Fiche de mathématiques
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Bac S Maroc 2021

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Durée : 4 heures

Coefficient : 9

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.


12 points

exercice 1

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction fn définie sur R par :

f_n(x)=\dfrac{-2\text e ^x}{1+\text e ^x}+ nx


Soit (Cn ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O; \,\vec i ,\, \vec j).
On prendra ||vecti||=||vectj||=1 cm.

Partie I :

1-a ) Calculer \lim\limits_{x\to+\infty}\left(f_n(x)-nx+2\right) {\white{w} puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
\white wib ) Montrer que la courbe (Cn ) admet, en - infini, une asymptote (deltamajn ) dont on déterminera une équation cartésienne.

2-a ) Montrer que la fonction fn est dérivable sur R et que :

\white wwww(\forall x \in \textbf R)\;;\; f'_n(x)=\dfrac{-2\text e ^x}{(1+\tex e ^x)^2}+n

\white wib ) Montrer que : (\forall x \in \textbf R)\;;\; \dfrac{4\text e ^x}{(1+\tex e ^x)^2} \le 1
\white wic ) En déduire le sens de variation de la fonction fn sur R.
\white wwwwwwwww(On distinguera les 2 cas : n = 0 et n supegal 1 )

3-a ) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe (Cn ) au point I d'abscisse 0.
\white wib ) Montrer que le point I est le seul point d'inflexion de la courbe (Cn ).

4- Représenter graphiquement dans le même repère, les deux courbes (C0 ) et (C 2).

5- Pour tout réel t > 0, on pose A(t) l'aire du domaine plan limité par (Cn ) et les droites d'équations respectives : y=nx - 2 , x = 0 et x = t.
\white wia ) Calculer A(t) pour tout t > 0.
\white wib ) Calculer \lim\limits_{t\to+\infty}A(t)  .

Partie II :

On considère la suite (u_n)_{n\ge 0} définie par :

u_0=0 \quad \text{ et } \quad \left(\forall n \in\textbf{N}\right) \quad ; \quad u_{n+1}=f_0(u_n)

1-a ) Montrer que l'équation f_0(x)=x admet une unique solution alpha dans R.
\white wib ) Montrer que \left(\forall x \in\textbf{R}\right)\quad ;\quad \left| f_0'(x)\right| \le \dfrac 1 2

2-a ) Montrer que \left(\forall n \in\textbf{N}\right)\quad ;\quad |u_{n+1}-\alpha|\le \dfrac 1 2 |u_n - \alpha|
\white wib ) En déduire que \left(\forall n \in\textbf{N}\right)\quad ;\quad |u_{n}-\alpha|\le \left(\dfrac 1 2\right)^n | \alpha|
\white wic ) Montrer que la suite (u_n)_{n\ge 0}\; converge vers alpha.

Partie III :

On suppose dans cette partie que n supegal 2.
1-a ) Montrer que pour tout entier n supegal 2 , il existe un unique réel xn solution de l'équation f_n(x)=0 .
\white wib ) Montrer que pour tout entier n supegal 2 , 0 < x_n  < 1
\white wwi (On prendra \dfrac{2\text e }{1+\text e} < 1,47 ).

2-a ) Montrer que pour tout entier n supegal 2, f_{n+1}(x_n) > 0 .
\white wib ) En déduire que la suite (x_n)_{n\ge 2}\; est strictement décroissante.
\white wic ) Montrer que la suite (x_n)_{n\ge 2}\; est convergente.

3-a ) Montrer que pour tout entier n supegal 2, \dfrac 1 n < x_n < \dfrac 1 n \left(\dfrac{2\text e }{1+\text e} \right)
\white wib ) En déduire \lim\limits_{n\to+\infty}x_n   puis montrer que \lim\limits_{n\to+\infty} nx_n  = 1.

4-a ) Montrer que pour tout entier n supegal 2, on a x_n \le x_2
\white wib ) En déduire \lim\limits_{n\to+\infty}(x_n )^n.

4 points

exercice 2

Soient a, b et c trois nombres complexes non nuls tel que : a + b different c

1-a ) Résoudre dans l'ensemble C l'équation d'inconnue z
\white wwi (E)\;\; : \;\; z²-(a+b+c)z+c(a+b)=0
\white wib ) On suppose dans cette question que : a=i\quad , \quqd b=\text e^{i\frac{\pi}{3}} \quad    \text{ et } \quad c=a-b
\white wwi Ecrire les deux solutions de (E ) sous forme exponentielle.

2- Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O; \vec u\; \vec v).
On considère les trois points A(a) , B ( b) et C (c) qu'on suppose non alignés.
Soient P (p ) le centre de la rotation d'angle \frac{\pi}{2} qui transforme B en A
et Q (q ) le centre de la rotation d'angle \left(-\frac{\pi}{2}\right) qui transforme C en A
et D (d ) le milieu du segment [BC ].
\white wia ) Montrer que : 2p=b+a+(a-b)i\quad \text{ et } \quad 2q=c+a+(c-a)i
\white wib ) Calculer : \dfrac{p-d}{q-d}
\white wic ) En déduire la nature du triangle PDQ

3- Soient E le symétrique de B par rapport à P et F le symétrique de C par rapport à Q et K le milieu du segment [EF ].
\white wia ) Montrer que l'affixe de K est k=a+\dfrac i 2 (c-b)
\white wib ) Montrer que les points K, P, Q et D sont cocycliques.

4 points

exercice 3

Partie I :

On considère dans ZmultiplieZ l'équation (E ) : 47 x - 43 y = 1
1- Vérifier que le couple (11 , 12) est une solution particulière de l'équation (E ).
2- Résoudre dans ZmultiplieZ l'équation (E );

Partie II :

On considère dans Z l'équation (F ) : x^{41} \equiv 4 \;\; [43].
1- Soit x appartient Z une solution de (F ).
\white wia ) Montrer que x et 43 sont premiers entre eux, en déduire que : x^{42} \equiv 1 \;\; [43].
\white wib ) Montrer que : 4x \equiv 1 \;\;[43] , en déduire que : x \equiv 11\;\;[43]

2- Donner l'ensemble des solutions dans Z de l'équation (F ).

Partie III :

On considère dans Z le système à deux équations suivant (S ) : \left\lbrace\begin{matrix} x^{41} &\equiv &4 & [43]\\ x^{47}&\equiv & 10 & [47] \end{matrix}\right.
1- Soit x une solution du système (S ).
\white wia ) Montrer que x est solution du système (S ') : \left\lbrace\begin{matrix} x &\equiv &11 & [43]\\ x&\equiv & 10 & [47] \end{matrix}\right.
\white wib ) En déduire que : x\equiv 527 \;\;[2021] . (On pourra utiliser la partie I)

2- Donner l'ensemble des solutions dans Z du système (S ).




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12 points

exercice 1

Pour tout entier naturel n , on considère la fonction fn  définie sur R par :  f_n(x)=\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+ nx.

PARTIE I :

1. a)  Nous devons calculer  \overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\overset{}{f_n(x)-nx+2}\right).}

\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\overset{}{f_n(x)-nx+2}\right)}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{-2\,\text e ^x}{1+\text e ^x}+ nx-nx+2\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwwwwwwwwww}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{-2\,\text e ^x}{1+\text e ^x}+2\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwwwwwwwwww}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{-2\,\text{e}^x+2+2\,\text{e}^x}{1+\text e ^x}\right)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{wwwwwwwwwwwwww}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{2}{1+\text e ^x}\right)} \\\\\text{Or }\,\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^x=+\infty\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{2}{1+\text e ^x}\right)=0 \\\\\text{D'où }\ \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\overset{}{f_n(x)-nx+2}\right)=0}

Nous venons de montrer que  \lim\limits_{x\to+\infty}\left(\overset{}{f_n(x)-(nx-2)}\right)=0.
Dès lors, la courbe (Cn ) admet une asymptote d'équation  \overset{{\white{.}}}{y=nx-2}   au voisinage de +infini.

1. b)  Nous devons montrer que la courbe (Cn ) admet, en -infini, une asymptote (deltamajn ).

Premier cas : n = 0.

