\phantom{L_{n+1}}=(-1)\times(-1)^n\,\dfrac{(n+1)\times n!}{3\times3^{n+1}} \\\\\Longrightarrow\boxed{L_{n+1}=(-1)^{n+1}\,\dfrac{(n+1)!}{3^{n+2}}})
0 si n est impair.=\left|\int\limits_0^1f_n(x)\,\text{d}x\right|=\left|L_n\right|=\left|(-1)^n\,\dfrac{n!}{3^{n+1}}\right|=\left|\dfrac{n!}{3^{n+1}}\right|=\dfrac{n!}{3^{n+1}})
=\dfrac{n!}{3^{n+1}}\ \text{u.a.}})
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