Fiche de mathématiques

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Bac S Maroc 2021

Durée : 4 heures

Coefficient : 9

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.

12 points

exercice 1

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction f_n définie sur R par :

$f_n(x)=\dfrac{-2\text e ^x}{1+\text e ^x}+ nx$

Soit (C_n ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \,\vec i ,\, \vec j).$
On prendra || vecti

||=||

||=1 cm.

Partie I :

1-a ) Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(f_n(x)-nx+2\right) {\white{w}$ puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
$\white wi$ b ) Montrer que la courbe (C_n ) admet, en - infini

, une asymptote ( deltamaj

_n ) dont on déterminera une équation cartésienne.

2-a ) Montrer que la fonction f_n est dérivable sur R et que :

$\white wwww$ $(\forall x \in \textbf R)\;;\; f'_n(x)=\dfrac{-2\text e ^x}{(1+\tex e ^x)^2}+n$

$\white wi$ b ) Montrer que : $(\forall x \in \textbf R)\;;\; \dfrac{4\text e ^x}{(1+\tex e ^x)^2} \le 1$

$\white wi$ c ) En déduire le sens de variation de la fonction f_n sur R.
$\white wwwwwwwww$ (On distinguera les 2 cas : n = 0 et n supegal

1 )

3-a ) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe (C_n ) au point I d'abscisse 0.
$\white wi$ b ) Montrer que le point I est le seul point d'inflexion de la courbe (C_n ).

4- Représenter graphiquement dans le même repère, les deux courbes (C₀ ) et (C ₂).

5- Pour tout réel t > 0, on pose A(t) l'aire du domaine plan limité par (C_n ) et les droites d'équations respectives : y=nx - 2 , x = 0 et x = t.
$\white wi$ a ) Calculer A(t) pour tout t > 0.
$\white wi$ b ) Calculer $\lim\limits_{t\to+\infty}A(t) .$

Partie II :

On considère la suite $(u_n)_{n\ge 0}$ définie par :

$u_0=0 \quad \text{ et } \quad \left(\forall n \in\textbf{N}\right) \quad ; \quad u_{n+1}=f_0(u_n)$

1-a ) Montrer que l'équation $f_0(x)=x$ admet une unique solution alpha

dans R.
$\white wi$ b ) Montrer que $\left(\forall x \in\textbf{R}\right)\quad ;\quad \left| f_0'(x)\right| \le \dfrac 1 2$

2-a ) Montrer que $\left(\forall n \in\textbf{N}\right)\quad ;\quad |u_{n+1}-\alpha|\le \dfrac 1 2 |u_n - \alpha|$
$\white wi$ b ) En déduire que $\left(\forall n \in\textbf{N}\right)\quad ;\quad |u_{n}-\alpha|\le \left(\dfrac 1 2\right)^n | \alpha|$
$\white wi$ c ) Montrer que la suite $(u_n)_{n\ge 0}\;$ converge vers alpha

Partie III :

On suppose dans cette partie que n supegal

2.
1-a ) Montrer que pour tout entier n supegal

2 , il existe un unique réel x_n solution de l'équation $f_n(x)=0 .$
$\white wi$ b ) Montrer que pour tout entier n supegal

2 , $0 < x_n < 1$
$\white wwi$ (On prendra $\dfrac{2\text e }{1+\text e} < 1,47$ ).

2-a ) Montrer que pour tout entier n supegal

2, $f_{n+1}(x_n) > 0 .$
$\white wi$ b ) En déduire que la suite $(x_n)_{n\ge 2}\;$ est strictement décroissante.
$\white wi$ c ) Montrer que la suite $(x_n)_{n\ge 2}\;$ est convergente.

3-a ) Montrer que pour tout entier n supegal

2, $\dfrac 1 n < x_n < \dfrac 1 n \left(\dfrac{2\text e }{1+\text e} \right)$
$\white wi$ b ) En déduire $\lim\limits_{n\to+\infty}x_n$ puis montrer que $\lim\limits_{n\to+\infty} nx_n = 1.$

4-a ) Montrer que pour tout entier n supegal

2, on a $x_n \le x_2$
$\white wi$ b ) En déduire $\lim\limits_{n\to+\infty}(x_n )^n.$

4 points

exercice 2

Soient a, b et c trois nombres complexes non nuls tel que : a + b different

c

1-a ) Résoudre dans l'ensemble C l'équation d'inconnue z
$\white wwi$ $(E)\;\; : \;\; z²-(a+b+c)z+c(a+b)=0$
$\white wi$ b ) On suppose dans cette question que : $a=i\quad , \quqd b=\text e^{i\frac{\pi}{3}} \quad \text{ et } \quad c=a-b$
$\white wwi$ Ecrire les deux solutions de (E ) sous forme exponentielle.

2- Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O; \vec u\; \vec v)$ .
On considère les trois points A(a) , B ( b) et C (c) qu'on suppose non alignés.
Soient P (p ) le centre de la rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ qui transforme B en A
et Q (q ) le centre de la rotation d'angle $\left(-\frac{\pi}{2}\right)$ qui transforme C en A
et D (d ) le milieu du segment [BC ].
$\white wi$ a ) Montrer que : $2p=b+a+(a-b)i\quad \text{ et } \quad 2q=c+a+(c-a)i$
$\white wi$ b ) Calculer : $\dfrac{p-d}{q-d}$
$\white wi$ c ) En déduire la nature du triangle PDQ

3- Soient E le symétrique de B par rapport à P et F le symétrique de C par rapport à Q et K le milieu du segment [EF ].
$\white wi$ a ) Montrer que l'affixe de K est $k=a+\dfrac i 2 (c-b)$
$\white wi$ b ) Montrer que les points K, P, Q et D sont cocycliques.

4 points

exercice 3

Partie I :

On considère dans Z multiplie

Z l'équation (E ) : $47 x - 43 y = 1$
1- Vérifier que le couple (11 , 12) est une solution particulière de l'équation (E ).
2- Résoudre dans Z multiplie

Z l'équation (E );

Partie II :

On considère dans Z l'équation (F ) : $x^{41} \equiv 4 \;\; [43]$ .
1- Soit x appartient

Z une solution de (F ).
$\white wi$ a ) Montrer que x et 43 sont premiers entre eux, en déduire que : $x^{42} \equiv 1 \;\; [43]$ .
$\white wi$ b ) Montrer que : $4x \equiv 1 \;\;[43]$ , en déduire que : $x \equiv 11\;\;[43]$

2- Donner l'ensemble des solutions dans Z de l'équation (F ).

Partie III :

On considère dans Z le système à deux équations suivant (S ) : $\left\lbrace\begin{matrix} x^{41} &\equiv &4 & [43]\\ x^{47}&\equiv & 10 & [47] \end{matrix}\right.$
1- Soit x une solution du système (S ).
$\white wi$ a ) Montrer que x est solution du système (S ') : $\left\lbrace\begin{matrix} x &\equiv &11 & [43]\\ x&\equiv & 10 & [47] \end{matrix}\right.$
$\white wi$ b ) En déduire que : $x\equiv 527 \;\;[2021]$ . (On pourra utiliser la partie I)

2- Donner l'ensemble des solutions dans Z du système (S ).

Voir la correction

Bac S Maroc 2021

12 points

exercice 1

Pour tout entier naturel n , on considère la fonction f_n définie sur

par : $f_n(x)=\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+ nx.$

PARTIE I :

1. a) Nous devons calculer $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\overset{}{f_n(x)-nx+2}\right).}$

$\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\overset{}{f_n(x)-nx+2}\right)}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{-2\,\text e ^x}{1+\text e ^x}+ nx-nx+2\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwwwwwwwwww}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{-2\,\text e ^x}{1+\text e ^x}+2\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwwwwwwwwww}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{-2\,\text{e}^x+2+2\,\text{e}^x}{1+\text e ^x}\right)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{wwwwwwwwwwwwww}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{2}{1+\text e ^x}\right)} \\\\\text{Or }\,\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^x=+\infty\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{2}{1+\text e ^x}\right)=0 \\\\\text{D'où }\ \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\overset{}{f_n(x)-nx+2}\right)=0}$

Nous venons de montrer que $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\overset{}{f_n(x)-(nx-2)}\right)=0.$
Dès lors, la courbe (C_n ) admet une asymptote d'équation $\overset{{\white{.}}}{y=nx-2}$ au voisinage de +.

