exercice 1

Deux villes A et B ont, au premier janvier 1995, des populations respectives de 100 000 habitants et de 80 000 habitants.
La population de A augmente de 1% par an, tandis que celle de B augmente de 5 % par an.

1. Calculer la population u₁ de A le premier janvier 1996, c'est-à-dire au bout d'un an.
Calculer la population v₁ de B le premier janvier 1996.

2. On note u_n la population de A au bout de n années, et v_n la population de B au bout de n années. Calculer u₅, u₆, v₅, v₆.
Déterminer l'année à partir de laquelle le nombre d'habitants de B dépassera le nombre d'habitants de A ?

exercice 2

Un quadrillage est constitué de 16 carrés dont les côtés mesurent une unité de longueur. On appelle " saut " tout déplacement de la puce d'une unité de longueur, en suivant les lignes du quadrillage. Ce déplacement peut avoir lieu vers le haut, vers le bas, à droite, ou bien à gauche. On suppose qu'il y a équiprobabilité des directions de déplacement.
On suppose que la puce se trouve initialement en O, et effectue deux sauts successifs. Par exemple, si la puce saute la première fois à droite, puis la seconde fois vers le haut, le point d'arrivée est A.

1. Indiquer, toutes les positions que peut occuper la puce à l'issue des deux sauts.
Préciser, pour chacune d'elles, le nombre de façons d'atteindre cette position.

2. Calculer la probabilité de l'événement : " la puce est en O à l'issue des deux sauts ".

exercice 3

Une entreprise fabrique des objets, en quantité q. Le coût total de la fabrication, exprimé en millions de francs, est représenté graphiquement, en fonction de q, par la courbe C. Le revenu des ventes, exprimé aussi en millions de francs, est représenté graphiquement, en fonction de q, par la courbe R.

Avec la précision permise par le graphique, déterminer :

1. Le coût total de fabrication de 300 objets.

2. Le nombre d'objets vendus pour un revenu de vente de 3 millions de francs.

3. Les valeurs de q pour que la production soit bénéficiaire.

exercice 1

1. Puisque la population de la ville A augmente de 1 % par an, elle comptera au premier janvier 1996 :
100 000 + 100 000 × (1/100) = 101 000 habitants.
Donc : u₁ = 101 000.
Puisque la population de la ville B augmente de 5 % par an, elle comptera au premier janvier 1996 :
80 000 + 80 000 × (5/100) = 84 000 habitants.
Donc : u₂ = 84 000.

2. Pour la ville A, on a : u_n+1 = u_n + u_n × (1/100) = 1,01 u_n, c'est-à-dire : u_n = (1,01)ⁿ × u₀ = (1,01)ⁿ × 100 000.
Pour la ville B, on a : v_n+1 = v_n + v_n × (5/100) = 1,05 v_n, c'est-à-dire : v_n = (1,05)ⁿ × v₀ = (1,05)ⁿ × 80 000.
D'où : u₅ 105 101 ; u₆ 106 152 et v₅ 102 103 ; v₆ 107 208.
À l'aide de ces calculs, on voit que la population de B dépassera celle de A au bout de 6 ans.
Le nombre d'habitants de B dépassera celui de A à partir de l'année 1995 + 6 = 2001.

exercice 2

1.

Le nombre de façons d'atteindre chacune des positions est inscrit à côté du point. Au total, il y en a 16.

2. Sur le 16 trajets différents possibles de la puce, 4 correspondent à l'événement : « La puce est en O à l'issue des deux sauts ». La probabilité de cet événement est donc : 4/16 = 1/4.

exercice 3

À l'aide du graphique, on voit que :

1. le coût total de fabrication de 300 objets est d'environ 2,8 millions de francs.

2. le nombre d'objets vendus pour un revenu de vente de 3 millions de frans est de 250 objets.

3. les valeurs de q pour que la production soit bénéficiaire sont comprises entre 150 et 350 objets.