Erreur d'énoncé, il faudrait:

Démontrer que parmi les losanges de périmètre p donné, le carré est celui dont
l'aire est maximale.


Aire du losange: S = (1/2)x.y
Soit "a" un coté du losange, on a: a² = (x²/4) + (y²/4)
a = (1/2).V(x²+y²)   avec V pour racine carrée.

p = 4a = 2V(x²+y²)
p² = 4(x²+y²)
y² = (p²/4) - x²

S = |(1/2)x.V[(p²/4) - x²]|

S² = (x²/4).[(p²/4)-x²]

S est maximum en même temps que S², donc pour la valeur de x qui rend
f(x) = (x²/4).[(p²/4)-x²] maximum avec x dans [0 ; p/4]
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f(x) = (x²/4).[(p²/4)-x²]
f(x) = (x²p²/16) - (x^4/4)
f '(x) = (2p²x/16) - (4x³/4)
f '(x) = (p²x/8) - x³
f '(x) = x[(p²/8) - x²]

f '(x) > 0 pour x dans ]0 ; p/(2V2)[ -> f(x) est croissante.
f '(x) = 0 pour x = p/(2V2)
f '(x) < 0 pour x dans ]p/(2V2) ; p/4[ -> f(x) est décroissante.

Il y a un max de f(x) pour x = p/(2V2)
Or p² = 4(x²+y²) -> p² = 4[(p²/8)+y²]
p² = (p²/2)+4y²
p²/2 = 4y²
p²/8 = y²
y = p/(2V2)

Donc le max de f(x) a lieu lorsque x = y = p/(2V2)
->
S est maximum lorsque x = y = p/(2V2).
Or un losange qui a ses diagonales égales est un carré et donc:

S est maximum lorsque le losange est un carré.
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Sauf distraction.