\lim\limits_{x\to-\infty}f_0(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x} \\\\\text{Or }\,\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^x=0. \\\\\text{D'où }\,\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}=0,\,\text{ soit }\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f_0(x)=0}

Nous déduisons que la courbe (C 0 ) admet, en -infini, une asymptote horizontale (deltamaj0) d'équation y  = 0.

Deuxième cas : n supegal 1.

\lim\limits_{x\to-\infty}f_n(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+nx\right) \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}=0\phantom{x}(\text{voir le cas où n = 0)}\\\lim\limits_{x\to-\infty}nx=-\infty\phantom{x}(\text{car }n\in\N^*\Longrightarrow n>0)\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\,\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+nx\right)=-\infty,\,\text{ soit }\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f_n(x)=-\infty}

De plus,
\bullet\phantom{x}\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac{\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+nx}{x}\right)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac{1}{x}\times\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+n\right) \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}=0\phantom{wwwwwwwwwwwwwwww}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}=0\phantom{x}(\text{voir le cas où n = 0)}}\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\,\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac{1}{x}\times\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+n\right)=n,\,\text{ soit }\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}=n\in\N^*}

\bullet\phantom{x}\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\overset{}{f_n(x)-nx}\right)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\overset{}{\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+ nx-nx}\right) \\\phantom{WWWWWWnWWW}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}=0\phantom{x}(\text{voir le cas où n = 0)} \\\\\text{D'où }\,\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\overset{}{f_n(x)-nx}\right)=0}

Nous déduisons que la courbe (Cn ) admet, en -infini, une asymptote oblique (deltamajn ) d'équation y  = nx .

2. a)  Nous devons montrer que la fonction fn  est dérivable sur R et que :  \forall x \in \R,\; f'_n(x)=\dfrac{-2\text{e}^x}{(1+\tex{e}^x)^2}+n

\bullet{\white{x}}La fonction  x\mapsto-2\,\text{e}^x  est dérivable sur R comme produit de deux fonctions dérivables sur R (fonction constante et fonction exponentielle)

\bullet{\white{x}}La fonction  x\mapsto1+\text{e}^x  est dérivable sur R comme somme de deux fonctions dérivables sur R (fonction constante et fonction exponentielle)

\bullet{\white{x}}Pour tout x  réel,  1+\text{e}^x\neq0.

Donc la fonction  x\mapsto\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}  est dérivable sur R comme quotient de deux fonctions dérivables sur R avec  1+\text{e}^x\neq0.

\bullet{\white{x}}De plus, la fonction  \overset{{\white{.}}}{x\mapsto nx}  est dérivable sur R comme produit de deux fonctions dérivables sur R (fonction constante et fonction identique)

Dès lors, la fonction  f_n:x\mapsto \dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+ nx  est dérivable sur R comme somme de deux fonctions dérivables sur R.

Déterminons l'expression de  f'_n(x).

f'_n(x)=\left(\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}\right)'+ (nx)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'_n(x)}=\dfrac{(-2\text{e}^x)'\times(1+\text{e}^x)-(-2\,\text{e}^x)\times (1+\text{e}^x)'}{(1+\text{e}^x)^2}+ n} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'_n(x)}=\dfrac{(-2\text{e}^x)\times(1+\text{e}^x)+2\,\text{e}^x\times\,\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}+ n} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'_n(x)}=\dfrac{-2\text{e}^x-2\,(\text{e}^x)^2+2\,(\text{e}^x)^2}{(1+\text{e}^x)^2}+ n} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'_n(x)}=\dfrac{-2\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}+ n} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall x \in \R,\; f'_n(x)=\dfrac{-2\text{e}^x}{(1+\tex{e}^x)^2}+n}

2. b)  Nous devons montrer que :  \overset{{\white{.}}}{ \forall x \in \R,\; \dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\le 1.}
Cela revient à montrer que :  \overset{{\white{.}}}{\forall x \in \R,\; \dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}-1\le 0.}

\forall x \in \R,\; \dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}-1=\dfrac{4\text{e}^x-(1+\text{e}^x)^2}{(1+\text{e}^x)^2} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWWWWw}=\dfrac{4\text{e}^x-(1+2\,\text{e}^x+\text{e}^{2x})}{(1+\text{e}^x)^2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWWWWw}=\dfrac{4\text{e}^x-1-2\,\text{e}^x-\text{e}^{2x}}{(1+\text{e}^x)^2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWWWWw}=\dfrac{-1+2\,\text{e}^x-\text{e}^{2x}}{(1+\text{e}^x)^2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWWWWw}=\dfrac{-(1-2\,\text{e}^x+\text{e}^{2x})}{(1+\text{e}^x)^2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWWWWw}=\dfrac{-(1-\text{e}^x)^2}{(1+\text{e}^x)^2}} \\\\\text{Or }\,\left\lbrace\begin{matrix}(1-\text{e}^x)^2\ge0\\ (1+\text{e}^x)^2>0\end{matrix}\right.\phantom{.}\Longrightarrow\phantom{.}\dfrac{-(1-\text{e}^x)^2}{(1+\text{e}^x)^2}\le0  \\\\\text{D'où }\,\dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}-1\le0,\phantom{.}\text{soit }\phantom{.}\boxed{\dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\le1}

2. c)  Nous devons en déduire le sens de variation de la fonction fn  sur R.

Premier cas : n = 0.

Pour tout x  réel,  \overset{{\white{.}}}{f'_0(x)=\dfrac{-2\text{e}^x}{(1+\tex{e}^x)^2}<0.}
Par conséquent, la fonction f 0 est strictement décroissante sur R.

Deuxième cas : n supegal 1.

Pour tout x  réel,  \overset{{\white{.}}}{f'_n(x)=\dfrac{-2\text{e}^x}{(1+\tex{e}^x)^2}+n.}

En utilisant la question 2. b), nous obtenons :

\dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\le1\Longleftrightarrow{\red{\left(-\dfrac{1}{2}\right)}}\times\dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\,{\red{\ge}}\,{\red{\left(-\dfrac{1}{2}\right)}}\times1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\le1}\Longleftrightarrow\dfrac{-2\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\ge-\dfrac{1}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\le1}\Longleftrightarrow\boxed{\dfrac{-2\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}+n\ge-\dfrac{1}{2}+n}} \\\\\text{Or }\,n\ge1\Longrightarrow-\dfrac{1}{2}+n\ge-\dfrac{1}{2}+1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\,n\ge1}\Longrightarrow-\dfrac{1}{2}+n\ge\dfrac{1}{2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{Or }\,n\ge1}\Longrightarrow-\dfrac{1}{2}+n>0} \\\\\text{D'où }\,\dfrac{-2\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}+n>0,\phantom{.}\text{soit }\phantom{.}\boxed{f'_n(x)>0}
Par conséquent, pour tout entier n  supegal 1, la fonction f n est strictement croissante sur R.

3. a)  L'équation de la tangente à la courbe (Cn ) au point I  d'abscisse 0 est de la forme  \overset{{\white{.}}}{y=f'_n(0)(x-0)+f_n(0)} , soit de la forme  \overset{{\white{.}}}{y=f'_n(0)x+f_n(0).}

\left\lbrace\begin{matrix}f'_n(x)=\dfrac{-2\text{e}^x}{(1+\tex{e}^x)^2}+n\\\overset{{\white{.}}}{f_n(x)=\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+ nx}\end{matrix}\right. \Longrightarrow\phantom{x}\left\lbrace\begin{matrix}f'_n(0)=\dfrac{-2\text{e}^0}{(1+\tex{e}^0)^2}+n\\\overset{{\white{.}}}{f_n(0)=\dfrac{-2\text{e}^0}{1+\text{e}^0}}\end{matrix}\right.

{\white{WWWWWWWWWWw}}\Longrightarrow\phantom{x}\left\lbrace\begin{matrix}f'_n(0)=\dfrac{-2}{4}+n\\\overset{{\white{.}}}{f_n(0)=\dfrac{-2}{2}}\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\phantom{x}\left\lbrace\begin{matrix}f'_n(0)=n-\dfrac{1}{2}\\\overset{{\white{.}}}{f_n(0)=-1}\end{matrix}\right.
Par conséquent, une équation de la tangente à la courbe (Cn ) au point I  d'abscisse 0 est :  \boxed{y=\left(n-\dfrac{1}{2}\right)x-1}\,.

