Considérons l'arbre de probabilité pondéré suivant :
La probabilité de sachant S se calcule par
De plus, en utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
Par conséquent, l'affirmation 1 est fausse.
Si une variable aléatoire suit la loi uniforme sur [a ; b], alors son espérance est égale à
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [k ; 18].
Par conséquent, l'affirmation 2 est fausse.
Par conséquent, l'affirmation 3 est vraie.
D'une part, la fonction dérivée f' est continue et strictement décroissante sur l'intervalle [0 ; 5]. f' (0) = 30 > 0 et f' (5) = -5 < 0.
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f' (x ) = 0 admet une solution unique x1 sur l'intervalle [0 ; 5].
D'où la courbe Cf admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point de coordonnées (x1 ; f (x1)).
D'autre part, la fonction dérivée f' est continue et strictement croissante sur l'intervalle [5 ; 15]. f' (5) = -5 < 0 et f' (15) = 20 > 0.
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f' (x ) = 0 admet une solution unique x2 sur l'intervalle [5 ; 15].
D'où la courbe Cf admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point de coordonnées (x2 ; f (x2)).
Nous en déduisons que la courbe Cf admet deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses.
Par conséquent, l'affirmation 4 est fausse.
Le tableau de variations de la fonction dérivée f' nous indique que f' est croissante sur l'intervalle [5; 15].
D'où la fonction f est convexe sur cet intervalle [5 ; 15].
Par conséquent, l'affirmation 5 est vraie.
5 points
exercice 2 : Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ou candidats de L
Pour tout entier naturel n , nous notons un le nombre de pommiers par hectare l'année (2018 + n ).
Nous avons ainsi u0 = 300.
Une diminution de 4 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,04 = 0,96.
1. a) Le nombre un +1 de pommiers par hectare l'année 2018 + (n +1) se calcule comme suit :
d'abord une diminution de 4 % du nombre un de pommiers , ce qui revient à calculer 0,96 un
ensuite une augmentation fixe de 22 nouveaux pommiers, ce qui revient à calculer 0,96 un + 22.
D'où pour tout entier naturel n ,
1. b) Le rang correspondant à l'année 2020 est n = 2.
D'où, en 2020, il y aura 320 pommiers à l'hectare.
2. a) Algorithme complété :
2. b) L'exécution de l'algorithme est retranscrit dans le tableau suivant (les valeurs de U sont arrondies au dixième):
La valeur de la variable N à la fin de l'exécution de l'algorithme est N = 13.
3. Pour tout entier naturel n , nous posons : vn = un - 550.
3. a) Montrons que la suite (vn ) est une suite géométrique.
Nous en déduisons que la suite (vn ) est une suite géométrique de raison q = 0,96 dont le premier terme est v0 = -250.
3. b) Le terme général de la suite (vn ) est .
Donc, pour tout n 0,
3. c) Le rang correspondant à l'année 2025 est n = 7 car 2025 = 2018 + 7.
D'où
Nous estimons donc qu'en 2025, le nombre de pommiers à l'hectare s'élèvera à 362.
Puisque l'exploitation de Laurence comprend 14 hectares, le nombre de pommiers de l'exploitation de Laurence en 2025 peut être estimé à 14 362, soit à 5068 pommiers.
3. d) Résolvons dans l'ensemble l'inéquation un > 400.
Puisque n est un nombre entier naturel, la plus petite valeur de n vérifiant l'inéquation est n = 13. Nous retrouvons donc le résultat obtenu à la question 2. b).
5 points
exercice 2 : Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
1. a) Graphe probabiliste représentant la situation :
1. b) La matrice de transition M du graphe probabiliste dans l'ordre D-R est
2. a) Le premier jour, Julie emprunte la voie rapide.
Si pour tout entier naturel n non nul, nous notons la matrice exprimant l'état du nième jour où dn désigne la probabilité que Julie emprunte les routes départementales le nième jour et rn la probabilité que Julie emprunte la voie rapide le nième jour, alors
2. b) Calculons M2.
La matrice exprimant l'état du 3ième jour est P3.
D'où, la probabilité que Julie emprunte les routes départementales le 3ième jour est égale à 0,44.
3. b)L'algorithme 1 ne convient pas.
En effet, dans la ligne , la valeur de la variable D est modifiée.
La nouvelle valeur de cette variable D ne convient donc pas pour la ligne . L'algorithme 2 ne convient pas.
En effet, à l'issue de cet algorithme sont d4 et r4.
Donc, seul l'algorithme 3 convient.
5. Soit la suite (vn ) définie
5. a) Montrons que la suite (vn ) est géométrique.
Par conséquent, la suite (vn ) est une suite géométrique de raison q = 0,4 dont le premier terme est .
5. b) Le terme général de la suite (vn ) est donné par .
Donc
De plus,
A long terme, nous pouvons prévoir que Julie empruntera la voie rapide 1 fois sur 3.
5 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Partie A
La variable aléatoire D soit la loi normale d'espérance = 15,5 et d'écart-type = 6.