1. b) Nous devons montrer que la courbe (C_n ) admet, en - infini

, une asymptote ( deltamaj

_n).

Premier cas : n = 0.

$\lim\limits_{x\to-\infty}f_0(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x} \\\\\text{Or }\,\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^x=0. \\\\\text{D'où }\,\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}=0,\,\text{ soit }\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f_0(x)=0}$

Nous déduisons que la courbe (C ₀ ) admet, en -, une asymptote horizontale (₀) d'équation y = 0.

Deuxième cas : n 1.

$\lim\limits_{x\to-\infty}f_n(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+nx\right) \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}=0\phantom{x}(\text{voir le cas où n = 0)}\\\lim\limits_{x\to-\infty}nx=-\infty\phantom{x}(\text{car }n\in\N^*\Longrightarrow n>0)\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\,\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+nx\right)=-\infty,\,\text{ soit }\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f_n(x)=-\infty}$

De plus,
$\bullet\phantom{x}\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac{\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+nx}{x}\right)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac{1}{x}\times\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+n\right) \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}=0\phantom{wwwwwwwwwwwwwwww}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}=0\phantom{x}(\text{voir le cas où n = 0)}}\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\,\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac{1}{x}\times\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+n\right)=n,\,\text{ soit }\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}=n\in\N^*}$

$\bullet\phantom{x}\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\overset{}{f_n(x)-nx}\right)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\overset{}{\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+ nx-nx}\right) \\\phantom{WWWWWWnWWW}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}=0\phantom{x}(\text{voir le cas où n = 0)} \\\\\text{D'où }\,\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\overset{}{f_n(x)-nx}\right)=0}$

Nous déduisons que la courbe (C_n ) admet, en -, une asymptote oblique (_n) d'équation y = nx .

2. a) Nous devons montrer que la fonction f_n est dérivable sur

et que : $\forall x \in \R,\; f'_n(x)=\dfrac{-2\text{e}^x}{(1+\tex{e}^x)^2}+n$

$\bullet{\white{x}}$ La fonction $x\mapsto-2\,\text{e}^x$ est dérivable sur

comme produit de deux fonctions dérivables sur

(fonction constante et fonction exponentielle)

$\bullet{\white{x}}$ La fonction $x\mapsto1+\text{e}^x$ est dérivable sur

comme somme de deux fonctions dérivables sur

(fonction constante et fonction exponentielle)

$\bullet{\white{x}}$ Pour tout x réel, $1+\text{e}^x\neq0.$

Donc la fonction $x\mapsto\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}$ est dérivable sur

comme quotient de deux fonctions dérivables sur

avec $1+\text{e}^x\neq0.$

$\bullet{\white{x}}$ De plus, la fonction $\overset{{\white{.}}}{x\mapsto nx}$ est dérivable sur

comme produit de deux fonctions dérivables sur

(fonction constante et fonction identique)

Dès lors, la fonction $f_n:x\mapsto \dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+ nx$ est dérivable sur comme somme de deux fonctions dérivables sur

.

Déterminons l'expression de $f'_n(x).$

$f'_n(x)=\left(\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}\right)'+ (nx)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'_n(x)}=\dfrac{(-2\text{e}^x)'\times(1+\text{e}^x)-(-2\,\text{e}^x)\times (1+\text{e}^x)'}{(1+\text{e}^x)^2}+ n} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'_n(x)}=\dfrac{(-2\text{e}^x)\times(1+\text{e}^x)+2\,\text{e}^x\times\,\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}+ n} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'_n(x)}=\dfrac{-2\text{e}^x-2\,(\text{e}^x)^2+2\,(\text{e}^x)^2}{(1+\text{e}^x)^2}+ n} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'_n(x)}=\dfrac{-2\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}+ n} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall x \in \R,\; f'_n(x)=\dfrac{-2\text{e}^x}{(1+\tex{e}^x)^2}+n}$

2. b) Nous devons montrer que : $\overset{{\white{.}}}{ \forall x \in \R,\; \dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\le 1.}$
Cela revient à montrer que : $\overset{{\white{.}}}{\forall x \in \R,\; \dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}-1\le 0.}$

$\forall x \in \R,\; \dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}-1=\dfrac{4\text{e}^x-(1+\text{e}^x)^2}{(1+\text{e}^x)^2} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWWWWw}=\dfrac{4\text{e}^x-(1+2\,\text{e}^x+\text{e}^{2x})}{(1+\text{e}^x)^2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWWWWw}=\dfrac{4\text{e}^x-1-2\,\text{e}^x-\text{e}^{2x}}{(1+\text{e}^x)^2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWWWWw}=\dfrac{-1+2\,\text{e}^x-\text{e}^{2x}}{(1+\text{e}^x)^2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWWWWw}=\dfrac{-(1-2\,\text{e}^x+\text{e}^{2x})}{(1+\text{e}^x)^2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWWWWw}=\dfrac{-(1-\text{e}^x)^2}{(1+\text{e}^x)^2}} \\\\\text{Or }\,\left\lbrace\begin{matrix}(1-\text{e}^x)^2\ge0\\ (1+\text{e}^x)^2>0\end{matrix}\right.\phantom{.}\Longrightarrow\phantom{.}\dfrac{-(1-\text{e}^x)^2}{(1+\text{e}^x)^2}\le0 \\\\\text{D'où }\,\dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}-1\le0,\phantom{.}\text{soit }\phantom{.}\boxed{\dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\le1}$

2. c) Nous devons en déduire le sens de variation de la fonction f_n sur

.

Premier cas : n = 0.

Pour tout x réel, $\overset{{\white{.}}}{f'_0(x)=\dfrac{-2\text{e}^x}{(1+\tex{e}^x)^2}<0.}$
Par conséquent, la fonction f ₀ est strictement décroissante sur .

Deuxième cas : n 1.

Pour tout x réel, $\overset{{\white{.}}}{f'_n(x)=\dfrac{-2\text{e}^x}{(1+\tex{e}^x)^2}+n.}$

En utilisant la question 2. b), nous obtenons :

$\dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\le1\Longleftrightarrow{\red{\left(-\dfrac{1}{2}\right)}}\times\dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\,{\red{\ge}}\,{\red{\left(-\dfrac{1}{2}\right)}}\times1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\le1}\Longleftrightarrow\dfrac{-2\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\ge-\dfrac{1}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\le1}\Longleftrightarrow\boxed{\dfrac{-2\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}+n\ge-\dfrac{1}{2}+n}} \\\\\text{Or }\,n\ge1\Longrightarrow-\dfrac{1}{2}+n\ge-\dfrac{1}{2}+1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\,n\ge1}\Longrightarrow-\dfrac{1}{2}+n\ge\dfrac{1}{2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{Or }\,n\ge1}\Longrightarrow-\dfrac{1}{2}+n>0} \\\\\text{D'où }\,\dfrac{-2\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}+n>0,\phantom{.}\text{soit }\phantom{.}\boxed{f'_n(x)>0}$
Par conséquent, pour tout entier n 1, la fonction f _n est strictement croissante sur .

3. a) L'équation de la tangente à la courbe (C_n ) au point I d'abscisse 0 est de la forme $\overset{{\white{.}}}{y=f'_n(0)(x-0)+f_n(0)}$ , soit de la forme $\overset{{\white{.}}}{y=f'_n(0)x+f_n(0).}$

$\left\lbrace\begin{matrix}f'_n(x)=\dfrac{-2\text{e}^x}{(1+\tex{e}^x)^2}+n\\\overset{{\white{.}}}{f_n(x)=\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+ nx}\end{matrix}\right. \Longrightarrow\phantom{x}\left\lbrace\begin{matrix}f'_n(0)=\dfrac{-2\text{e}^0}{(1+\tex{e}^0)^2}+n\\\overset{{\white{.}}}{f_n(0)=\dfrac{-2\text{e}^0}{1+\text{e}^0}}\end{matrix}\right.$

${\white{WWWWWWWWWWw}}$ $\Longrightarrow\phantom{x}\left\lbrace\begin{matrix}f'_n(0)=\dfrac{-2}{4}+n\\\overset{{\white{.}}}{f_n(0)=\dfrac{-2}{2}}\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\phantom{x}\left\lbrace\begin{matrix}f'_n(0)=n-\dfrac{1}{2}\\\overset{{\white{.}}}{f_n(0)=-1}\end{matrix}\right.$
Par conséquent, une équation de la tangente à la courbe (C_n ) au point I d'abscisse 0 est : $\boxed{y=\left(n-\dfrac{1}{2}\right)x-1}\,.$

3. b) Nous devons montrer que le point I est le seul point d'inflexion de la courbe (C_n ).