3. b)  Nous devons montrer que le point I  est le seul point d'inflexion de la courbe (Cn ).

Les coordonnées au point I sont (0 ; -1).

La fonction  f'_n  est dérivable sur R.

Pour tout x  réel,  

f''_n(x)=\left[\dfrac{-2\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\right]'+n' \\\\\phantom{www}=\dfrac{(-2\text{e}^x)'\times(1+\text{e}^x)^2-(-2\text{e}^x)\times [(1+\text{e}^x)^2]'}{(1+\text{e}^x)^4} \\\\\phantom{www}=\dfrac{(-2\text{e}^x)\times(1+\text{e}^x)^2+2\text{e}^x\times 2\times(1+\text{e}^x)'\times(1+\text{e}^x)}{(1+\text{e}^x)^4} \\\\\phantom{www}=\dfrac{-2\text{e}^x\,(1+\text{e}^x)^2+4\text{e}^x\times\text{e}^x\times(1+\text{e}^x)}{(1+\text{e}^x)^4} \\\\\phantom{www}=\dfrac{2\,\text{e}^x\,(1+\text{e}^x)[-(1+\text{e}^x)+2\text{e}^x]}{(1+\text{e}^x)^4} \\\\\phantom{www}=\dfrac{2\,\text{e}^x[-(1+\text{e}^x)+2\text{e}^x]}{(1+\text{e}^x)^3} \\\\\phantom{www}=\dfrac{2\,\text{e}^x(-1-\text{e}^x+2\text{e}^x)}{(1+\text{e}^x)^3} \\\\\phantom{www}=\dfrac{2\,\text{e}^x(-1+\text{e}^x)}{(1+\text{e}^x)^3} \\\\\Longrightarrow\boxed{f''_n(x)=\dfrac{2\,\text{e}^x(\text{e}^x-1)}{(1+\text{e}^x)^3}}

Etudions le signe de  f''_n(x).

Pour tout x  réel, ex  > 0 et (1 + ex )3 > 0.

Donc le signe de  f''_n(x)  est le signe de ex  - 1.

\begin{matrix}\bullet{\phantom{w}}\text{e}^x-1<0\Longleftrightarrow\text{e}^x<1 \\\phantom{xx\text{e}^x-2<0}\Longleftrightarrow x<0 \\\\\bullet{\white{w}}\text{e}^x-1=0\Longleftrightarrow x=0 \\\\\bullet{\phantom{w}}\text{e}^x-1>0\Longleftrightarrow x>0\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix}  |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&0&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\\text{e}^x-1&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f''_n(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

D'où   f''_n(x)  change de signe au voisinage de 0 et seulement au voisinage de 0.
Par conséquent, le point I(0 ; -1) est le seul point d'inflexion de la courbe (Cn ).

4.  Représentation graphique des courbes (C 0) (en vert) et (C 2) (en bleu).

Bac S Maroc 2021 : image 1


5.  Pour tout réel t  > 0, on pose A (t ) l'aire du domaine plan limité par (Cn ) et les droites d'équations respectives : y  = nx  - 2, x  = 0 et x  = t .

5. a)  Nous devons calculer A (t ) pour tout t  > 0.

A(t)= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{t} \left|\overset{}{f_n(x)-(nx-2)}\right|\,\text d x\end{aligned} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A(t)}= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{t} \left|\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+ nx-(nx-2)\right|\,\text d x\end{aligned}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A(t)}= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{t} \left|\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+ nx-nx+2\right|\,\text d x\end{aligned}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A(t)}= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{t} \left|\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+2\right|\,\text d x\end{aligned}}

Montrons que  \dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+2\ge0.

\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+2\ge0\quad\Longleftrightarrow\quad2\ge\dfrac{2\text{e}^x}{1+\text{e}^x} \\\phantom{\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+2\ge0\quad}\Longleftrightarrow\quad2\,(1+\text{e}^x)\ge2\text{e}^x \\\phantom{\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+2\ge0\quad}\Longleftrightarrow\quad2+2\,\text{e}^x\ge2\text{e}^x \\\phantom{\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+2\ge0\quad}\Longleftrightarrow\quad2\ge2\text{e}^x-2\,\text{e}^x \\\phantom{\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+2\ge0\quad}\Longleftrightarrow\quad2\ge0.

Puisque 2 supegal 0 est vrai, nous en déduisons que  \dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+2\ge0.

Dès lors,  \left|\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+2\,\right|=\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+2.

Nous obtenons ainsi :

A(t)= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{t} \left(\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+2\right)\,\text d x\end{aligned} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{A(t)}= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{t} \dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}\,\text d x\end{aligned}+ \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{t} 2\,\text d x\end{aligned}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{A(t)}= -2\,\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{t} \dfrac{\text{e}^x}{1+\text{e}^x}\,\text d x\end{aligned}+ \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{t} 2\,\text d x\end{aligned}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{A(t)}= -2\,\left[\overset{}{\ln(1+\text{e}^x)}\right]_0^t+ \left[\overset{}{2x}\right]_0^t}

\\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{A(t)}= -2\,\left[\overset{}{\ln(1+\text{e}^t)-\ln(1+\text{e}^0)}\right]+ \left[\overset{}{2t-0}\right]}  \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{A(t)}= -2\,\left[\overset{}{\ln(1+\text{e}^t)-\ln2}\right]+ 2t} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{A(t)}= -2\,\overset{}{\ln(1+\text{e}^t)+2\ln2}+ 2t} \\\\\Longrightarrow\boxed{A(t)=-2\ln(1+\text{e}^t)+2t+\ln4\;\text{cm}^2}

5. b)  Nous devons calculer  \overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{t\to+\infty}A(t).}

\lim\limits_{t\to+\infty}A(t)=\lim\limits_{t\to+\infty}[-2\ln(1+\text{e}^t)+2t+\ln4] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{t\to+\infty}A(t)}=\lim\limits_{t\to+\infty}[-2\ln(1+\text{e}^t)+2\ln(\text{e}^t)]+\ln4} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{t\to+\infty}A(t)}=\lim\limits_{t\to+\infty}-2[\ln(1+\text{e}^t)-\ln(\text{e}^t)]+\ln4} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{t\to+\infty}A(t)}=-2\lim\limits_{t\to+\infty}[\ln(1+\text{e}^t)-\ln(\text{e}^t)]+\ln4} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\lim\limits_{t\to+\infty}A(t)}=-2\lim\limits_{t\to+\infty}\ln\left(\dfrac{1+\text{e}^t}{\text{e}^t}\right)+\ln4} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\lim\limits_{t\to+\infty}A(t)}=-2\lim\limits_{t\to+\infty}\ln\left(\dfrac{1}{\text{e}^t}+1\right)+\ln4}
\\\\\text{Or }\,\lim\limits_{t\to+\infty}\text{e}^t=+\infty\Longrightarrow\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{1}{\text{e}^t}=0 \\\\\text{D'où }\lim\limits_{t\to+\infty}A(t)=-2\ln(0+1)+\ln4 \\\phantom{\text{D'où }\lim\limits_{t\to+\infty}A(t)}=-2\ln1+\ln4 \\\phantom{\text{D'où }\lim\limits_{t\to+\infty}A(t)}=0+\ln4 \\\phantom{\text{D'où }\lim\limits_{t\to+\infty}A(t)}=\ln4 \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{t\to+\infty}A(t)=\ln4\;\text{cm}^2}

PARTIE II :

  On considère la suite  (u_n)_{n\ge 0}  définie par :  \left\lbrace\begin{matrix}u_0=0\phantom{wwwwwwww}\\u_{n+1}=f_0(u_n)\phantom{ww}(n\in\N ).\end{matrix}\right.

1. a)  Nous devons montrer que l'équation  \overset{{\white{.}}}{f_0(x)=x}  admet une unique solution alpha dans R.

Soit la fonction g  définie sur R par :  g(x)=f_0(x)-x.

