On place n points dans un plan.

3 quelconques d'entre eux ne sont pas alignés, cela signifie que
si on trace une droite passant par 2 quelconques de ces points, cette
droite ne passe par aucun des autres points choisis du plan.

La question n'est pas très bien écrite mais je suppose que c'est:
Combien est-il possible de tracer de droites passant par 2 quelconques de
ces points ?
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S'il y a 2 points, (A et B) une seule droite est possible, la droite (AB)
-> D2 = 1

S'il y a 3 points, (A, B et C ) 3 droites sont possibles, les droites(AB),
(AC) et (BC) -> D3 = 3

S'il y a 4 points, (A, B, C et D ) 6 droites sont possibles, les droites(AB),
(AC), (AD), (BC), (BD) et (CD) -> D4 = 6

De manière générale, avec n points, on peut tracer (1/2).n(n-1) droites.
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Sauf distraction.    

Merci beaucoup de te réponse J-P , en effet la question était peu
claire, il aurai fallut préciser que Dn représente le nombre de droites
passant par 2 des n points

Par contre je ne comprend pas comment tu arrives à trouver le terme
général de la suite  " (1/2).n(n-1) "

Dans mon exercice, il s'agit tout d'abord de déterminer un relation
de récurrence, entre D(n+1) et Dn.
J'ai trouvé D(n+1) = Dn + n (je ne sais pas si c'est juste car je
n'ai aucun moyen de le justifier, mais cela marche avec les
termes que j'ai deja calculé).

Voila je pense avoir trouvé, seulement j'aimerai bien avoir
confirmation car je trouve cela un peu compliqué :

J'ai trouvé la relation de récurrence D(n+1)  = Dn + n

par conséquent :

Dn = D(n-1) + (n-1)
D(n-1) = D(n-2) + (n-2)
D(n-2) = D(n-3) + (n-3)
D(n-3) = D(n-4) + (n-4)
                ...
D(3)     =  D(2) + 2
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On va donc ajouter ces egalités membre à membre,

pour cela on détermine la somme

S = (n - 1) + (n - 2) + (n - 3) + ... + 3 + 2
S =  2 + 3 + ... + (n - 3) + (n - 2) + (n - 1)

Il y a dans cette somme, sauf erreur de ma part, ( n - 2 ) termes, donc
en ajoutant membre à membre , on a :

2S = (n - 2 ) (n + 1)
<=> S = [(n-2) (n+1)] /2
<=> S = [n² + n - 2n -2] /2
<=> S = (n² - n - 2) /2


en ajoutant membre à membre les premieres égalités ci dessus, on à :

Dn = D(2) + S
<=> Dn = 1 + (n² - n - 2)/2
<=> Dn = (n² - n - 2 +2)/2
<=> Dn = (n² - n )/2
<=> Dn = n(n-1) / 2

voila, je retombe bien sur ton resultat, mais je trouve cela un peu fastidieu,
y aurait il plus simple ?

Pour moi c'est évident en réfléchissant un rien au lieu de faire
de longs développements mathématiques.

a) Un point peut être relié à tous les autres -> (n-1) liaisons sont
possibles à partir d'un point. (car un point n'est pas
relié à lui-même par une droite)

b) Il y a n points au total.

c) Si on se contente de multiplier les résutats des 2 machins précédents
   : n*(n-1), dans ce cas on a compté toutes les liaisons 2 fois (car
la liaison A->B et le même que la liaison B -> A    ...)
  
-> Conclusion on a: Dn = n(n-1)/2
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Ce type de résolution est directe mais il faut être sûr de la justesse
de son raisonnement. (Bien qu'ici ce n'est guère difficile)

ok merci

(quand à mon raisonnement, est il correcte ? )

La relation de récurrence est bien D(n+1) = Dn + n

On a alors:
D3 = D2 + 2
D4 = D3 + 3
D5 = D4 + 4
...
Dn = D(n-1) + (n-1)

En ajoutant des égalités, il vient:
D3 + D4 + D5 + ... + Dn = D2 + D3 + D4 + ...D(n-1) + 2 + 3 + 4 + ...
+ (n-1)
On simplifie et il reste:

Dn = D2 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1)

or 2 + 3 + 4 + ... + (n-1) est la somme de (n-2) termes en progression
arithmétique de raison 1 et de premier terme = 2.

->  2 + 3 + 4 + ... + (n-1) = (n-2).(n-1+2)/2 = (n-2)(n+1)/2

Dn = D2 + [(n-2)(n+1)/2]
Or D2 = 1 ->

Dn = 1 + [(n-2)(n+1)/2]
Dn = [2 + (n-2)(n+1)]/2
Dn = (2 + n² - n - 2)/2
Dn = (n²-n)/2
Dn = n(n-1)/2
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Et voila, cela ressemble fort à ce que tu as fait.