Fiche de mathématiques
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De l'utilité du conjugué

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On pose  z'=\dfrac{z^2-2i}{z\overline z+1} 


1. Expliquer pourquoi le nombre complexe  z'  est bien défini pour tous les nombres complexes  z .

 {\white{wwww}}\checkmark aide : "être bien défini" signifie que le quotient est toujours défini. Ici il suffit de démontrer que le dénominateur n'est pas nul.

a. Démontrer que  z'  est réel si et seulement si  (z - \overline{z})(z + \overline{z}) = 4i 

 {\white{wwww}}\checkmark aide : utilise ton cours en écrivant que  z'  est réel  \iff \overline z'=z' 

et travaille pas équivalences successives en utilisant les propriétés du conjugué d'un quotient, d'une somme, etc.

b. En déduire que  z'  est réel si et seulement si il existe un réel  x  non nul tel que  z = x + \dfrac{i}{x} .

 {\white{wwww}}\checkmark aide : mot important le "en déduire", qui t'indique que tu dois repartir de la question qui vient d'être démontrée.

Démontrer que  z'  est un nombre imaginaire pur si et seulement si il existe un réel  x  tel que  z = x + i x  ou  z = x - i x .

 {\white{wwww}}\checkmark aide : cette question ressemble à la question 2. , adopte la même démarche qui cette fois n'a pas été détaillée. Dans ton cours, tu as une condition pour que  z'  soit imaginaire pur exprimée à l'aide du conjugué, c'est le moment de l'utiliser.



Correction


On pose  z'=\dfrac{z^2-2i}{z\overline z+1} 

1.  \checkmark  Ou on connaît le module et on sait que  z\overline z=|z|^2  et on dit que  z\overline z+1=|z|^2+1  qui ne peut donc pas être nul

 \checkmark  ou on remplace  z  par  x+iy  avec  x  et  y  réels,  z\overline z+1=x^2+y^2+1  qui ne peut pas être nul.

L'expression est donc bien toujours définie.

2.a. Montrer que  z'  est réel si et seulement si  (z-\overline z)(z+\overline z)=4i .

 z'  réel  \iff z'=\overline{z'} .

On calcule le conjugué du quotient qui est le quotient des conjugués. Mais

 \checkmark  le conjugué d'une somme est égal à la somme des conjugués,

 \checkmark  le conjugué d'un produit est égal au produit des conjugués,

 \checkmark  et le conjugué d'un conjugué est le complexe lui-même.

Ce qui donne :

 \overline{z'}=\dfrac{\overline{z^2-2i}}{\overline{z\overline z+1}} 

 \phantom{\overline{z'}}=\dfrac{\overline {z^{2}}-\overline{2i}}{\overline {z\overline{z}}+\overline 1} 

 \phantom{\overline{z'}}=\dfrac{{\overline z}^2+2i}{\overline z z+ 1} 

On égalise et on simplifie par le même dénominateur (non nul car  z\overline z+1=|z|^2+1>0 ) :

 \dfrac{z^2-2i}{z\overline z+1}=\dfrac{\overline z^{2}+2i}{z\overline z+1}\ \iff\ z^2-2i=\overline z^{2}+2i .

On regroupe :  z^2-\overline z^{2}=4i\ \iff\ (z-\overline z)(z+\overline z)=4i .

La condition équivalente est donc démontrée.

2.b. On écrit  z=x+iy  avec  x,y\in\mathbb R . Alors  z-\overline z=2iy  et  z+\overline z=2x .

La condition devient   (2iy)(2x)=4i\ \iff\ 4ixy=4i\ \iff\ xy=1 .

Donc  x\neq0  (car s'il était nul, le produit  xy  serait nul, ce qui n'est pas le cas)

et  y=\dfrac{1}{x} , d'où  z=x+i,\dfrac{1}{x} .

Réciproquement, pour un  x\in\mathbb R^* , si  z=x+\dfrac{i}{x} , alors  (z-\overline z)(z+\overline z)=4i  et,

par 2.a,  z'  est réel. On a bien l'équivalence demandée.


3. Dans le cours, on sait que :

 z'  imaginaire pur  \iff \overline {z'}=-z' .

On reprend le calcul fait pour la question 2.

 \dfrac{z^2-2i}{z\overline z+1}=-\dfrac{\overline z^{2}+2i}{z\overline z+1}\ \iff\ z^2-2i=-(\overline z^{2}+2i)   \iff z^2=\overline z^{2} 

On remplace  z  par  x+iy  avec  x  et  y  réels.

On obtient :  x=y  ou  x=-y .

Et  z  s'écrit bien comme attendu  x+ix  ou  x-ix  avec  x  réel.
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