Montrer que l'équation  \overset{{\white{.}}}{f_0(x)=x}  admet une unique solution alpha dans R revient à montrer que l'équation  \overset{{\white{.}}}{g(x)=0}  admet une unique solution alpha dans R.

La fonction g  est continue et dérivable sur R.

Nous avons montré dans la Partie I - question 2. c) que la fonction f 0 est strictement décroissante sur R.
La fonction  h:x\mapsto-x  est strictement décroissante sur R.
Dès lors, la fonction g  est strictement décroissante sur R (somme des deux fonctions strictement décroissante sur R).

De plus,

\bullet\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}f_0(x)=0\phantom{w}\text{(voir Partie I - question 1. b)}\\\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty\phantom{WWWWWWWWWWWWW}\end{matrix}\right. \phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\lim\limits_{x\to-\infty}[f_0(x)-x]=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWx}\Longrightarrow\phantom{ww}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=+\infty} \\\\\bullet\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}f_0(x)=-2\phantom{w}\text{(voir Partie I - question 1. a)}\\\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\phantom{WWWWWWWWWWWWW}\end{matrix}\right. \phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\lim\limits_{x\to+\infty}[f_0(x)-x]=-\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWx}\Longrightarrow\phantom{ww}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty}
D'où  \overset{{\white{.}}}{ 0\in g(\,]-\infty\,;+\infty[\,).}

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation g (x ) = 0 possède une et une seule solution notée  \overset{{\white{.}}}{\alpha}  dans R

Par conséquent, l'équation  \overset{{\white{.}}}{f_0(x)=x}  admet une unique solution alpha dans R.

1. b)  Nous devons montrer que  \forall x \in\R,\quad\left|\overset{}{ f_0'(x)}\right| \le \dfrac{1}{2}.

Nous savons que  \left|\overset{}{ f_0'(x)}\right|=\left|\overset{}{ \dfrac{-2\text{e}^x}{(1+\tex{e}^x)^2}}\right|\Longrightarrow \boxed{\left|\overset{}{ f_0'(x)}\right|= \dfrac{2\text{e}^x}{(1+\tex{e}^x)^2}}

En utilisant la Partie I - question 2. b), nous obtenons :

\dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\le1\Longleftrightarrow{\red{\dfrac{1}{2}}}\times\dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\le{\red{\dfrac{1}{2}}}\times1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\le1}\Longleftrightarrow\dfrac{2\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\le\dfrac{1}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\le1}\Longleftrightarrow\boxed{\left|\overset{}{ f_0'(x)}\right| \le \dfrac{1}{2}}}

2. a)  Nous devons montrer que  \forall n \in\N,\quad |u_{n+1}-\alpha|\le \dfrac{1}{2}\,|u_n - \alpha|.

Soit  a=\text{min}\lbrace u_n,\alpha\rbrace  et  b=\text{max}\lbrace u_n,\alpha\rbrace.

\bullet{\white{w}}La fonction f 0 est continue sur l'intervalle [a ; b].
\bullet{\white{w}}La fonction f 0 est dérivable sur l'intervalle ]a ; b[.
\bullet{\white{w}}Nous savons que pour tout x  réel,  \left|\overset{}{ f_0'(x)}\right| \le \dfrac{1}{2}.
Selon l'inégalité des accroissements finis, nous savons que  \left|\overset{}{ f_0(u_n)-f_0(\alpha)}\right| \le \dfrac{1}{2}\left|\overset{}{ u_n-\alpha}\right|.

Or  f_0(u_n)=u_{n+1}  et  f_0(\alpha)=\alpha  car alpha est la solution de l'équation   \overset{{\white{.}}}{f_0(x)=x.} 
Par conséquent,  \boxed{\forall n \in\N,\quad |u_{n+1}-\alpha|\le \dfrac{1}{2}\,|u_n - \alpha|}\,.

2. b)  Nous devons en déduire que  \forall n \in\N,\quad |u_{n}-\alpha|\le \left(\dfrac{1}{2}\right)^n | \alpha|.

\bullet{\white{w}}L'inégalité est vraie si un  = alpha car elle s'écrirait :  0\le \left(\dfrac{1}{2}\right)^n | \alpha| , ce qui est vrai par évidence.

\bullet{\white{w}}Soit un  different alpha.

Nous savons que  \forall n \in\N,\quad |u_{n+1}-\alpha|\le \dfrac{1}{2}\,|u_n - \alpha|}\,.

Dès lors, nous obtenons :

\left\lbrace\begin{matrix}|u_{n}-\alpha|\le \dfrac{1}{2}\,|u_{n-1} - \alpha|\\\overset{{\white{.}}}{|u_{n-1}-\alpha|\le \dfrac{1}{2}\,|u_{n-2} - \alpha|}\\\overset{{\white{.}}}{|u_{n-2}-\alpha|\le \dfrac{1}{2}\,|u_{n-3} - \alpha|}\\\\\cdots\cdots\cdots\\\overset{{\white{.}}}{|u_{2}-\alpha|\le \dfrac{1}{2}\,|u_{1} - \alpha|}\\\overset{{\phantom{.}}}{|u_{1}-\alpha|\le \dfrac{1}{2}\,|u_{0} - \alpha|}\end{matrix}\right.

Multiplions ces n  inégalités membre à membre.

|u_{n}-\alpha|\times|u_{n-1} - \alpha|\times|u_{n-2} - \alpha|\times\cdots\times|u_{2}-\alpha|\times|u_{1}-\alpha| \\\\\phantom{xxxxx}\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \times|u_{n-1} - \alpha|\times|u_{n-2} - \alpha|\times\cdots\times|u_{1}-\alpha|\times|u_{0}-\alpha|
Simplifions les facteurs identiques dans les deux membres.
Nous obtenons alors :  |u_{n}-\alpha|\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\times|u_{0}-\alpha|.

\text{Or }\,u_0=0\Longrightarrow|u_{0}-\alpha|=|-\alpha| \\\phantom{\text{Or }\,u_0=0}\Longrightarrow|u_{0}-\alpha|=|\alpha|.

D'où   \boxed{\forall n \in\N,\quad |u_{n}-\alpha|\le \left(\dfrac{1}{2}\right)^n | \alpha|}\,.

{\red{\text{2. c) }}}\,\left\lbrace\begin{matrix}0\le|u_{n}-\alpha|\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\times|\alpha|\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0\phantom{w}\text{(car }0<\dfrac{1}{2}<1)\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{wx}\lim\limits_{n\to+\infty}|u_{n}-\alpha|=0 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWwwxxWWxWW}\Longrightarrow\phantom{wx}\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_{n}=\alpha}
Par conséquent, la suite  (u_n)_{n\ge 0}\;  converge vers alpha.

PARTIE III :

On suppose dans cette partie que n  supegal 2.

1. a)  Nous devons montrer que pour tout entier n  supegal 2, il existe un unique réel xn  solution de l'équation  \overset{{\white{.}}}{f_n(x)=0.}

La fonction fn  est continue et dérivable sur R.
Nous avons montré dans la Partie I - question 2. c) que la fonction fn  est strictement croissante sur R.
De plus,

\bullet\phantom{w}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f_n(x)=-\infty}\phantom{w}\text{(voir Partie I - question 1. b)}

\bullet\phantom{w}\lim\limits_{x\to+\infty}f_n(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+ nx\right) \\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{-2\text{e}^x}{\text{e}^x(\text{e}^{-x}+1)}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwww}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{-2}{\text{e}^{-x}+1}}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwx}=\dfrac{-2}{0+1}=-2}\\\lim\limits_{x\to+\infty}nx=+\infty\phantom{wwwwwwwwwxw}\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+ nx\right)=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\phantom{ww}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f_n(x)=+\infty}

D'où  \overset{{\white{.}}}{ 0\in f_n(\,]-\infty\,;+\infty[\,).}

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation fn  (x ) = 0 possède une et une seule solution  \overset{{\white{.}}}{x_n}  dans R

1. b)  Pour tout entier n  supegal 2,

\left\lbrace\begin{matrix}f_n(0)=\dfrac{-2\text{e}^0}{1+\text{e}^0}+ n\times0=\dfrac{-2}{2}=-1\phantom{xxwwwwwwwwwww}\\\overset{{\white{.}}}{f_n(1)=\dfrac{-2\text{e}^1}{1+\text{e}^1}+ n\times1=\dfrac{-2\text{e}}{1+\text{e}}+ n}>-1,47+2=0,53\end{matrix}\right.\phantom{xx}\Longrightarrow\phantom{xx}\left\lbrace\begin{matrix}f_n(0)<0\\\\f_n(1)>0\end{matrix}\right.