Les coordonnées au point I sont (0 ; -1).

La fonction $f'_n$ est dérivable sur

.

Pour tout x réel,

$f''_n(x)=\left[\dfrac{-2\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\right]'+n' \\\\\phantom{www}=\dfrac{(-2\text{e}^x)'\times(1+\text{e}^x)^2-(-2\text{e}^x)\times [(1+\text{e}^x)^2]'}{(1+\text{e}^x)^4} \\\\\phantom{www}=\dfrac{(-2\text{e}^x)\times(1+\text{e}^x)^2+2\text{e}^x\times 2\times(1+\text{e}^x)'\times(1+\text{e}^x)}{(1+\text{e}^x)^4} \\\\\phantom{www}=\dfrac{-2\text{e}^x\,(1+\text{e}^x)^2+4\text{e}^x\times\text{e}^x\times(1+\text{e}^x)}{(1+\text{e}^x)^4} \\\\\phantom{www}=\dfrac{2\,\text{e}^x\,(1+\text{e}^x)[-(1+\text{e}^x)+2\text{e}^x]}{(1+\text{e}^x)^4} \\\\\phantom{www}=\dfrac{2\,\text{e}^x[-(1+\text{e}^x)+2\text{e}^x]}{(1+\text{e}^x)^3} \\\\\phantom{www}=\dfrac{2\,\text{e}^x(-1-\text{e}^x+2\text{e}^x)}{(1+\text{e}^x)^3} \\\\\phantom{www}=\dfrac{2\,\text{e}^x(-1+\text{e}^x)}{(1+\text{e}^x)^3} \\\\\Longrightarrow\boxed{f''_n(x)=\dfrac{2\,\text{e}^x(\text{e}^x-1)}{(1+\text{e}^x)^3}}$

Etudions le signe de $f''_n(x).$

Pour tout x réel, e^x > 0 et (1 + e^x)³ > 0.

Donc le signe de $f''_n(x)$ est le signe de e^x - 1.

$\begin{matrix}\bullet{\phantom{w}}\text{e}^x-1<0\Longleftrightarrow\text{e}^x<1 \\\phantom{xx\text{e}^x-2<0}\Longleftrightarrow x<0 \\\\\bullet{\white{w}}\text{e}^x-1=0\Longleftrightarrow x=0 \\\\\bullet{\phantom{w}}\text{e}^x-1>0\Longleftrightarrow x>0\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&0&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\\text{e}^x-1&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f''_n(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

D'où $f''_n(x)$ change de signe au voisinage de 0 et seulement au voisinage de 0.
Par conséquent, le point I(0 ; -1) est le seul point d'inflexion de la courbe (C_n ).

4. Représentation graphique des courbes (C ₀) (en vert) et (C ₂) (en bleu).

5. Pour tout réel t > 0, on pose A (t ) l'aire du domaine plan limité par (C_n ) et les droites d'équations respectives : y = nx - 2, x = 0 et x = t .

5. a) Nous devons calculer A (t ) pour tout t > 0.

$A(t)= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{t} \left|\overset{}{f_n(x)-(nx-2)}\right|\,\text d x\end{aligned} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A(t)}= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{t} \left|\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+ nx-(nx-2)\right|\,\text d x\end{aligned}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A(t)}= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{t} \left|\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+ nx-nx+2\right|\,\text d x\end{aligned}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{A(t)}= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{t} \left|\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+2\right|\,\text d x\end{aligned}}$

Montrons que $\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+2\ge0.$

$\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+2\ge0\quad\Longleftrightarrow\quad2\ge\dfrac{2\text{e}^x}{1+\text{e}^x} \\\phantom{\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+2\ge0\quad}\Longleftrightarrow\quad2\,(1+\text{e}^x)\ge2\text{e}^x \\\phantom{\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+2\ge0\quad}\Longleftrightarrow\quad2+2\,\text{e}^x\ge2\text{e}^x \\\phantom{\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+2\ge0\quad}\Longleftrightarrow\quad2\ge2\text{e}^x-2\,\text{e}^x \\\phantom{\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+2\ge0\quad}\Longleftrightarrow\quad2\ge0.$

Puisque 2 supegal

0 est vrai, nous en déduisons que $\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+2\ge0.$

Dès lors, $\left|\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+2\,\right|=\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+2.$

Nous obtenons ainsi :

$A(t)= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{t} \left(\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+2\right)\,\text d x\end{aligned} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{A(t)}= \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{t} \dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}\,\text d x\end{aligned}+ \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{t} 2\,\text d x\end{aligned}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{A(t)}= -2\,\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{t} \dfrac{\text{e}^x}{1+\text{e}^x}\,\text d x\end{aligned}+ \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{t} 2\,\text d x\end{aligned}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{A(t)}= -2\,\left[\overset{}{\ln(1+\text{e}^x)}\right]_0^t+ \left[\overset{}{2x}\right]_0^t}$

$\\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{A(t)}= -2\,\left[\overset{}{\ln(1+\text{e}^t)-\ln(1+\text{e}^0)}\right]+ \left[\overset{}{2t-0}\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{A(t)}= -2\,\left[\overset{}{\ln(1+\text{e}^t)-\ln2}\right]+ 2t} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{A(t)}= -2\,\overset{}{\ln(1+\text{e}^t)+2\ln2}+ 2t} \\\\\Longrightarrow\boxed{A(t)=-2\ln(1+\text{e}^t)+2t+\ln4\;\text{cm}^2}$

5. b) Nous devons calculer $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{t\to+\infty}A(t).}$

$\lim\limits_{t\to+\infty}A(t)=\lim\limits_{t\to+\infty}[-2\ln(1+\text{e}^t)+2t+\ln4] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{t\to+\infty}A(t)}=\lim\limits_{t\to+\infty}[-2\ln(1+\text{e}^t)+2\ln(\text{e}^t)]+\ln4} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{t\to+\infty}A(t)}=\lim\limits_{t\to+\infty}-2[\ln(1+\text{e}^t)-\ln(\text{e}^t)]+\ln4} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{t\to+\infty}A(t)}=-2\lim\limits_{t\to+\infty}[\ln(1+\text{e}^t)-\ln(\text{e}^t)]+\ln4} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\lim\limits_{t\to+\infty}A(t)}=-2\lim\limits_{t\to+\infty}\ln\left(\dfrac{1+\text{e}^t}{\text{e}^t}\right)+\ln4} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\lim\limits_{t\to+\infty}A(t)}=-2\lim\limits_{t\to+\infty}\ln\left(\dfrac{1}{\text{e}^t}+1\right)+\ln4}$
$\\\\\text{Or }\,\lim\limits_{t\to+\infty}\text{e}^t=+\infty\Longrightarrow\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{1}{\text{e}^t}=0 \\\\\text{D'où }\lim\limits_{t\to+\infty}A(t)=-2\ln(0+1)+\ln4 \\\phantom{\text{D'où }\lim\limits_{t\to+\infty}A(t)}=-2\ln1+\ln4 \\\phantom{\text{D'où }\lim\limits_{t\to+\infty}A(t)}=0+\ln4 \\\phantom{\text{D'où }\lim\limits_{t\to+\infty}A(t)}=\ln4 \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{t\to+\infty}A(t)=\ln4\;\text{cm}^2}$

PARTIE II :

On considère la suite $(u_n)_{n\ge 0}$ définie par : $\left\lbrace\begin{matrix}u_0=0\phantom{wwwwwwww}\\u_{n+1}=f_0(u_n)\phantom{ww}(n\in\N ).\end{matrix}\right.$

1. a) Nous devons montrer que l'équation $\overset{{\white{.}}}{f_0(x)=x}$ admet une unique solution alpha

dans

.

