Salut,

Application de la formule : cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) avec a = b = x/2

Bonjour,

Il y a plusieurs variantes, toutes aussi utiles :
cos(2x) = 2cos²(x)-1
cos(2x) = 1 - 2sin²(x)
cos(2x) = cos²(x)-sin²(x)

ok merci
un autre monde...
j'ai pu redemontrer la formule de l'énoncé

Il y a un certain nombre de relation trigonométriques qu'il est utile, et même à partir d'un certain niveau impératif de connaître plus ou moins par cœur.
On les trouve souvent regroupées dans un "formulaire trigonométrique", il y en a plein en ligne en pdf, par exemple ici  

salut

certes ...mais une fois connue les relations cos (a + b), sin (a + b) il n'est même plus besoin dans connaitre d'autres ...

une démonstration "reine" est évidemment géométrique ...

je n'en connais pas pour cos (2x) même si je suis quasiment persuadé qu'elle existe ou qu'on peut en produire une ...

mais j'en connais deux pour la relation

première méthode :

soit ABC un triangle isocèle en A avec .
en considérant alors l'aire de ce triangle prouver cette relation.

deuxième méthode :

dans le cercle trigonométrique on pose .
en considérant l'aire des différents triangles prouver cette relation.


ensuite :


voila un bel objectif

Non?

peut-être ...

Tu écris BAC =x
BAC =2x...
Erreur ou pas ?

...

ABC isocèle en A mais il est aussi rectangle en C alors

un peu de sérieux !!!

comment peux-tu penser que l'angle ABC soit droit avec une figure "exacte" (= pas fait à la main à l'arrache) ?

je pensais que AB etait un diamètre du cercle

première méthode
ABC triangle isocèle en A.

on ne connait aucune longueur?
On travaille dans ce triangle ABC pour déterminer sin(2x)?

Que cherches-tu à démontrer ?

sin(2x)=2sin(x)cos(x) avec la première méthode suggérée par carpediem.
J'essaierai aussi la seconde méthode du triangle inscrit dans un cercle mais j'ai trouvé un ex sur l'ile ou l'exercice est davantage guidé car carpediem est souvent avare d'indices

Pour cette démonstration, je te conseille de faire d'abord une figure, avec un triangle ABC isocèle en A, BÂC = 2x , et deux de ses hauteurs AH et CK. Marque les angles égaux à  x .
Ensuite, tu pourrais exprimer en fonction des segments de la figure  sin x , cos x  et  sin(2x) .

démonstration de sin2x=2sinx cosx

ouais c'est grossomodo ma deuxième méthode ...

pseudau @ 08-05-2020 à 15:50

J'essaierai aussi la seconde méthode du triangle inscrit dans un cercle mais j'ai trouvé un ex sur l'ile ou l'exercice est davantage guidé car carpediem est souvent avare d'indices

et la hauteur aussi?

il est évident que la hauteur des trois triangles est l'ordonnée de C ...

pour la 2ème méthode j'ai calculé sin(2)=CH  dans le triangle OHC avec H le pied de la hauteur issue de C
comment montrer que  sin(2)=2sin()cos()??
j'ai essayé de developper 2sin()cos() et j'ai trouvé

Je te conseille d'exprimer sin(x), cos(x) et sin(2x) en fonction des divers segments que comporte la figure.
Si tu choisis les bons triangles, c'est très rapide.

en montrant que ABC et CHB semblables on a



sin()cos()=



=CH =sin(2)si AB=2

mais dans le cas général?

ou plus simple, dans le triangle ABC, sin x = BC/2 et cos x = AC/2

l'aire de ABC vaut donc AC.BC/2 = 2 sin x cos x
mais elle est aussi égale à AB.CH/2 = sin 2x

et on est dans un cas général, x est quelconque.

ouais tout simplement ...

tiens j'ai retrouvé : Passer decos( /4) a cos(/8)

x est quelconque mais AB=2 c'est bien cela?

le cercle est trigonométrique ...

moi j'ai montré que sin(2x)=

je sais que l'aire de ABC=AB:CH/2 mais quel lien avec sin(2x)
désolé je fais le boulet...

Or  
CH = ACsin(x) (triangle ACH) , et

AC = ABcos(x) (triangle ABC) .

les triangles OAC et OBC ont même aire car même base et même hauteur qui est l'ordonnée y(C) = sin 2x

donc ABC = AOC + OBC = 2 * (1/2) * OB * sin (2x) = sin (2x)

d'autre part l'aire du triangle ABC rectangle en C est aussi ABC = (1/2) CA * CB = (1/2) * AB cos x * AB sin x = 2 sin x cos x

...