Puisque fn (0) et fn (1) sont de signes contraires, nous en déduisons que pour tout entier n  supegal 2,  0 < xn  < 1.

2. a)  Pour tout entier n  supegal 2,

f_{n+1}(x_n)=\dfrac{-2\text{e}^{x_n}}{1+\text{e}^{x_n}}+ (n+1)\times{x_n}    \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{f_{n+1}(x_n)}=\dfrac{-2\text{e}^{x_n}}{1+\text{e}^{x_n}}+ n\,{x_n}+x_n } \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{f_{n+1}(x_n)}=f_n(x_n)+x_n } \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{f_{n+1}(x_n)}=0+x_n } \\ \overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f_{n+1}(x_n)}=x_n>0\phantom{xx}(\text{voir question 1. b)} } \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Pour tout entier }n\ge2,\quad f_{n+1}(x_n)>0}

2. b)  Nous venons de montrer que pour tout entier n  supegal 2,  f_{n+1}(x_n)>0.
Nous savons également que pour tout entier n  supegal 2, xn  est solution de l'équation  \overset{{\white{.}}}{f_n(x)=0} , soit que  f_n(x_n)=0.
Dans ce cas, n  + 1 supegal 2 et donc, x n +1  est solution de l'équation  \overset{{\white{.}}}{f_{n+1}(x)=0} , soit  f_{n+1}(x_{n+1})=0.

D'où, pour tout entier n  supegal 2,

\left\lbrace\begin{matrix}f_{n+1}(x_n)>{\red{0}}\\\overset{{\white{.}}}{{\red{f_{n+1}(x_{n+1})=0}}}\end{matrix}\right.\phantom{x}\Longrightarrow\phantom{x}\boxed{f_{n+1}(x_n)>f_{n+1}(x_{n+1})}

Or la fonction fn +1 est strictement croissante sur R (voir Partie I - 2. c) .

Donc pour tout entier n  supegal 2,  f_{n+1}(x_{n})>f_{n+1}(x_{n+1})\Longrightarrow  \boxed{x_n>x_{n+1}}\,.
Par conséquent, la suite  (x_n)_{n\ge 2}\;  est strictement décroissante.

2. c)  La suite  (x_n)_{n\ge 2}\;  est strictement décroissante et est minorée par 0.
Donc la suite  (x_n)_{n\ge 2}\;  est convergente.

3. a)  Nous devons montrer que pour tout entier n  supegal 2,  {\white{w}}\dfrac{1}{n}< x_n < \dfrac{1}{n}\left(\dfrac{2\text{e}}{1+\text{e}} \right).

\text{Pour tout entier }n\ge2,\quad f_n(x_n)=0\Longleftrightarrow\dfrac{-2\text{e}^{x_n}}{1+\text{e}^{x_n}}+ nx_n=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Pour tout entier }n\ge2,\quad f_n(x_n)=0}\Longleftrightarrow nx_n=\dfrac{2\text{e}^{x_n}}{1+\text{e}^{x_n}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Pour tout entier }n\ge2,\quad f_n(x_n)=0}\Longleftrightarrow \boxed{nx_n=-f_0(x_n)}}

Or nous savons que 0 < xn  < 1 (voir Partie III - 1. b) et que la fonction f0 est strictement décroissante sur R (voir Partie I - 2. c).
D'où, nous obtenons :

0<x_n<1\Longrightarrow f_0(0)>f_0(x_n)>f_0(1) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{0<x_n<1}\Longrightarrow -f_0(0)<-f_0(x_n)<-f_0(1)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{0<x_n<1}\Longrightarrow \dfrac{2\text{e}^{0}}{1+\text{e}^{0}}<n\,x_n<\dfrac{2\text{e}^{1}}{1+\text{e}^{1}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{0<x_n<1}\Longrightarrow 1<n\,x_n<\dfrac{2\text{e}}{1+\text{e}}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{0<x_n<1}\Longrightarrow \boxed{\dfrac{1}{n}<x_n<\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{2\text{e}}{1+\text{e}}\right)}}

3. b)  En appliquant le "théorème des gendarmes", nous obtenons :

\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{1}{n}<x_n<\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{2\text{e}}{1+\text{e}}\right) \\\\\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{2\text{e}}{1+\text{e}}\right)=0 \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=0}

Nous en déduisons que

nx_n=\dfrac{2\text{e}^{x_n}}{1+\text{e}^{x_n}}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty}nx_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2\text{e}^{x_n}}{1+\text{e}^{x_n}}

Or  \lim\limits_{n\to+\infty}x_n=0\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty}\text{e}^{x_n}=\text{e}^{0}=1.

D'où  \lim\limits_{n\to+\infty}nx_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2\text{e}^{x_n}}{1+\text{e}^{x_n}} =\dfrac{2\times1}{1+1}=\dfrac{2}{2}=1.

Par conséquent,  \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}nx_n=1}\,.

4. a)  Nous avons montré que la suite  (x_n)_{n\ge 2}\;  est strictement décroissante.
Dès lors, pour tout entier n  supegal 2, nous avons : xn  infegal x2.

4. b)  Nous savons que pour tout entier n  supegal 2,  0<x_n<1  et  x_n\le x_2.

Dès lors,  0<x_n\le x_2\quad\Longrightarrow\quad0<(x_n)^n\le (x_2)^n.

D'autre part, pour tout entier n  supegal 2,  
0<x_n<1\quad\Longrightarrow\quad0<x_2<1\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}(x_2)^n=0}\,.

En appliquant le "théorème des gendarmes", nous obtenons :

\left\lbrace\begin{matrix}0<(x_n)^n\le (x_2)^n \\\\\lim\limits_{n\to+\infty}(x_2)^n=0 \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}(x_n)^n=0}

4 points

exercice 2

Soient a , b  et c  trois nombres complexes non nuls tel que : a  + b  different c .

1. a)  Nous devons résoudre dans l'ensemble C l'équation d'inconnue z 
\overset{{\white{.}}}{(E)\;\; : \;\; z²-(a+b+c)z+c(a+b)=0.}

\underline{\text{Discriminant de (E) }}:\Delta=[-(a+b+c)]^2-4\times1\times c(a+b) \\\phantom{\underline{\text{Discriminant de (E) }}:\Delta}=(a+b+c)^2-4ac-4bc \\\phantom{\underline{\text{Discriminant de (E) }}:\Delta}=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-4ac-4bc \\\phantom{\underline{\text{Discriminant de (E) }}:\Delta}=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc \\\phantom{\underline{\text{Discriminant de (E) }}:\Delta}=(a+b-c)^2 \\\\ \underline{\text{Solutions de (E) }}:z_1=\dfrac{a+b+c+a+b-c}{2}=\dfrac{2a+2b}{2}=a+b \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\underline{\text{Solutions de (E) }}:}z_2=\dfrac{a+b+c-a-b+c}{2}=\dfrac{2c}{2}=c}

D'où, l'ensemble des solutions de l'équation (E) est :  \boxed{S=\lbrace a+b\,,\,c\rbrace}

1. b)  On suppose dans cette question que :  a=\text{i}\quad , \quqd b=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} \quad    \text{ et } \quad c=a-b.

Dans ce cas,  z_1=a+b=\text{i}+\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}+\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}.