Soit la fonction g définie sur

par : $g(x)=f_0(x)-x.$

Montrer que l'équation $\overset{{\white{.}}}{f_0(x)=x}$ admet une unique solution alpha

dans

revient à montrer que l'équation $\overset{{\white{.}}}{g(x)=0}$ admet une unique solution alpha

dans

.

La fonction g est continue et dérivable sur

.

Nous avons montré dans la Partie I - question 2. c) que la fonction f ₀ est strictement décroissante sur

.
La fonction $h:x\mapsto-x$ est strictement décroissante sur

.
Dès lors, la fonction g est strictement décroissante sur

(somme des deux fonctions strictement décroissante sur

).

De plus,

$\bullet\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}f_0(x)=0\phantom{w}\text{(voir Partie I - question 1. b)}\\\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty\phantom{WWWWWWWWWWWWW}\end{matrix}\right. \phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\lim\limits_{x\to-\infty}[f_0(x)-x]=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWx}\Longrightarrow\phantom{ww}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=+\infty} \\\\\bullet\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}f_0(x)=-2\phantom{w}\text{(voir Partie I - question 1. a)}\\\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\phantom{WWWWWWWWWWWWW}\end{matrix}\right. \phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\lim\limits_{x\to+\infty}[f_0(x)-x]=-\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWx}\Longrightarrow\phantom{ww}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty}$
D'où $\overset{{\white{.}}}{ 0\in g(\,]-\infty\,;+\infty[\,).}$

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation g (x ) = 0 possède une et une seule solution notée $\overset{{\white{.}}}{\alpha}$ dans

Par conséquent, l'équation $\overset{{\white{.}}}{f_0(x)=x}$ admet une unique solution dans .

1. b) Nous devons montrer que $\forall x \in\R,\quad\left|\overset{}{ f_0'(x)}\right| \le \dfrac{1}{2}.$

Nous savons que $\left|\overset{}{ f_0'(x)}\right|=\left|\overset{}{ \dfrac{-2\text{e}^x}{(1+\tex{e}^x)^2}}\right|\Longrightarrow \boxed{\left|\overset{}{ f_0'(x)}\right|= \dfrac{2\text{e}^x}{(1+\tex{e}^x)^2}}$

En utilisant la Partie I - question 2. b), nous obtenons :

$\dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\le1\Longleftrightarrow{\red{\dfrac{1}{2}}}\times\dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\le{\red{\dfrac{1}{2}}}\times1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\le1}\Longleftrightarrow\dfrac{2\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\le\dfrac{1}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\dfrac{4\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^2}\le1}\Longleftrightarrow\boxed{\left|\overset{}{ f_0'(x)}\right| \le \dfrac{1}{2}}}$

2. a) Nous devons montrer que $\forall n \in\N,\quad |u_{n+1}-\alpha|\le \dfrac{1}{2}\,|u_n - \alpha|.$

Soit $a=\text{min}\lbrace u_n,\alpha\rbrace$ et $b=\text{max}\lbrace u_n,\alpha\rbrace.$

$\bullet{\white{w}}$ La fonction f ₀ est continue sur l'intervalle [a ; b].
$\bullet{\white{w}}$ La fonction f ₀ est dérivable sur l'intervalle ]a ; b[.
$\bullet{\white{w}}$ Nous savons que pour tout x réel, $\left|\overset{}{ f_0'(x)}\right| \le \dfrac{1}{2}.$
Selon l'inégalité des accroissements finis, nous savons que $\left|\overset{}{ f_0(u_n)-f_0(\alpha)}\right| \le \dfrac{1}{2}\left|\overset{}{ u_n-\alpha}\right|.$

Or $f_0(u_n)=u_{n+1}$ et $f_0(\alpha)=\alpha$ car alpha

est la solution de l'équation $\overset{{\white{.}}}{f_0(x)=x.}$
Par conséquent, $\boxed{\forall n \in\N,\quad |u_{n+1}-\alpha|\le \dfrac{1}{2}\,|u_n - \alpha|}\,.$

2. b) Nous devons en déduire que $\forall n \in\N,\quad |u_{n}-\alpha|\le \left(\dfrac{1}{2}\right)^n | \alpha|.$

$\bullet{\white{w}}$ L'inégalité est vraie si u_n = alpha

car elle s'écrirait : $0\le \left(\dfrac{1}{2}\right)^n | \alpha|$ , ce qui est vrai par évidence.

$\bullet{\white{w}}$ Soit u_n different

.

Nous savons que $\forall n \in\N,\quad |u_{n+1}-\alpha|\le \dfrac{1}{2}\,|u_n - \alpha|}\,.$

Dès lors, nous obtenons :

$\left\lbrace\begin{matrix}|u_{n}-\alpha|\le \dfrac{1}{2}\,|u_{n-1} - \alpha|\\\overset{{\white{.}}}{|u_{n-1}-\alpha|\le \dfrac{1}{2}\,|u_{n-2} - \alpha|}\\\overset{{\white{.}}}{|u_{n-2}-\alpha|\le \dfrac{1}{2}\,|u_{n-3} - \alpha|}\\\\\cdots\cdots\cdots\\\overset{{\white{.}}}{|u_{2}-\alpha|\le \dfrac{1}{2}\,|u_{1} - \alpha|}\\\overset{{\phantom{.}}}{|u_{1}-\alpha|\le \dfrac{1}{2}\,|u_{0} - \alpha|}\end{matrix}\right.$

Multiplions ces n inégalités membre à membre.

$|u_{n}-\alpha|\times|u_{n-1} - \alpha|\times|u_{n-2} - \alpha|\times\cdots\times|u_{2}-\alpha|\times|u_{1}-\alpha| \\\\\phantom{xxxxx}\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \times|u_{n-1} - \alpha|\times|u_{n-2} - \alpha|\times\cdots\times|u_{1}-\alpha|\times|u_{0}-\alpha|$
Simplifions les facteurs identiques dans les deux membres.
Nous obtenons alors : $|u_{n}-\alpha|\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\times|u_{0}-\alpha|.$

$\text{Or }\,u_0=0\Longrightarrow|u_{0}-\alpha|=|-\alpha| \\\phantom{\text{Or }\,u_0=0}\Longrightarrow|u_{0}-\alpha|=|\alpha|.$

D'où $\boxed{\forall n \in\N,\quad |u_{n}-\alpha|\le \left(\dfrac{1}{2}\right)^n | \alpha|}\,.$

${\red{\text{2. c) }}}\,\left\lbrace\begin{matrix}0\le|u_{n}-\alpha|\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\times|\alpha|\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0\phantom{w}\text{(car }0<\dfrac{1}{2}<1)\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{wx}\lim\limits_{n\to+\infty}|u_{n}-\alpha|=0 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWwwxxWWxWW}\Longrightarrow\phantom{wx}\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_{n}=\alpha}$
Par conséquent, la suite $(u_n)_{n\ge 0}\;$ converge vers .

PARTIE III :

On suppose dans cette partie que n supegal

2.

1. a) Nous devons montrer que pour tout entier n supegal

2, il existe un unique réel x_n solution de l'équation $\overset{{\white{.}}}{f_n(x)=0.}$

La fonction f_n est continue et dérivable sur

.
Nous avons montré dans la Partie I - question 2. c) que la fonction f_n est strictement croissante sur

.
De plus,

$\bullet\phantom{w}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f_n(x)=-\infty}\phantom{w}\text{(voir Partie I - question 1. b)}$

$\bullet\phantom{w}\lim\limits_{x\to+\infty}f_n(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+ nx\right) \\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{-2\text{e}^x}{\text{e}^x(\text{e}^{-x}+1)}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwww}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{-2}{\text{e}^{-x}+1}}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwx}=\dfrac{-2}{0+1}=-2}\\\lim\limits_{x\to+\infty}nx=+\infty\phantom{wwwwwwwwwxw}\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{-2\text{e}^x}{1+\text{e}^x}+ nx\right)=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\phantom{ww}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f_n(x)=+\infty}$

D'où $\overset{{\white{.}}}{ 0\in f_n(\,]-\infty\,;+\infty[\,).}$

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation f_n (x ) = 0 possède une et une seule solution $\overset{{\white{.}}}{x_n}$ dans

1. b) Pour tout entier n supegal

2,

$\left\lbrace\begin{matrix}f_n(0)=\dfrac{-2\text{e}^0}{1+\text{e}^0}+ n\times0=\dfrac{-2}{2}=-1\phantom{xxwwwwwwwwwww}\\\overset{{\white{.}}}{f_n(1)=\dfrac{-2\text{e}^1}{1+\text{e}^1}+ n\times1=\dfrac{-2\text{e}}{1+\text{e}}+ n}>-1,47+2=0,53\end{matrix}\right.\phantom{xx}\Longrightarrow\phantom{xx}\left\lbrace\begin{matrix}f_n(0)<0\\\\f_n(1)>0\end{matrix}\right.$

Puisque f_n (0) et f_n (1) sont de signes contraires, nous en déduisons que pour tout entier n 2, 0 < x_n < 1.

