Salut:
a^b=exp(bln(a))
i^i=exp(iln(i))

reste à trouver ln(i) qui est iPi/2

Sauf erreur
A+

Entre temps en triturant Euler, je suis arrivé à
exp(i.téta)=(costéta+isintéta)

pour téta=pi/2
exp(ipi/2)=i
que j'élève à la puissance i (est-ce que j'ai le droit ?)

[exp(ipi/2)]^i=i^i

ou [e^a]^b=e^(ab)
exp(-pi/2)=i^i

Philoux

otto : je ne comprends pas ta conclusion

Salut,
normalement tu n'as pas le droit d'élever aussi facilement à une puissance complexe, car tu perds les belles propriétés (de morphisme) dans C. Ca vient principalement du fait que ln(ab) n'est pas égal à ln(a)+ln(b).
Si tu utilises implicitement cette règle, tu n'as pas le droit, sinon alors ca marche ta démo.

Sinon de quelle conclusion parles tu?
ln(i)=ipi/2
Puisque i^i=exp(iln(i))
ca donne
i^i=exp(i*iPi/2)=exp(-Pi/2).

C'est sur qu'il faut savoir que ln(i)=iPi/2
En fait ln(Z)=ln(|r|)+iteta pour z=|r|exp(i*teta)
De là ca se fait facilement.
A+

Pardon, dans ma formule teta est forcément inclus dans [0,2Pi[.
Sinon ln n'est pas bien défini.
A+

Effectivement, en pensant à :
En fait ln(Z)=ln(|r|)+iteta pour z=|r|exp(i*teta)
ça devient limpide

Merci

Philoux

Question qui n'a (presque) rien à voir : tu enseignes ou tu cherches (au sens chercheur) ... ou les deux ?

Salut,
c'est la définition du log complexe.
Sinon je suis chercheur au sens ou je fais une recherche, mais en tant qu'étudiant. Pour être officiellement chercheur je crois qu'il faut avoir l'équivalent du DEA, ce pour quoi je postule.
Je ne suis pas prof, mais j'ai une charge pour les deux ans à venir(laquelle?). Techniquement ca ne change rien, mais administrativement ca change tout, notamment ca veut dire que je n'ai pas de doctorat, donc que c'est moins bien payé (déjà que c'est très mal payé, et que je gagnerai plus à enseigner au collège).
Mais ca c'est un autre débat

Merci pour l'explication de ton cursus. Pourquoi ne fais-tu pas d'enseignement en // : (des)intérêt, impossibilité administrative ?

Je reviens sur ton post de 13:12
normalement tu n'as pas le droit d'élever aussi facilement à une puissance complexe, car tu perds les belles propriétés (de morphisme) dans C. Ca vient principalement du fait que ln(ab) n'est pas égal à ln(a)+ln(b).


En deux mots, que signifie des "propriétés de morphisme" ? est-ce une question de relation d'ordre qui n'existe pas sur C ?
Pourquoi la propriété des ln n'est pas vérifiée ?

Merci

Philoux

Salut,
le problème est que je suis français au Canada, je n'ai pas de permis de travail, ni de papier me permettant de bosser hors campus. Je peux donc bosser pour l'université pour presque tous les boulots (de la charge de cours au serveur de la cantine) mais pas en dehors et pas plus de 10h/semaine. Sinon je donnerai des cours au Cegep (équivalent de la terminale+maths sup) et je serai mieux payé

Pour le log:
un morphisme c'est une fonction qui conserve l'opération
f(x+y)=f(x)+f(y)
ou
f(xy)=f(x)+f(y)
ou encore
f(x+y)=f(x)f(y)
ou bien
f(xy)=f(x)f(y)
ou n'importe quelle genre d'opération qui est toujours vraie
Notamment ln(ab)=ln(a)+ln(b) en est un dans R, mais dans C c'est vrai à une constante près (donc en fait c'est faux) et puisque le log intervient dans les puissances, puisque a^b=exp(bln(a)) tu as ta réponse.
Amicalement,
otto

Logaritme d'un complexe.

z = r.e^(i(x + 2kPi))

ln(z) = ln(r) + i(x+2kPi)   (1)
-----

cas où z = i
z = cos(Pi/2) + i.sin(Pi/2)
z = e^(i.(Pi/2))

(1) -->
ln(z) = ln(i) = ln(1) + i(Pi/2)
ln(i) = i.Pi/2

i.ln(i) = i².Pi/2
i.ln(i) = -Pi/2
ln(i^i) = -Pi/2
i^i = e^(-Pi/2)
-----

Ok

D'où viennent ces relations
f(x+y)=f(x)+f(y)
ou
f(xy)=f(x)+f(y)
ou encore
f(x+y)=f(x)f(y)
ou bien
f(xy)=f(x)f(y)


?