Or  \text{e}^{\text{i}\alpha}+\text{e}^{\text{i}\beta}=\text{e}^{\text{i}\frac{\alpha+\beta}{2}}\left(\text{e}^{\text{i}\frac{\alpha-\beta}{2}} +\text{e}^{\text{i}\frac{-(\alpha-\beta)}{2}}\right).
\text{Donc }\,z_1=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}+\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}=\text{e}^{\text{i}\frac{\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}}{2}}\left(\text{e}^{\text{i}\frac{\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}}{2}} +\text{e}^{\text{i}\frac{-(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})}{2}}\right) \\\phantom{\text{Donc }\,z_1=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}+\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}}=\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}\left(\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}} +\text{e}^{\text{i}\frac{-\pi}{12}}\right) \\\phantom{\text{Donc }\,z_1=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}+\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}}=\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}\times2\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\phantom{ww}(\text{formule d'Euler}) \\\\\Longrightarrow\boxed{z_1=2\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}}

De même,  z_2=c=a-b=\text{i}-\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}-\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}.

Or  \text{e}^{\text{i}\alpha}-\text{e}^{\text{i}\beta}=\text{e}^{\text{i}\frac{\alpha+\beta}{2}}\left(\text{e}^{\text{i}\frac{\alpha-\beta}{2}} -\text{e}^{\text{i}\frac{-(\alpha-\beta)}{2}}\right).
\text{Donc }\,z_2=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}-\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}=\text{e}^{\text{i}\frac{\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}}{2}}\left(\text{e}^{\text{i}\frac{\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}}{2}} -\text{e}^{\text{i}\frac{-(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})}{2}}\right) \\\phantom{WWWWWWWWx}=\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}\left(\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}} -\text{e}^{\text{i}\frac{-\pi}{12}}\right) \\\phantom{WWWWWWWWx}=\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}\times2\,\text{i}\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\phantom{ww}(\text{formule d'Euler})
\\\phantom{WWWWWWWWx}=\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}\times2\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \\\phantom{WWWWWWWWx}=2\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}\times\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWx}=2\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{11\pi}{12}}} \\\\\Longrightarrow\boxed{z_2=2\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\text{e}^{\text{i}\frac{11\pi}{12}}}

2.  Soient  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{R_{\left(P(p),\frac{\pi}{2}\right)}}  la rotation de centre P (p ), d'angle  \dfrac{\pi}{2}  qui transforme B en A
et  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{R_{\left(Q(q),-\frac{\pi}{2}\right)}}  la rotation de centre Q (q ), d'angle  \left(-\dfrac{\pi}{2}\right)  qui transforme C en A,
et D (d ) le milieu du segment [BC ].

2. a)  Montrons que  2p=b+a+(a-b)\text{i}.
\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{R_{\left(P(p),\frac{\pi}{2}\right)}}(B)=A\Longleftrightarrow a- p=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}(b-p) \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow a-p=\text{i}(b-p) \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow a-p=\text{i}b-\text{i}p \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow p-\text{i}p=a-\text{i}b \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow p(1-\text{i})=a-\text{i}b \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow p(1-\text{i}){\red{(1+\text{i})}}=(a-\text{i}b){\red{(1+\text{i})}} \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow p(1^2+1^2)=(a-\text{i}b)(1+\text{i}) \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow 2p=a+\text{i}a-\text{i}b+b \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow 2p=a+b+\text{i}(a-b) \\\\\Longrightarrow\boxed{2p=b+a+(a-b)\text{i}}

Montrons que  2q=c+a+(c-a)\text{i}.
\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{R_{\left(Q(q),-\frac{\pi}{2}\right)}}(C)=A\Longleftrightarrow a- q=\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{2}}(c-q) \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow a-q=-\text{i}(c-q) \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow a-q=-\text{i}c+\text{i}q \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow q+\text{i}q=a+\text{i}c \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow q(1+\text{i})=a+\text{i}c \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow q(1+\text{i}){\red{(1-\text{i})}}=(a+\text{i}c){\red{(1-\text{i})}} \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow q(1^2+1^2)=(a+\text{i}c)(1-\text{i}) \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow 2q=a-\text{i}a+\text{i}c+c \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow 2q=a+c+\text{i}(c-a) \\\\\Longrightarrow\boxed{2q=c+a+(c-a)\text{i}}

2. b)  Nous devons calculer  \dfrac{p-d}{q-d}.

Nous savons que D (d ) est le milieu du segment [BC ], soit que  d=\dfrac{b+c}{2}.

En utilisant les relations démontrées dans la question précédente, nous obtenons :

\dfrac{p-d}{q-d}=\dfrac{\dfrac{b+a+(a-b)\text{i}}{2}-\dfrac{b+c}{2}}{\dfrac{c+a+(c-a)\text{i}}{2}-\dfrac{b+c}{2}} \ \\\\\text{Or, par définition,  }c=a-b,\,\text{soit }b+c=a.

\text{Donc }\,\dfrac{p-d}{q-d}=\dfrac{\dfrac{b+a+(a-b)\text{i}}{2}-\dfrac{a}{2}}{\dfrac{c+a+(c-a)\text{i}}{2}-\dfrac{a}{2}} \\\\\phantom{\text{Donc }\,\dfrac{p-d}{q-d}}=\dfrac{b+a+(a-b)\text{i}-a}{c+a+(c-a)\text{i}-a} \\\\\phantom{\text{Donc }\,\dfrac{p-d}{q-d}}=\dfrac{b+(a-b)\text{i}}{c+(c-a)\text{i}} \\\\\phantom{\text{Donc }\,\dfrac{p-d}{q-d}}=\dfrac{b+c\text{i}}{c-b\text{i}}\phantom{xx}(\text{car }c=a-b\Longrightarrow c-a=-b) \\\\\phantom{\text{Donc }\,\dfrac{p-d}{q-d}}=\dfrac{\text{i}(c-\text{i}b)}{c-b\text{i}} \\\phantom{\text{Donc }\,\dfrac{p-d}{q-d}}=\text{i}

Par conséquent,  \boxed{\dfrac{p-d}{q-d}=\text{i}}\,.

2. c)  Montrons que le triangle PDQ est rectangle et isocèle.

\dfrac{p-d}{q-d}=\text{i}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\left|\dfrac{p-d}{q-d}\right|=1\\\arg\left(\dfrac{p-d}{q-d}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwiww}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}|p-d|=|q-d|\\\widehat{\left(\overrightarrow{DQ},\overrightarrow{DP}\right)}\equiv\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwiww}\Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}DP=DQ\\ (DQ)\perp(DP)\end{matrix}\right.}

Par conséquent, le triangle PDQ est rectangle et isocèle en D.

3. a)  Soient E  le symétrique de B  par rapport à P  et F  le symétrique de C  par rapport à Q  et K  le milieu du segment [EF ].

Soient e  l'affixe du point E  et f  l'affixe du point F .

Nous savons que : "K  est le milieu du segment [EF ]" signifie que  k=\dfrac{e+f}{2}.

\bullet{\white{w}}E  est le symétrique de B  par rapport à P signifie que  \overrightarrow{PE}=\overrightarrow{BP}.

\text{Or }\,\overrightarrow{PE}=\overrightarrow{BP}\Longleftrightarrow e-p=p-b \\\phantom{\text{Or }\,\overrightarrow{PE}=\overrightarrow{BP}}\Longleftrightarrow \boxed{e=2p-b}

\bullet{\white{w}}F  est le symétrique de C  par rapport à Q signifie que  \overrightarrow{QF}=\overrightarrow{CQ}.

\text{Or }\,\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{CQ}\Longleftrightarrow f-q=q-c \\\phantom{\text{Or }\,\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{CQ}}\Longleftrightarrow \boxed{f=2q-c}

\text{D'où }\,k=\dfrac{e+f}{2}\Longleftrightarrow k=\dfrac{2p-b+2q-c}{2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\,k=\dfrac{e+f}{2}}\Longleftrightarrow k=\dfrac{b+a+(a-b)\text{i}-b+c+a+(c-a)\text{i}-c}{2}\quad(\text{voir question 2. a)}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{D'où }\,k=\dfrac{e+f}{2}}\Longleftrightarrow k=\dfrac{2a+(a-b)\text{i}+(c-a)\text{i}}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\,k=\dfrac{e+f}{2}}\Longleftrightarrow k=\dfrac{2a+(a-b+c-a)\text{i}}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\,k=\dfrac{e+f}{2}}\Longleftrightarrow k=\dfrac{2a+(c-b)\text{i}}{2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{D'où }\,k=\dfrac{e+f}{2}}\Longleftrightarrow \boxed{k=a+\dfrac{\text{i}}{2}(c-b)}}

3. b)  Les points K , P , Q  et D  sont cocycliques si et seulement si leur affixes complexes vérifient :  \left(\dfrac{p-d}{q-d}\right)\times\left(\dfrac{q-k}{p-k}\right)\in\R^{\star}.