2. a) Pour tout entier n supegal

2,

$f_{n+1}(x_n)=\dfrac{-2\text{e}^{x_n}}{1+\text{e}^{x_n}}+ (n+1)\times{x_n} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{f_{n+1}(x_n)}=\dfrac{-2\text{e}^{x_n}}{1+\text{e}^{x_n}}+ n\,{x_n}+x_n } \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{f_{n+1}(x_n)}=f_n(x_n)+x_n } \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{f_{n+1}(x_n)}=0+x_n } \\ \overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f_{n+1}(x_n)}=x_n>0\phantom{xx}(\text{voir question 1. b)} } \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Pour tout entier }n\ge2,\quad f_{n+1}(x_n)>0}$

2. b) Nous venons de montrer que pour tout entier n supegal

2, $f_{n+1}(x_n)>0.$
Nous savons également que pour tout entier n supegal

2, x_n est solution de l'équation $\overset{{\white{.}}}{f_n(x)=0}$ , soit que $f_n(x_n)=0.$
Dans ce cas, n + 1 supegal

2 et donc, x _n +1 est solution de l'équation $\overset{{\white{.}}}{f_{n+1}(x)=0}$ , soit $f_{n+1}(x_{n+1})=0.$

D'où, pour tout entier n supegal

2,

$\left\lbrace\begin{matrix}f_{n+1}(x_n)>{\red{0}}\\\overset{{\white{.}}}{{\red{f_{n+1}(x_{n+1})=0}}}\end{matrix}\right.\phantom{x}\Longrightarrow\phantom{x}\boxed{f_{n+1}(x_n)>f_{n+1}(x_{n+1})}$

Or la fonction f_n +1 est strictement croissante sur

(voir Partie I - 2. c) .

Donc pour tout entier n supegal

2, $f_{n+1}(x_{n})>f_{n+1}(x_{n+1})\Longrightarrow \boxed{x_n>x_{n+1}}\,.$
Par conséquent, la suite $(x_n)_{n\ge 2}\;$ est strictement décroissante.

2. c) La suite $(x_n)_{n\ge 2}\;$ est strictement décroissante et est minorée par 0.
Donc la suite $(x_n)_{n\ge 2}\;$ est convergente.

3. a) Nous devons montrer que pour tout entier n supegal

2, ${\white{w}}\dfrac{1}{n}< x_n < \dfrac{1}{n}\left(\dfrac{2\text{e}}{1+\text{e}} \right).$

$\text{Pour tout entier }n\ge2,\quad f_n(x_n)=0\Longleftrightarrow\dfrac{-2\text{e}^{x_n}}{1+\text{e}^{x_n}}+ nx_n=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Pour tout entier }n\ge2,\quad f_n(x_n)=0}\Longleftrightarrow nx_n=\dfrac{2\text{e}^{x_n}}{1+\text{e}^{x_n}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Pour tout entier }n\ge2,\quad f_n(x_n)=0}\Longleftrightarrow \boxed{nx_n=-f_0(x_n)}}$

Or nous savons que 0 < x_n < 1 (voir Partie III - 1. b) et que la fonction f₀ est strictement décroissante sur

(voir Partie I - 2. c).
D'où, nous obtenons :

$0<x_n<1\Longrightarrow f_0(0)>f_0(x_n)>f_0(1) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{0<x_n<1}\Longrightarrow -f_0(0)<-f_0(x_n)<-f_0(1)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{0<x_n<1}\Longrightarrow \dfrac{2\text{e}^{0}}{1+\text{e}^{0}}<n\,x_n<\dfrac{2\text{e}^{1}}{1+\text{e}^{1}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{0<x_n<1}\Longrightarrow 1<n\,x_n<\dfrac{2\text{e}}{1+\text{e}}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{0<x_n<1}\Longrightarrow \boxed{\dfrac{1}{n}<x_n<\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{2\text{e}}{1+\text{e}}\right)}}$

3. b) En appliquant le "théorème des gendarmes", nous obtenons :

$\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{1}{n}<x_n<\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{2\text{e}}{1+\text{e}}\right) \\\\\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{2\text{e}}{1+\text{e}}\right)=0 \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=0}$

Nous en déduisons que

$nx_n=\dfrac{2\text{e}^{x_n}}{1+\text{e}^{x_n}}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty}nx_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2\text{e}^{x_n}}{1+\text{e}^{x_n}}$

Or $\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=0\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty}\text{e}^{x_n}=\text{e}^{0}=1.$

D'où $\lim\limits_{n\to+\infty}nx_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2\text{e}^{x_n}}{1+\text{e}^{x_n}} =\dfrac{2\times1}{1+1}=\dfrac{2}{2}=1.$

Par conséquent, $\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}nx_n=1}\,.$

4. a) Nous avons montré que la suite $(x_n)_{n\ge 2}\;$ est strictement décroissante.
Dès lors, pour tout entier n 2, nous avons : x_n x₂.

4. b) Nous savons que pour tout entier n supegal

2, $0<x_n<1$ et $x_n\le x_2.$

Dès lors, $0<x_n\le x_2\quad\Longrightarrow\quad0<(x_n)^n\le (x_2)^n.$

D'autre part, pour tout entier n supegal

2,
$0<x_n<1\quad\Longrightarrow\quad0<x_2<1\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}(x_2)^n=0}\,.$

En appliquant le "théorème des gendarmes", nous obtenons :

$\left\lbrace\begin{matrix}0<(x_n)^n\le (x_2)^n \\\\\lim\limits_{n\to+\infty}(x_2)^n=0 \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}(x_n)^n=0}$

4 points

exercice 2

Soient a , b et c trois nombres complexes non nuls tel que : a + b different

c .

1. a) Nous devons résoudre dans l'ensemble

l'équation d'inconnue z
$\overset{{\white{.}}}{(E)\;\; : \;\; z²-(a+b+c)z+c(a+b)=0.}$

$\underline{\text{Discriminant de (E) }}:\Delta=[-(a+b+c)]^2-4\times1\times c(a+b) \\\phantom{\underline{\text{Discriminant de (E) }}:\Delta}=(a+b+c)^2-4ac-4bc \\\phantom{\underline{\text{Discriminant de (E) }}:\Delta}=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-4ac-4bc \\\phantom{\underline{\text{Discriminant de (E) }}:\Delta}=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc \\\phantom{\underline{\text{Discriminant de (E) }}:\Delta}=(a+b-c)^2 \\\\ \underline{\text{Solutions de (E) }}:z_1=\dfrac{a+b+c+a+b-c}{2}=\dfrac{2a+2b}{2}=a+b \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\underline{\text{Solutions de (E) }}:}z_2=\dfrac{a+b+c-a-b+c}{2}=\dfrac{2c}{2}=c}$

D'où, l'ensemble des solutions de l'équation (E) est : $\boxed{S=\lbrace a+b\,,\,c\rbrace}$

1. b) On suppose dans cette question que : $a=\text{i}\quad , \quqd b=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} \quad \text{ et } \quad c=a-b.$

Dans ce cas, $z_1=a+b=\text{i}+\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}+\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}.$