J'ai essayé de comprendre ton :
Notamment ln(ab)=ln(a)+ln(b) en est un dans R, mais dans C c'est vrai à une constante près
est-ce que la raison en est :
z1=|z1|exp(iteta1), z2=|z2|exp(iteta2)
ln(z1.z2)=ln|z1|+ln|z2|+ln(exp(i(teta1+teta2)))=ln|z1|+ln|z2|+i(teta1+teta2) ?
Ce qui me plait pas c'est l'introduction des modules |z1| et |z2| et pas de z1 et z2.

Philoux

Merci J-P (14:53)

Les log complexes sont-ils enseignés en pré-bac ?

Philoux

Je ne sais pas Philoux.

-----
Je ne l'ai pas précisé mais on peut remarquer à partir des deux expressions:

z = r.e^(i(x + 2kPi))  
ln(z) = ln(r) + i(x+2kPi)
Avec k dans Z


Que z n'est pas modifié par la valeur de k alors que le ln(z) lui en est affecté ...

Et donc attention en manipulant ces machins de ne pas se planter.

-----

Ah oui...

la périodicité 2pi qui était sur z n'est pas conservée sur ln(z)

Je ne comprenais pas, dans ton post initial, pourquoi tu rajoutais ce 2kpi...

Ca doit rejoindre les esxplications d'otto sur ces notions de morphisme et de relations vraies dans R et pas ans C.

Philoux

J'avais mis un 2 kPi pour rester dans le cas général.

Par exemple si z = i

On a bien z = cos(Pi/2 + 2kPi) + i.sin(Pi/2 + 2kPi) avec k dans z

Il n'y a aucune raison particulière de choisir k = 0.

on a tout aussi bien z = e^(i.(Pi/2)) que z = e^(i.5Pi/2) que ...

Par contre ln(e^(i.(Pi/2))) = i.Pi/2 est différent de ln(e^(i.(5Pi/2))) qui vaut i.5Pi/2

C'est tout ce que j'ai voulu dire.

Ok

Ce qui me trouble le plus c'est qu'un nombre complexe élevé à une puissance complexe puisse donner un nombre réel...

D'ailleurs, je n'ai pas bien saisi la restriction d'otto sur cela.

Dans C, faire "z1 puissance z2" ne reviendrait pas à faire "x puissance y" dans R ?

Philoux

n'est pas forcément réel pur .
En effet , prenons le cas simple de qui est complexe


Jord

Salut,
la vraie raison est avant tout culturelle:
Quelle définition donnerais tu de x^y si y n'est pas rationnel?
Tu montres que x^(y+z)=x^y*x^z dans le cas ou ce sont des entiers.
Notamment, tu montres que tu peux prolonger d'une seule facon la fonction (x,y)->x^y soit continue et dérivable (sauf en 0)

Cette façon est de pose x^y=exp(yln(x))

Dans C on va donc le définir de la même manière, et en général on perd de l'information.
Quelle information?
Le fait que ce soit un morphisme.

Visiblement tu n'as pas compris la définition de morphisme.
Si je note + une opération et * une seconde opération, alors f est un morphisme si
f(a+b)=f(a)*f(b)

Les exemples classiques sont:
les fonctions puissances:
(x*y)^n=x^n*y^n
l'exponentielle
exp(x+y)=exp(x)exp(y)
le log
log(xy)=log(x)+log(y)
les applications linéaires:
a(x+y)=ax+ay
etc
Par exemple la fonction x->x²+2 n'est pas un morphisme puisque l'on a pas d'opération T et | (ou pas de triviale en tout cas) telle que
f(xTy)=f(x)|f(y)
T et | sont des opérations, ca peut etre + ca peut etre *, ca peut etre ce que tu veux.

En espérant avoir été plus clair.
A+

Bien sûr NM, je ne généralisais pas.

Le fait qu'il y en ait UN est déjà surprenant.

D'ailleurs, à titre d'exo, peut-on trouver l'ensmble des complexes tel que :
z^z soit réel ?
z^z soit Imaginaire pur ?
zbarre^zbarre soit réel ?
...

faut-il passer par les ln ?

Philoux

merci otto pour 16:43

As-tu une réponse pour mon post de 14:58

Philoux

Salut Nigthmare.

L'exemple que tu donnes a pour résultat un imaginaire pur.

i^(1+i) = i * i^i = i.e^(-Pi/2)

Mais on trouve des exemples tant qu'on veut où le résultat serait complexe.

Comme l'ensemble des réels et l'ensemble des imaginaires sont inclus dans l'ensemble des complexes, ce n'est pas si paradoxal de trouver des réels ou des imaginaires purs parfois comme solutions.

Pour le fun, pour trouver des "complexe^complexe" qui donnent un réel on peut par exemple procéder comme suit:



On prend r1, r2 et a quelconque.
On calcule b comme suit:

on ramène a dans [-Pi;Pi] en ajoutant à "a" la valeur 2kPi avec k dans Z et on calcule b par arctg(-a/ln(r1))

Exemple.
Je choisis r1 = 3; r2 = 2 et a = 7;

a' = a - 2kPi pour avoir a' dans [-Pi ; pi]
a' = 7 - 2Pi
b = arctg(-(7-2Pi)/ln(3)) = -0,578111641049...