\text{Or }\,\dfrac{p-d}{q-d}\right=\text{i}\quad(\text{voir question 2. b)} \\\\\text{et}\quad\dfrac{q-k}{p-k}=\dfrac{\dfrac{c+a+(c-a)\text{i}}{2}-a-\dfrac{\text{i}}{2}(c-b)}{\dfrac{b+a+(a- b)\text{i}}{2}-a-\dfrac{\text{i}}{2}(c-b)}\quad(\text{voir question 2. a. et 3.)} \\\\\phantom{wwwww}=\dfrac{c+a+(c-a)\text{i}-2a-\text{i}(c-b)}{b+a+(a-b)\text{i}-2a-\text{i}(c-b)} \\\\\phantom{wwwww}=\dfrac{c-a+(c-a-c+b)\text{i}}{b-a+(a-b-c+b)\text{i}} \\\\\phantom{wwwww}=\dfrac{c-a+(b-a)\text{i}}{b-a+(a-c)\text{i}}

\text{D'où }\,\left(\dfrac{p-d}{q-d}\right)\times\left(\dfrac{q-k}{p-k}\right)=\text{i}\times\left(\dfrac{c-a+(b-a)\text{i}}{b-a+(a-c)\text{i}}\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wWWWWWWWW,www}=\dfrac{(c-a)\text{i}-(b-a)}{b-a+(a-c)\text{i}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wWWWWWWWW,www}=\dfrac{-(b-a)-(a-c)\text{i}}{b-a+(a-c)\text{i}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wWWWWWWWW,www}=-\dfrac{b-a+(a-c)\text{i}}{b-a+(a-c)\text{i}}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{wWWWWWWWW,www}=-1} \\\\\Longrightarrow\boxed{\left(\dfrac{p-d}{q-d}\right)\times\left(\dfrac{q-k}{p-k}\right)\in\R^{\star}}

Par conséquent, les points K , P , Q  et D  sont cocycliques.

4 points

exercice 3

PARTIE I :

On considère dans Z multiplie Z l'équation (E ) : 47x  - 43y  = 1.

1.  Le couple (11 , 12) est une solution particulière de l'équation (E ) car  47\times11-43\times12=517-516=1.

2.  Résolvons l'équation (E ) dans Z multiplie Z.

\left\lbrace\begin{matrix}47x-43y=1\\47\times11-43\times12=1\end{matrix}\right.\ \ \ \ \underset{\text{par soustraction}}{\Longrightarrow}\ \ \ \ 47(x-11)-43(y-12)=0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW>..}\Longrightarrow\quad\quad\quad47(x-11)=43(y-12)

Donc l'entier 43 divise le produit 47(x  - 11).
Or nous savons que 43 et 47 sont premiers entre eux.
Par le théorème de Gauss, nous en déduisons que 43 divise (x  - 11). 
Dès lors, il existe un entier relatif k  tel que x  - 11 = 43k , soit  \boxed{x=11+43k} .

\text{De plus, }\ \left\lbrace\begin{matrix}47(x-11)=43(y-12)\ \ \ \ \\x=11+43k\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}47(x-11)=43(y-12)\ \ \ \\x-11=43k\ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.  \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW....}\Longrightarrow\ \ \ \ 47\times43k=43(y-12) \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW....}\Longrightarrow\ \ \ \ 47k=y-12 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW....}\Longrightarrow\ \ \ \ \boxed{y=12+47k}

Par conséquent, l'ensemble S des solutions de (E) est \boxed{S_E= \lbrace(11 + 43k\, ; 12 + 47k)\,; k\in\Z\rbrace}.

PARTIE II :

On considère dans Z l'équation (F ) :  \overset{{\white{.}}}{x^{41} \equiv 4 \;[43]\,.}

1.  Soit x  appartient Z une solution de (F ).

1. a)  Nous devons montrer que x  et 43 sont premiers entre eux.

Effectuons une démonstration par l'absurde.

Supposons que 43 divise x .
Dans ce cas, nous obtenons :  \overset{{\white{.}}}{x\equiv 0 \;[43]\,.}
Dès lors,   \overset{{\white{.}}}{x^{41}\equiv 0 \;[43]\,.}
Or  \overset{{\white{.}}}{x^{41}\equiv 4 \;[43]\,.}
Nous en déduisons que   \overset{{\white{.}}}{4\equiv 0 \;[43]} , soit que 43 divise 4, ce qui est absurde.
D'où la supposition initiale est fausse et donc 43 ne divise pas x .
Par conséquent, x  et 43 sont premiers entre eux.

Nous devons en déduire que :  \overset{{\white{.}}}{x^{42}\equiv 1 \;[43]\,.}

43 est un nombre premier et x  est un entier premier avec 43.
Selon le petit théorème de Fermat, nous en déduisons que  x^{43-1}  a pour reste 1 dans la division par 43,

soit que  \boxed{x^{42}\equiv 1 \;[43]}\,.

1. b)  Nous devons montrer que :    \overset{{\white{.}}}{4x\equiv 1 \;[43]\,.}

L'équation (F ) est :  x^{41} \equiv 4 \;[43]\,.
En multipliant les deux membres par x , nous obtenons :  x^{42} \equiv 4x \;[43]\,.
Par la symétrie de la relation de congruence, nous avons donc :  4x \equiv x^{42} \;[43]\,.
Or nous avons montré dans la question 1. a) que  x^{42}\equiv 1 \;[43]
Par la transitivité de la relation de congruence, nous obtenons :

\left\lbrace\begin{matrix}4x \equiv x^{42} \;[43]\\x^{42}\equiv 1 \;[43]\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quaq\boxed{4x\equiv 1 \;[43]}

Nous devons en déduire que  \overset{{\white{.}}}{x \equiv 11 \;[43]\,.}
Nous venons de montrer que  \overset{{\white{.}}}{4x\equiv 1 \;[43]\,.}
En multipliant les deux membres par 11, nous obtenons :  44x\equiv 11 \;[43]\,.
Or nous savons que  \overset{{\white{.}}}{44\equiv 1 \;[43]}  car  44 - 1 est divisible par 43.
En multipliant les deux membres par x , nous obtenons :  44x \equiv x \;[43]\,.
Par la symétrie de la relation de congruence, nous avons donc :  x \equiv 44x \;[43]\,.
Par la transitivité de la relation de congruence, nous obtenons :

\left\lbrace\begin{matrix}x \equiv 44x \;[43]\\44x\equiv 11 \;[43]\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quaq\boxed{x\equiv 11 \;[43]}

2.  Nous devons donner l'ensemble des solutions dans Z de l'équation (F ).

\bullet{\white{x}}Soit x  appartient Z une solution de (F).
Alors  \overset{{\white{.}}}{\boxed{x^{41}\equiv 4 \;[43]\quad\Longrightarrow\quad x\equiv 11 \;[43]}\quad(\text{voir Partie II - 1. b})}

\bullet{\white{x}}Soit x  appartient Z tel que  \overset{{\white{.}}}{x\equiv 11 \;[43]\,.}
43 est un nombre premier et 11 est un entier premier avec 43.
Selon le petit théorème de Fermat, nous en déduisons que  11^{43-1}  a pour reste 1 dans la division par 43,
soit que  \overset{{\white{.}}}{\boxed{11^{42}\equiv 1 \;[43]}\,.}

\left\lbrace\begin{matrix}11^{42}&\equiv& 1& \;[43]\\44&\equiv &1 &\;[43]\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}11\times11^{41}&\equiv &1& \;[43]\\44&\equiv &1 &[43]\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwwwwwwlwww}\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}{\red{4\,\times\,}}11\times11^{41}&\equiv& {\red{4\,\times\,}}1& \;[43]\\44\;{\red{\times\,11^{41}}}&\equiv&1\, {\red{\times\,11^{41}}}& \;[43]\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwwwwwwlwww}\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}44\times11^{41}&\equiv& 4&\;[43]\\44 \times11^{41}&\equiv & 11^{41}& \;[43]\end{matrix}\right.