Or $\text{e}^{\text{i}\alpha}+\text{e}^{\text{i}\beta}=\text{e}^{\text{i}\frac{\alpha+\beta}{2}}\left(\text{e}^{\text{i}\frac{\alpha-\beta}{2}} +\text{e}^{\text{i}\frac{-(\alpha-\beta)}{2}}\right).$
$\text{Donc }\,z_1=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}+\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}=\text{e}^{\text{i}\frac{\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}}{2}}\left(\text{e}^{\text{i}\frac{\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}}{2}} +\text{e}^{\text{i}\frac{-(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})}{2}}\right) \\\phantom{\text{Donc }\,z_1=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}+\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}}=\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}\left(\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}} +\text{e}^{\text{i}\frac{-\pi}{12}}\right) \\\phantom{\text{Donc }\,z_1=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}+\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}}=\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}\times2\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\phantom{ww}(\text{formule d'Euler}) \\\\\Longrightarrow\boxed{z_1=2\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}}$

De même, $z_2=c=a-b=\text{i}-\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}-\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}.$

Or $\text{e}^{\text{i}\alpha}-\text{e}^{\text{i}\beta}=\text{e}^{\text{i}\frac{\alpha+\beta}{2}}\left(\text{e}^{\text{i}\frac{\alpha-\beta}{2}} -\text{e}^{\text{i}\frac{-(\alpha-\beta)}{2}}\right).$
$\text{Donc }\,z_2=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}-\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}=\text{e}^{\text{i}\frac{\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}}{2}}\left(\text{e}^{\text{i}\frac{\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}}{2}} -\text{e}^{\text{i}\frac{-(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})}{2}}\right) \\\phantom{WWWWWWWWx}=\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}\left(\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}} -\text{e}^{\text{i}\frac{-\pi}{12}}\right) \\\phantom{WWWWWWWWx}=\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}\times2\,\text{i}\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\phantom{ww}(\text{formule d'Euler})$
$\\\phantom{WWWWWWWWx}=\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}\times2\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \\\phantom{WWWWWWWWx}=2\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}\times\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWx}=2\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \text{e}^{\text{i}\frac{11\pi}{12}}} \\\\\Longrightarrow\boxed{z_2=2\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\text{e}^{\text{i}\frac{11\pi}{12}}}$

2. Soient $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{R_{\left(P(p),\frac{\pi}{2}\right)}}$ la rotation de centre P (p ), d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ qui transforme B en A
et $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{R_{\left(Q(q),-\frac{\pi}{2}\right)}}$ la rotation de centre Q (q ), d'angle $\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$ qui transforme C en A,
et D (d ) le milieu du segment [BC ].

2. a) Montrons que $2p=b+a+(a-b)\text{i}.$
$\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{R_{\left(P(p),\frac{\pi}{2}\right)}}(B)=A\Longleftrightarrow a- p=\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}(b-p) \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow a-p=\text{i}(b-p) \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow a-p=\text{i}b-\text{i}p \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow p-\text{i}p=a-\text{i}b \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow p(1-\text{i})=a-\text{i}b \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow p(1-\text{i}){\red{(1+\text{i})}}=(a-\text{i}b){\red{(1+\text{i})}} \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow p(1^2+1^2)=(a-\text{i}b)(1+\text{i}) \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow 2p=a+\text{i}a-\text{i}b+b \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow 2p=a+b+\text{i}(a-b) \\\\\Longrightarrow\boxed{2p=b+a+(a-b)\text{i}}$

Montrons que $2q=c+a+(c-a)\text{i}.$
$\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{R_{\left(Q(q),-\frac{\pi}{2}\right)}}(C)=A\Longleftrightarrow a- q=\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{2}}(c-q) \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow a-q=-\text{i}(c-q) \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow a-q=-\text{i}c+\text{i}q \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow q+\text{i}q=a+\text{i}c \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow q(1+\text{i})=a+\text{i}c \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow q(1+\text{i}){\red{(1-\text{i})}}=(a+\text{i}c){\red{(1-\text{i})}} \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow q(1^2+1^2)=(a+\text{i}c)(1-\text{i}) \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow 2q=a-\text{i}a+\text{i}c+c \\\phantom{WWWWWWWi}\Longleftrightarrow 2q=a+c+\text{i}(c-a) \\\\\Longrightarrow\boxed{2q=c+a+(c-a)\text{i}}$

2. b) Nous devons calculer $\dfrac{p-d}{q-d}.$

Nous savons que D (d ) est le milieu du segment [BC ], soit que $d=\dfrac{b+c}{2}.$

En utilisant les relations démontrées dans la question précédente, nous obtenons :

$\dfrac{p-d}{q-d}=\dfrac{\dfrac{b+a+(a-b)\text{i}}{2}-\dfrac{b+c}{2}}{\dfrac{c+a+(c-a)\text{i}}{2}-\dfrac{b+c}{2}} \ \\\\\text{Or, par définition, }c=a-b,\,\text{soit }b+c=a.$

$\text{Donc }\,\dfrac{p-d}{q-d}=\dfrac{\dfrac{b+a+(a-b)\text{i}}{2}-\dfrac{a}{2}}{\dfrac{c+a+(c-a)\text{i}}{2}-\dfrac{a}{2}} \\\\\phantom{\text{Donc }\,\dfrac{p-d}{q-d}}=\dfrac{b+a+(a-b)\text{i}-a}{c+a+(c-a)\text{i}-a} \\\\\phantom{\text{Donc }\,\dfrac{p-d}{q-d}}=\dfrac{b+(a-b)\text{i}}{c+(c-a)\text{i}} \\\\\phantom{\text{Donc }\,\dfrac{p-d}{q-d}}=\dfrac{b+c\text{i}}{c-b\text{i}}\phantom{xx}(\text{car }c=a-b\Longrightarrow c-a=-b) \\\\\phantom{\text{Donc }\,\dfrac{p-d}{q-d}}=\dfrac{\text{i}(c-\text{i}b)}{c-b\text{i}} \\\phantom{\text{Donc }\,\dfrac{p-d}{q-d}}=\text{i}$

Par conséquent, $\boxed{\dfrac{p-d}{q-d}=\text{i}}\,.$

2. c) Montrons que le triangle PDQ est rectangle et isocèle.

$\dfrac{p-d}{q-d}=\text{i}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\left|\dfrac{p-d}{q-d}\right|=1\\\arg\left(\dfrac{p-d}{q-d}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwiww}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}|p-d|=|q-d|\\\widehat{\left(\overrightarrow{DQ},\overrightarrow{DP}\right)}\equiv\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwiww}\Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}DP=DQ\\ (DQ)\perp(DP)\end{matrix}\right.}$

Par conséquent, le triangle PDQ est rectangle et isocèle en D.

3. a) Soient E le symétrique de B par rapport à P et F le symétrique de C par rapport à Q et K le milieu du segment [EF ].

Soient e l'affixe du point E et f l'affixe du point F .

Nous savons que : "K est le milieu du segment [EF ]" signifie que $k=\dfrac{e+f}{2}.$

$\bullet{\white{w}}$ E est le symétrique de B par rapport à P signifie que $\overrightarrow{PE}=\overrightarrow{BP}.$

$\text{Or }\,\overrightarrow{PE}=\overrightarrow{BP}\Longleftrightarrow e-p=p-b \\\phantom{\text{Or }\,\overrightarrow{PE}=\overrightarrow{BP}}\Longleftrightarrow \boxed{e=2p-b}$

$\bullet{\white{w}}$ F est le symétrique de C par rapport à Q signifie que $\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{CQ}.$

$\text{Or }\,\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{CQ}\Longleftrightarrow f-q=q-c \\\phantom{\text{Or }\,\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{CQ}}\Longleftrightarrow \boxed{f=2q-c}$

$\text{D'où }\,k=\dfrac{e+f}{2}\Longleftrightarrow k=\dfrac{2p-b+2q-c}{2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\,k=\dfrac{e+f}{2}}\Longleftrightarrow k=\dfrac{b+a+(a-b)\text{i}-b+c+a+(c-a)\text{i}-c}{2}\quad(\text{voir question 2. a)}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{D'où }\,k=\dfrac{e+f}{2}}\Longleftrightarrow k=\dfrac{2a+(a-b)\text{i}+(c-a)\text{i}}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\,k=\dfrac{e+f}{2}}\Longleftrightarrow k=\dfrac{2a+(a-b+c-a)\text{i}}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\,k=\dfrac{e+f}{2}}\Longleftrightarrow k=\dfrac{2a+(c-b)\text{i}}{2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{D'où }\,k=\dfrac{e+f}{2}}\Longleftrightarrow \boxed{k=a+\dfrac{\text{i}}{2}(c-b)}}$

