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1S produit sacalmaire + vecteurs

Posté par adeline (invité) 22-04-04 à 19:14

bonjour a tous!

je suis en 1S et j'ai besoin d'un coup de main pour demarrer
cet exo:
soit ABC est un triangle de centre de gravité G
exprimer GA²+GB²+GC² en fonction de AB²+BC²+CA² ( nb: ce sont bien
des longueurs et non des vecteurs)

voila comment j'ai commencé:
j'ai dit que G est l'isobarycentre de (A,1) (B,1) et (C,1)
mais apres je vois pas comment faire
on passe le GA²+GB²+GC² en vecteurs (nb meme chose mais en vecteur)

mais apres je bloque
voila
merci d'avance de pouvoir m'aider
a+
adeline

Posté par Jéremy (invité)La réponse à ta question 22-04-04 à 19:43

Il faut utiliser la relation de Chasles et donc passer en vecteurs
et
la définition du barycentre :

Exprimer GA²+GB²+GC² en fonction de AB²+BC²+CA²

Vectoriellement
AG = 1/3 (AB +AC)
BG = 1/3 (BA +BC)
CG = 1/3 (CA+CB)  


Donc  : GA²+GB²+GC² = 1/9(AB²+AC²+2AB.AC + BA²+BC² +2BA.BC+ CA²+CB²+2CA.CB)

       = 1/9 (2AB²+2Ac²+2BC²+2AB.AC+2BA.BC+2CA.CB)
       = 1/9 (2AB²+2Ac²+2BC²+2AB.AC+2AB.CB+2CA.CB)
       = 1/9 (2AB²+2AC²+2BC²+2AB.(AC+CB)+2CA.CB)
       = 1/9 (2AB²+2AC²+2BC²+2AB.(AB)+2CA.CB)
      = 1/9 (4AB²+2AC²+2BC²+2CA.CB)
      = 1/9 (4AB²+2AC²+2BC²+2CA.(CA+AB))
      = 1/9 (4AB²+4AC²+2BC²+2CA.AB)

La  formule d' Al Kashi appliquée au triangle (ABC) donne :
  BC² = AB² +AC² -2AB.AC
  Donc  : 2AB.AC = AB² +AC² -BC²

et donc  :

GA²+GB²+GC² =  1/9 (4AB²+4AC²+2BC²-AB²-AC²+BC²)
                         = 1/3 (AB² + AC² +BC²)



Posté par mayhem (invité)re : 1S produit sacalmaire + vecteurs 22-04-04 à 20:04

GA²+GB²+GC²

que ce soit des vecteurs ou des longueurs c pareil !
GA²=vecteur(GA)²  dès que tu as des produit ou des carré scalaire le vecteur disparait.
              vecteur(GA)²=GA²

mais
vecteur(GA)3=GA²*vecteur(GA)  <- le cube ne fais pas disparaitre le vecteur.




Bref je trouve une relation mais j'y ait pas passé beaucoup de temps.
Elle est juste mais bizarre et compliquées. Soit ya une autre méthode
soit ya une simplification que j'ai pas eu le temps de voir.

tu sais que (a+b+c)²=(a²+b²+c²)+2(ab+ac+bc)

tu fait tt a partir de la car tu sais que :

en vecteur :

GA+GB+GC=0   (isobarycentre)
AB+BC+CA=0    (relation de chasles)

dont
(GA+GB+GC)²=0        (ici c'est un zéro pas un vecteur nul)
(AB+BC+CA)²=0

donc (GA+GB+GC)²=(AB+BC+CA)²

tu dévelloppe les carrés scalaires  tu va obtenir des longueur mais
aussi des produits scalaire non exploitables.

mais c vilain comme solution

Posté par mayhem (invité)re : 1S produit sacalmaire + vecteurs 22-04-04 à 20:05

ah ben m*** on a du la faire en mm temps...
ma méthode est mauvaise prend celle au dessus
autant pr moi

Posté par adeline (invité)merci tout pleins 22-04-04 à 22:26

merci pour vos explications ca va me servir!
surtout que c'était un exo d interro et que je n'y avait rien compris!
a+
adeline



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