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1ère spé suites (compliqué)
On souhaite calculer les termes de la suite (𝑈𝑛) définie pour tout entier 𝑛 non nul par :
𝑈𝑛 = ∑𝑘² (n au dessus de sigma et k=1)
1.
a. Calculer les 5 premiers termes de la suite.
b. (𝑈𝑛) est-elle arithmétique ?
L'objectif des prochaines questions est de trouver une formule explicite pour cette suite (𝑈𝑛)
2.
Montrer que pour tout entier 𝑛 non nul,
𝑆𝑛 = ∑[(𝑘 + 1)³ − 𝑘³]𝑛𝑘=1= (𝑛 + 1)³ − 𝑛³
(on pourra utiliser le résultat suivant ∑(𝑎𝑘 − 𝑏𝑘) = ∑ 𝑎𝑘 − ∑ 𝑏𝑘)
3
a. Montrer que pour tout entier 𝑘 non nul, (𝑘 + 1)³ − 𝑘³ = 3𝑘² + 𝑘+ 1
b. En déduire que 𝑆𝑛 = 3𝑈𝑛 + 3𝑛(𝑛+1)2+ 𝑛
4.
Déduire des questions 2 et 3 que
𝑈𝑛 = (𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1))/6
5.
Application : calculer 𝑈50.
Bonjour j'aimerai de l'aide sur la question 2, 3b et 4 svp, merci d'avance.
Bonjour,
écris explicitement les termes de la somme ∑[(𝑘 + 1)³ − 𝑘³] tu vois que beaucoup de termes vont se simplifier.
(sauf qu'il y a une erreur dans ce que tu as écris, c'est égal à (n+1)3-1, tous les termes se simplifient sauf le premier et le dernier)
si tu écris (𝑘 + 1)³ − 𝑘³ = 3𝑘² + 𝑘+ 1 et que tu fais la somme de 1 à n des deux membres.
A gauche tu trouves bien Sn
et à droite ? la somme des k² c'est Un
et que penses tu de la somme des k ? et la somme des 1 ?
si tu écris (𝑘 + 1)³ − 𝑘³ = 3𝑘² + 𝑘+ 1 et que tu fais la somme de 1 à n des deux membres.
A gauche tu trouves bien Sn
et à droite ? la somme des k² c'est Un
et que penses tu de la somme des k ? et la somme des 1 ?
re, en effet, Sn est bien la somme de 1 à n, à droite on a la somme des k^2 et, n=1 mais je ne sais pas comment montrer que 3k = 3(n(n+1))/2
c'est pas 3k mais la somme des k.
la somme des k ? donc 1+2+...+n la somme des termes d'une suite arithmétique de raison 1, on trouve facilement que ça vaut n(n+1)/2 en appliquant la formule
(tu peux aussi écrire
S = 1+2+...+n et aussi renverser l'ordre des termes
S = n+(n-1)+...+2+1 et ajouter les deux égalités membre à membre :
2S = (n+1)+(n+1)+...+(n+1) (n fois) = n(n+1)
et donc S = n(n+1)/2 )
la somme des 1 c'est donc 1+1+...+1 (n fois) donc = n
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