3. b) Les points K , P , Q et D sont cocycliques si et seulement si leur affixes complexes vérifient : $\left(\dfrac{p-d}{q-d}\right)\times\left(\dfrac{q-k}{p-k}\right)\in\R^{\star}.$

$\text{Or }\,\dfrac{p-d}{q-d}\right=\text{i}\quad(\text{voir question 2. b)} \\\\\text{et}\quad\dfrac{q-k}{p-k}=\dfrac{\dfrac{c+a+(c-a)\text{i}}{2}-a-\dfrac{\text{i}}{2}(c-b)}{\dfrac{b+a+(a- b)\text{i}}{2}-a-\dfrac{\text{i}}{2}(c-b)}\quad(\text{voir question 2. a. et 3.)} \\\\\phantom{wwwww}=\dfrac{c+a+(c-a)\text{i}-2a-\text{i}(c-b)}{b+a+(a-b)\text{i}-2a-\text{i}(c-b)} \\\\\phantom{wwwww}=\dfrac{c-a+(c-a-c+b)\text{i}}{b-a+(a-b-c+b)\text{i}} \\\\\phantom{wwwww}=\dfrac{c-a+(b-a)\text{i}}{b-a+(a-c)\text{i}}$

$\text{D'où }\,\left(\dfrac{p-d}{q-d}\right)\times\left(\dfrac{q-k}{p-k}\right)=\text{i}\times\left(\dfrac{c-a+(b-a)\text{i}}{b-a+(a-c)\text{i}}\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wWWWWWWWW,www}=\dfrac{(c-a)\text{i}-(b-a)}{b-a+(a-c)\text{i}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wWWWWWWWW,www}=\dfrac{-(b-a)-(a-c)\text{i}}{b-a+(a-c)\text{i}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wWWWWWWWW,www}=-\dfrac{b-a+(a-c)\text{i}}{b-a+(a-c)\text{i}}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{wWWWWWWWW,www}=-1} \\\\\Longrightarrow\boxed{\left(\dfrac{p-d}{q-d}\right)\times\left(\dfrac{q-k}{p-k}\right)\in\R^{\star}}$

Par conséquent, les points K , P , Q et D sont cocycliques.

4 points

exercice 3

PARTIE I :

On considère dans

l'équation (E ) : 47x - 43y = 1.

1. Le couple (11 , 12) est une solution particulière de l'équation (E ) car $47\times11-43\times12=517-516=1.$

2. Résolvons l'équation (E ) dans

.

$\left\lbrace\begin{matrix}47x-43y=1\\47\times11-43\times12=1\end{matrix}\right.\ \ \ \ \underset{\text{par soustraction}}{\Longrightarrow}\ \ \ \ 47(x-11)-43(y-12)=0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW>..}\Longrightarrow\quad\quad\quad47(x-11)=43(y-12)$

Donc l'entier 43 divise le produit 47(x - 11).
Or nous savons que 43 et 47 sont premiers entre eux.
Par le théorème de Gauss, nous en déduisons que 43 divise (x - 11).
Dès lors, il existe un entier relatif k tel que x - 11 = 43k , soit $\boxed{x=11+43k}$ .

$\text{De plus, }\ \left\lbrace\begin{matrix}47(x-11)=43(y-12)\ \ \ \ \\x=11+43k\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}47(x-11)=43(y-12)\ \ \ \\x-11=43k\ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW....}\Longrightarrow\ \ \ \ 47\times43k=43(y-12) \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW....}\Longrightarrow\ \ \ \ 47k=y-12 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW....}\Longrightarrow\ \ \ \ \boxed{y=12+47k}$

Par conséquent, l'ensemble S des solutions de (E) est $\boxed{S_E= \lbrace(11 + 43k\, ; 12 + 47k)\,; k\in\Z\rbrace}$ .

PARTIE II :

On considère dans

l'équation (F ) : $\overset{{\white{.}}}{x^{41} \equiv 4 \;[43]\,.}$

1. Soit x appartient

une solution de (F ).

1. a) Nous devons montrer que x et 43 sont premiers entre eux.

Effectuons une démonstration par l'absurde.

Supposons que 43 divise x .
Dans ce cas, nous obtenons : $\overset{{\white{.}}}{x\equiv 0 \;[43]\,.}$
Dès lors,    $\overset{{\white{.}}}{x^{41}\equiv 0 \;[43]\,.}$
Or $\overset{{\white{.}}}{x^{41}\equiv 4 \;[43]\,.}$
Nous en déduisons que    $\overset{{\white{.}}}{4\equiv 0 \;[43]}$ , soit que 43 divise 4, ce qui est absurde.
D'où la supposition initiale est fausse et donc 43 ne divise pas x .
Par conséquent, x et 43 sont premiers entre eux.

Nous devons en déduire que : $\overset{{\white{.}}}{x^{42}\equiv 1 \;[43]\,.}$

43 est un nombre premier et x est un entier premier avec 43.
Selon le petit théorème de Fermat, nous en déduisons que $x^{43-1}$ a pour reste 1 dans la division par 43,

soit que $\boxed{x^{42}\equiv 1 \;[43]}\,.$

1. b) Nous devons montrer que :     $\overset{{\white{.}}}{4x\equiv 1 \;[43]\,.}$

L'équation (F ) est : $x^{41} \equiv 4 \;[43]\,.$
En multipliant les deux membres par x , nous obtenons : $x^{42} \equiv 4x \;[43]\,.$
Par la symétrie de la relation de congruence, nous avons donc : $4x \equiv x^{42} \;[43]\,.$
Or nous avons montré dans la question 1. a) que $x^{42}\equiv 1 \;[43]$
Par la transitivité de la relation de congruence, nous obtenons :

$\left\lbrace\begin{matrix}4x \equiv x^{42} \;[43]\\x^{42}\equiv 1 \;[43]\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quaq\boxed{4x\equiv 1 \;[43]}$

Nous devons en déduire que $\overset{{\white{.}}}{x \equiv 11 \;[43]\,.}$
Nous venons de montrer que $\overset{{\white{.}}}{4x\equiv 1 \;[43]\,.}$
En multipliant les deux membres par 11, nous obtenons : $44x\equiv 11 \;[43]\,.$
Or nous savons que $\overset{{\white{.}}}{44\equiv 1 \;[43]}$ car 44 - 1 est divisible par 43.
En multipliant les deux membres par x , nous obtenons : $44x \equiv x \;[43]\,.$
Par la symétrie de la relation de congruence, nous avons donc : $x \equiv 44x \;[43]\,.$
Par la transitivité de la relation de congruence, nous obtenons :

$\left\lbrace\begin{matrix}x \equiv 44x \;[43]\\44x\equiv 11 \;[43]\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quaq\boxed{x\equiv 11 \;[43]}$

2. Nous devons donner l'ensemble des solutions dans

de l'équation (F ).

