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1 exo avc 3 petites kestions : fonction avec des log
On considère la fonction numérique f définie sur )0;+oo( par f(x)
= (ln x - 2) / x
1) étudier les limites de f aux bornes de l'ensemble de définition
2) calculer la dérivée f' de f et en déduire le sens de variation
de f
3) résoudre l'équation f(x) = 0, puis l'inéquation f(x)>0
On considère la fonction numérique f définie sur )0;+oo( par f(x)
= (ln x - 2) / x
1) étudier les limites de f aux bornes de l'ensemble de définition
2) calculer la dérivée f' de f et en déduire le sens de variation
de f
3) résoudre l'équation f(x) = 0, puis l'inéquation f(x)>0
merci
** message déplacé **
Bonjour,
1) En 0, lim(ln x - 2)=-inf et lim x=0+
Donc lim(x->0)f(x)=-inf
f(x)=ln x / x -2/x
lim(x->+inf) ln(x)/x=0
lim(x->+inf) 2/x=0
lim(x->+inf) f(x)=0
2) f'(x)=((1/x)*x-(ln x-2))/x²
f'(x)=(3-ln(x))/x²
3-ln(x)>0 si ln(x)<3 donc si x
Donc f est croissante sur [0;e^3] et décroissante sur [e^3;+inf].
3) f(x)=0 ssi x différent de 0 et ln(x)=2 donc x=e².
f(x)>0 ssi ln(x)>2 car x>=0 donc x>e².
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