1. Nous devons déterminer P (D < 8).
Nous savons que , soit que
Par conséquent, la probabilité qu'il y ait pénurie d'eau est environ égale à 0,11.
2. Nous devons déterminer P (8 D 26).
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons : P (8 D 26) 0,85.
Par conséquent, la probabilité qu'il n'y ait pas de vigilance particulière est environ égale à 0,85.
3. Nous devons déterminer P (3,5 D 27,5).
Nous savons que si D suit la loi normale d'espérance et d'écart-type , alors
Partie B
1. Nous répétons 10 fois la même expérience aléatoire.
Tous les tirages de relevés sont identiques et indépendants.
Chaque expérience possède exactement deux issues :
S : "le relevé a été exécuté par l'équipe de Sébastien" dont la probabilité est p = 0,25.
"le relevé n'a pas été exécuté par l'équipe de Sébastien" dont la probabilité est 1 - p = 0,75.
Si X est la variable aléatoire donnant le nombre de relevés effectués par l'équipe de Sébastien parmi les 10 relevés, alors X suit la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,25.
2. Nous devons calculer P (X = 4).
D'où la probabilité que 4 relevés exactement soient effectués par l'équipe de Sébastien est environ égale à 0,15 (valeur arrondie au centième).
2. Nous devons calculer P (X 2).
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :
Par conséquent, la probabilité qu'au moins 2 relevés soient effectués par l'équipe de Sébastien est environ égale à 0,76 (valeur arrondie au centième).
Partie C
Un intervalle de confiance au niveau de confiance à 95% de la proportion de relevés de qualité "satisfaisante" dans un échantillon de taille n est de la forme où f est la fréquence observée.
L'amplitude de cet intervalle est
Cette amplitude doit être inférieure à 0,1.
Par conséquent, il faudra effectuer au minimum 400 relevés pour obtenir un intervalle au niveau de confiance de 95 % dont l'amplitude est inférieure à 0,1.
5 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
Soit
Partie A
1. Le graphique ci-dessous nous montre que les points de coordonnées (0 ; 112) et (60 ; 70) semblent appartenir à la courbe Cf .
Nous en déduisons que selon la précision autorisée, f (0) = 112 et f (60) = 70.
2. D'après l'énoncé, nous admettons que le point A de Cf d'abscisse 7 est un point d'inflexion de Cf .
Par conséquent, f'' (7) = 0.
3. a) On considère la surface située entre l'axe des abscisses, la courbe Cf , et les droites d'équation x = 0 et x = 60.
Cette surface est hachurée en lignes obliques sur le dessin ci-dessus.
3. b) Cette surface hachurée contient le rectangle représenté en bleu dont les dimensions sont 60 et 70.
L'aire de ce rectangle est égale à 60 70 = 4200 unités d'aire.
Par conséquent, l'aire de la surface hachurée est supérieure à 3800 unités d'aire. L'estimation de l'ébéniste n'est donc pas correcte.
Partie B
1. Calcul de f' (x ).
2. a) Etudions le signe de f' (x ) sur l'intervalle [0 ; 60].
Puisque l'exponentielle est strictement positive sur , le signe de f' (x ) sera le signe de , soit le signe de -14x + 28.
D'où le tableau de signes de f' (x ) sur [0 ; 60] :
2. b) Nous en déduisons le tableau de variations de f sur [0 ; 60]
3. Selon le logiciel de calcul formel, nous obtenons l'expression de la dérivée seconde de la fonction f .
La convexité de la fonction f est donnée par le signe de la dérive seconde.
Puisque l'exponentielle est strictement positive sur , le signe de f' (x ) sera le signe de , soit le signe de x - 7.
x - 7 < 0 x < 7. x - 7 = 0 x = 7. x - 7 > 0 x > 7.
D'où le tableau de signes de f'' (x ) et la convexité de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 60].
Par conséquent, f est concave sur l'intervalle [0 ; 7] et est convexe sur l'intervalle [7 ; 60].
4. a) La fonction G est dérivable sur l'intervalle [0 ; 60] comme produit de deux fonctions dérivables sur [0 ; 60].
Nous en déduisons que la fonction G est une primitive de la fonction g sur l'intervalle [0 ; 60].
4. b) Pour tout réel x dans l'intervalle [0 ; 60], f (x ) = 70 + g (x ).
Dès lors, une primitive de la fonction f est la fonction F définie par F (x ) = 70x + G (x ), soit .
Partie C
Si le pot entier de vernis peut couvrir 10 m², alors un quart de pot pourra couvrir
L'ébéniste souhaite vernir les deux faces de chaque accoudoir (soit une aire de 4 4760 cm2) ainsi que le dossier du fauteuil dont l'aire est égale à 5400 cm2.
L'aire totale à couvrir est égale à 4 4760 cm2 + 5400 cm2= 24440 cm2, soit 2,444 m2.
Par conséquent, l'ébéniste a suffisamment de vernis car 2,5 > 2,444.
Publié par malou
le
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