On devrait avoir: qui est réel.

La calculette donne:
-----
Sauf distraction.  

Merci J-P pour la recherche...

Je me posais la question géométriquement, aussi :

Soit M(a,b) donné d'affixe zM=a+ib
Quel serait l'ensemble des points N (c,d) zN=c+id tel que zM^(zN) soit réel ?

Est-ce qqchose de caractéristique (fonction du point M ?, du cercle de centre O passant par M ?, du cercle de centre M passant par O ?, ...) ?

Même question avec zN^(zM) soit réel ?

Merci,

Philoux

Le probléme est que n'a pas de signification géométrique me semble-t-il .


Jord

Bonjour NM

Ce n'est pas le positionnement de zM^zN que je cherche, c'est l'ensemble des points N tels que zM^zN soit réel.

Un peu comme dans le cas d'une fonction complexe, z'=f(z) pour laquelle on recherches les images de zM (qd M est un point, une droite, un cercle...) qui sont un ensemble de points N=f(M).

C'est pour compléxifier, si celà a un sens et est faisable, des exos qu'on trouve niveau bac.

J'espère avoir été plus clair

Philoux

Bon alors , ma calculette me donne :



Bon maintenant faut arriver à démontrer ce résultat , ce qui ne me semble pas être une mince affaire

Alors ensuite pour trouver le lieu géométrique pour que ce complexe soit un réel pur , il faut le mettre sous sa forme algébrique , ce qui n'a pas l'air si facile non plus

En gros , il y a du boulot


Jord

>Ok NM

En supposant que ta "calculette" ait fourni un résultat correct,

Ya ka écrire que (contenu de ta parenthèse facteur de -i) = kpi

en particulier, si on pose M appartenant au cercle unitaire : a²+b²=1, le ln s'annule et ce ne doit pas être bien difficile d'aller plus loin.

Je pensais plutôt à des propriétés géométriques, sans développer (en passant par module et argument)

Philoux

Autre question : je t'ai vu exprimer des primitives littérales (? est-ce le mot ?) dans un post précédent, peux-tu me donner le nom de cet outil (le même que cette "calculette") ? merci à l'avance

A partir de zM = a + ib, on calcule r1 = |zM| et un arg(z) = A (avec A dans [-Pi ; Pi])

On écrit alors z sous la forme: zM = r1.e^(A.i)

On cherche zN = r2.e^(B.i) (qu'uon pourra ensuite remettre sous la forme c + id si on veut).

On veut zM^zN = k (avec k un réel).

[r1.e^(A.i)]^[r2.e^(B.i)] = k

[r2.e^(B.i)].ln[r1.e^(A.i)] = ln(k) et ln(k) est un réel.

[r2.(cos(B)+i.sin(B)].[ln(r1) + A.i] = Reél

La partie imaginaire du membre de gauche doit être nulle -->

r2.cos(B).A + r2.ln(r1).sin(B) = 0

Donc soit r2 = 0, soit cos(B).A + ln(r1).sin(B) = 0

tg(B) = -A/ln(r1)

B = arctg(-A/ln(r1)) et R2 quelconque

B étant un argument de ZN.

Donc les points du plan complexe de la droite (ou demi droite ?, à réfléchir) passant par l'origine du repère et de coeff ang = -A/ln(r1) conviennent pour le point N.
-----
Vérification par un exemple:

zM = 1 + 3i
r1 = |zM| = V10
A = arg(ZM) = 1,2490457724

On calcule B = arctg(-A/ln(r1)) = -1,08490737319

Tous les points N sont sur la droite d'équation y = -1,08490737319.x

vérif: x = 5, y = -5,42453686597

--> zN = 5 - 5,42453686597.i convient.

calculette: (1 + 3i)^(5 - 5,42453686597.i) = 277051,19 (OK)
-----
Remarque:
A partir de: r2.cos(B).A + r2.ln(r1).sin(B) = 0

Cas particulier où r1 = 1
On a alors: r2.cos(B).A = 0

cos(B) = 0 --> B = (Pi/2) + kPi
N est alors n'importe où sur l'axe des imaginaires.
-----
Sauf distraction ou erreur, il faut vérifier tout.  

Des primitives littérales ? dans quel post ?

>J-P
c'est effectivement sous cette forme que je voyais la résolution : merci

>NM
Un post que je ne parviens plus à retrouver, dans lequel tu avais fait une erreur de recopie (un 1-x² en 1+x² ou qqchose de ce type) et que dad t'avais repris...
Il y a de cela 1 semaine au plus...

Un outil d'expression de primitive à partir de l'expression de f(x), quoi.
Tu en utilises plusieurs ?
Merci en tout cas

Philoux

Ah oui , wims

Tu vas dans outil du calcul et du graphisme en ligne puis dans calculatrice de fonction


Jord

Merci NM


Philoux

cool, merci Nightmare  

Il m'a l'air pas mal du tout ce logiciel

_{PS : philoux, je t'ai envoyer un mail, peux-tu aller voir stp ...}

++