$\bullet{\white{x}}$ Soit x appartient

une solution de (F).
Alors $\overset{{\white{.}}}{\boxed{x^{41}\equiv 4 \;[43]\quad\Longrightarrow\quad x\equiv 11 \;[43]}\quad(\text{voir Partie II - 1. b})}$

$\bullet{\white{x}}$ Soit x appartient

tel que $\overset{{\white{.}}}{x\equiv 11 \;[43]\,.}$
43 est un nombre premier et 11 est un entier premier avec 43.
Selon le petit théorème de Fermat, nous en déduisons que $11^{43-1}$ a pour reste 1 dans la division par 43,
soit que $\overset{{\white{.}}}{\boxed{11^{42}\equiv 1 \;[43]}\,.}$

$\left\lbrace\begin{matrix}11^{42}&\equiv& 1& \;[43]\\44&\equiv &1 &\;[43]\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}11\times11^{41}&\equiv &1& \;[43]\\44&\equiv &1 &[43]\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwwwwwwlwww}\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}{\red{4\,\times\,}}11\times11^{41}&\equiv& {\red{4\,\times\,}}1& \;[43]\\44\;{\red{\times\,11^{41}}}&\equiv&1\, {\red{\times\,11^{41}}}& \;[43]\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwwwwwwlwww}\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}44\times11^{41}&\equiv& 4&\;[43]\\44 \times11^{41}&\equiv & 11^{41}& \;[43]\end{matrix}\right.$

Par la symétrie de la relation de congruence, nous avons donc : $\left\lbrace\begin{matrix}44\times11^{41}&\equiv& 4&\;[43]\\11^{41}&\equiv& 44 \times11^{41}& \;[43]\end{matrix}\right.$

Par la transitivité de la relation de congruence, nous obtenons :

$\left\lbrace\begin{matrix}11^{41}&\equiv& 44 \times11^{41}& \;[43]\\44\times11^{41}&\equiv& 4&\;[43]\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad11^{41}\equiv 4\quad[43]. \\\\\text{Or}\quad x\equiv 11\;[43]\quad\Longrightarrow\quad x^{41}\equiv 11^{41}\quad[43]. \\\\\text{D'où}\quad \left\lbrace\begin{matrix}x^{41}&\equiv& 11^{41}&\;[43]\\11^{41}&\equiv& 4&\;[43]\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x^{41}\equiv 4\quad[43]}\;.$

Nous venons donc de montrer que $\boxed{x\equiv 11 \;[43]\quad\Longrightarrow\quad x^{41}\equiv 4\quad[43]}$

$\bullet{\white{x}}$ Sur base des deux points précédents, nous déduisons que $\boxed{x\equiv 11 \quad[43]\quad\Longleftrightarrow\quad x^{41}\equiv 4\quad[43]}$

Par conséquent, l'ensemble des solutions dans de l'équation (F ) est $\boxed{S_F=\lbrace11+43k\,;\,k\in\Z\rbrace}\,.$

PARTIE III :

On considère dans

le système à deux équations suivant (S ) : $\left\lbrace\begin{matrix} x^{41}&\equiv&4&[43]\\ x^{47}&\equiv&10&[47] \end{matrix}\right.$

1. Soit x une solution du système (S ).

1. a) Nous devons montrer que x est solution du système (S' ) : $\left\lbrace\begin{matrix} x&\equiv&11&[43]\\ x&\equiv&10&[47] \end{matrix}\right.$

Nous supposons que x est une solution du système (S ).
Donc x est une solution de (F ) : $x^{41} \equiv 4\quad[43]\,.$
En utilisant la question 1. b) de la Partie II, nous savons que $\boxed{\overset{{\white{.}}}{x \equiv 11\quad[43]\,.}}$

De plus, si x est une solution du système (S ), alors $\overset{{\white{.}}}{x^{47}\equiv10\quad[47].}$

Il s'ensuit que x est premier avec 47 car si ce n'était pas le cas, nous aurions : $\overset{{\white{.}}}{x\equiv0\quad[47]}$ et par suite, $\overset{{\white{.}}}{x^{47}\equiv0\quad[47]}$ .
Or, par hypothèse, nous savons que $x^{47}\equiv10\quad[47].$
Nous en déduirions que $\overset{{\white{.}}}{10\equiv0\quad[47]}$ , soit que 47 divise 10, ce qui est absurde.

Nous savons également que 47 est premier.

Selon le petit théorème de Fermat, nous en déduisons que $x^{47-1}$ a pour reste 1 dans la division par 47, soit que $x^{46}\equiv 1\quad[47].$

Dès lors,

$\left\lbrace\begin{matrix}x^{46}&\equiv &1&[47]\\x^{47}&\equiv&10&[47]\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x\times x^{46}&\equiv &x\times1&[47]\\x^{47}&\equiv&10&[47]\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwwwwwwwwiw}\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} x^{47}&\equiv &x&[47]\\x^{47}&\equiv&10&[47]\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwwwwwwwwiw}\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} x&\equiv &x^{47}&[47]\\x^{47}&\equiv&10&[47]\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwwwwwwwwiw}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x\equiv10\quad[47]}$

Par conséquent, x est solution du système (S' ) : $\left\lbrace\begin{matrix} x&\equiv&11&[43]\\ x&\equiv&10&[47] \end{matrix}\right.$

1. b) Nous devons en déduire que $\overset{{\white{.}}}{x\equiv 527\quad[2021]}.$

Nous venons de montrer que x est solution du système (S' ) : $\left\lbrace\begin{matrix} x&\equiv&11&[43]\\ x&\equiv&10&[47] \end{matrix}\right.$

$\text{Or, }\quad(S')\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} {\red{x}}&{\red{=}}&{\red{11+43y}}\\ x&=&10+47z\end{matrix}\right.\quad\text{où }(y\;,\,z)\in\Z\times\Z \\\\\phantom{\text{Or, }\quad(S')\quad}\Longrightarrow11+43y=10+47z \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or, }\quad(S')\quad}\Longrightarrow47z-43y=1}$

En utilisant la question 2. de la Partie I, nous déduisons que (z ; y ) appartient à l'ensemble des solutions de l'équation (E ).

D'où $(z\,;y)=(11+43k\,;12+47k)\quad \text{où }k\in\Z$

soit $\left\lbrace\begin{matrix}z&=&11+43k\\ {\blue{y}}&{\blue{=&}}{\blue{12+47k}}\end{matrix}\right.\quad \text{où }k\in\.Z$

Nous obtenons alors :

$\left\lbrace\begin{matrix}{\red{x}}&{\red{=}}&{\red{11+43y}}\\ {\blue{y}}&{\blue{=&}}{\blue{12+47k}}\end{matrix}\right.\quad \text{où }k\in\Z \\\\\Longrightarrow x=11+43( 12+47k) \\\phantom{\Longrightarrow} x=11+516+2021k \\\phantom{\Longrightarrow} x=527+2021k \\\\\Longrightarrow\boxed{x\equiv527\quad[2021]}$

2. Nous devons donner l'ensemble des solutions dans

du système (S ).

$\bullet{\white{x}}$ Nous avons montré dans la question 1. a) que si x est une solution de (S ), alors x est une solution de (S' ).
Donc (S ) (S' ).

$\bullet{\white{x}}$ Supposons que x est une solution de (S' ).

Nous obtenons alors : $\left\lbrace\begin{matrix} x&\equiv&11&[43]\\ x&\equiv&10&[47] \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} x^{41}&\equiv&11^{41}&[43]\\ x^{47}&\equiv&10^{47}&[47] \end{matrix}\right.$

Or par la question 2. - Partie II, nous savons que $\boxed{11^{41}\equiv4\quad[43]}\;.$

De plus, 10 est premier avec 47 et 47 est premier.
Selon le petit théorème de Fermat, nous en déduisons que $10^{47-1}$ a pour reste 1 dans la division par 47, soit que $\overset{{\white{.}}}{10^{46}\equiv 1\quad[47].}$
Dès lors,

$10^{46}\equiv 1\quad[47]\quad\Longrightarrow\quad10\times10^{46}\equiv 10\times1\quad[47]. \\\\\phantom{10^{46}\equiv 1\quad[47]}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{10^{47}\equiv 10\quad[47]}\;.$

Par la transitivité de la relation de congruence, nous obtenons :

$\left(\left\lbrace\begin{matrix} x^{41}&\equiv&11^{41}&[43]\\ x^{47}&\equiv&10^{47}&[47] \end{matrix}\right.\quad\text{et}\quad\left\lbrace\begin{matrix} 11^{41}&\equiv&4&[43]\\ 10^{47}&\equiv&10&[47] \end{matrix}\right.\right)\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix} x^{41}&\equiv&4&[43]\\ x^{47}&\equiv&10&[47] \end{matrix}\right.}$

D'où x est une solution de (S ).
Donc (S' ) (S ).

Par conséquent, $(S)\Longleftrightarrow(S')\Longleftrightarrow x\equiv527\quad[2021]\quad(\text{voir question 1. b)}$

Nous en déduisons que l'ensemble des solutions dans

du système (S ) est $\boxed{S_S=\lbrace527+2021k\,;\,k\in\Z\rbrace}\,.$

${\red{\sim \sim \sim\ \mathscr{F}IN\sim \sim \sim }}$

Publié par malou le 09-04-2022

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