Par la symétrie de la relation de congruence, nous avons donc :  \left\lbrace\begin{matrix}44\times11^{41}&\equiv& 4&\;[43]\\11^{41}&\equiv&  44 \times11^{41}& \;[43]\end{matrix}\right.

Par la transitivité de la relation de congruence, nous obtenons :

\left\lbrace\begin{matrix}11^{41}&\equiv&  44 \times11^{41}& \;[43]\\44\times11^{41}&\equiv& 4&\;[43]\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad11^{41}\equiv 4\quad[43]. \\\\\text{Or}\quad x\equiv 11\;[43]\quad\Longrightarrow\quad x^{41}\equiv 11^{41}\quad[43]. \\\\\text{D'où}\quad \left\lbrace\begin{matrix}x^{41}&\equiv& 11^{41}&\;[43]\\11^{41}&\equiv& 4&\;[43]\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x^{41}\equiv 4\quad[43]}\;.

Nous venons donc de montrer que  \boxed{x\equiv 11 \;[43]\quad\Longrightarrow\quad x^{41}\equiv 4\quad[43]}

\bullet{\white{x}}Sur base des deux points précédents, nous déduisons que  \boxed{x\equiv 11 \quad[43]\quad\Longleftrightarrow\quad x^{41}\equiv 4\quad[43]}

Par conséquent, l'ensemble des solutions dans Z de l'équation (F ) est  \boxed{S_F=\lbrace11+43k\,;\,k\in\Z\rbrace}\,.

PARTIE III :

On considère dans Z le système à deux équations suivant (S ) :  \left\lbrace\begin{matrix} x^{41}&\equiv&4&[43]\\ x^{47}&\equiv&10&[47] \end{matrix}\right.

1.  Soit x  une solution du système (S ).

1. a)  Nous devons montrer que x  est solution du système (S' ) :  \left\lbrace\begin{matrix} x&\equiv&11&[43]\\ x&\equiv&10&[47] \end{matrix}\right.

Nous supposons que x  est une solution du système (S ).
Donc x  est une solution de (F ) :  x^{41} \equiv 4\quad[43]\,.
En utilisant la question 1. b) de la Partie II, nous savons que  \boxed{\overset{{\white{.}}}{x \equiv 11\quad[43]\,.}}

De plus, si x  est une solution du système (S ), alors  \overset{{\white{.}}}{x^{47}\equiv10\quad[47].}

Il s'ensuit que x  est premier avec 47 car si ce n'était pas le cas, nous aurions :  \overset{{\white{.}}}{x\equiv0\quad[47]}  et par suite,  \overset{{\white{.}}}{x^{47}\equiv0\quad[47]} .
Or, par hypothèse, nous savons que  x^{47}\equiv10\quad[47].
Nous en déduirions que  \overset{{\white{.}}}{10\equiv0\quad[47]} , soit que 47 divise 10, ce qui est absurde.

Nous savons également que 47 est premier.

Selon le petit théorème de Fermat, nous en déduisons que  x^{47-1}  a pour reste 1 dans la division par 47, soit que  x^{46}\equiv 1\quad[47].

Dès lors,

\left\lbrace\begin{matrix}x^{46}&\equiv &1&[47]\\x^{47}&\equiv&10&[47]\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x\times x^{46}&\equiv &x\times1&[47]\\x^{47}&\equiv&10&[47]\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwwwwwwwwiw}\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} x^{47}&\equiv &x&[47]\\x^{47}&\equiv&10&[47]\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwwwwwwwwiw}\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} x&\equiv &x^{47}&[47]\\x^{47}&\equiv&10&[47]\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwwwwwwwwiw}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x\equiv10\quad[47]}

Par conséquent, x  est solution du système (S' ) :  \left\lbrace\begin{matrix} x&\equiv&11&[43]\\ x&\equiv&10&[47] \end{matrix}\right.

1. b)  Nous devons en déduire que  \overset{{\white{.}}}{x\equiv 527\quad[2021]}.

Nous venons de montrer que x  est solution du système (S' ) :  \left\lbrace\begin{matrix} x&\equiv&11&[43]\\ x&\equiv&10&[47] \end{matrix}\right.

\text{Or, }\quad(S')\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} {\red{x}}&{\red{=}}&{\red{11+43y}}\\ x&=&10+47z\end{matrix}\right.\quad\text{où }(y\;,\,z)\in\Z\times\Z \\\\\phantom{\text{Or, }\quad(S')\quad}\Longrightarrow11+43y=10+47z \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or, }\quad(S')\quad}\Longrightarrow47z-43y=1}

En utilisant la question 2. de la Partie I, nous déduisons que (z  ; y ) appartient à l'ensemble des solutions de l'équation (E ).

D'où  (z\,;y)=(11+43k\,;12+47k)\quad \text{où }k\in\Z

soit  \left\lbrace\begin{matrix}z&=&11+43k\\ {\blue{y}}&{\blue{=&}}{\blue{12+47k}}\end{matrix}\right.\quad \text{où }k\in\.Z

Nous obtenons alors :

\left\lbrace\begin{matrix}{\red{x}}&{\red{=}}&{\red{11+43y}}\\ {\blue{y}}&{\blue{=&}}{\blue{12+47k}}\end{matrix}\right.\quad \text{où }k\in\Z \\\\\Longrightarrow x=11+43( 12+47k) \\\phantom{\Longrightarrow} x=11+516+2021k \\\phantom{\Longrightarrow} x=527+2021k \\\\\Longrightarrow\boxed{x\equiv527\quad[2021]}

2.  Nous devons donner l'ensemble des solutions dans Z du système (S ).

\bullet{\white{x}}Nous avons montré dans la question 1. a) que si x  est une solution de (S ), alors x  est une solution de (S' ).
Donc (S ) implique (S' ).

\bullet{\white{x}}Supposons que x  est une solution de (S' ).

Nous obtenons alors :  \left\lbrace\begin{matrix} x&\equiv&11&[43]\\ x&\equiv&10&[47] \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} x^{41}&\equiv&11^{41}&[43]\\ x^{47}&\equiv&10^{47}&[47] \end{matrix}\right.

Or par la question 2. - Partie II, nous savons que  \boxed{11^{41}\equiv4\quad[43]}\;.

De plus, 10 est premier avec 47 et 47 est premier.
Selon le petit théorème de Fermat, nous en déduisons que  10^{47-1}  a pour reste 1 dans la division par 47, soit que  \overset{{\white{.}}}{10^{46}\equiv 1\quad[47].}
Dès lors,

10^{46}\equiv 1\quad[47]\quad\Longrightarrow\quad10\times10^{46}\equiv 10\times1\quad[47]. \\\\\phantom{10^{46}\equiv 1\quad[47]}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{10^{47}\equiv 10\quad[47]}\;.

Par la transitivité de la relation de congruence, nous obtenons :

\left(\left\lbrace\begin{matrix} x^{41}&\equiv&11^{41}&[43]\\ x^{47}&\equiv&10^{47}&[47] \end{matrix}\right.\quad\text{et}\quad\left\lbrace\begin{matrix} 11^{41}&\equiv&4&[43]\\ 10^{47}&\equiv&10&[47] \end{matrix}\right.\right)\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix} x^{41}&\equiv&4&[43]\\ x^{47}&\equiv&10&[47] \end{matrix}\right.}

D'où x  est une solution de (S ).
Donc (S' ) implique (S ).

Par conséquent,  (S)\Longleftrightarrow(S')\Longleftrightarrow x\equiv527\quad[2021]\quad(\text{voir question 1. b)}

Nous en déduisons que l'ensemble des solutions dans Z du système (S ) est  \boxed{S_S=\lbrace527+2021k\,;\,k\in\Z\rbrace}\,.



{\red{\sim \sim \sim\ \mathscr{F}IN\sim \sim \sim }}
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