Exercice 1

1)
(p+8)/8 = (p/8) + 1
Il faut que p/8 soit entier -> p = 8k avec k un entier quelconque.

2)
(p+7)/(p-1) = 1 + (8/p-1))
p doit être différent de 1.
Il faut que 8/(p-1) soit entier -> 8/(p-1) = k  avec k un entier quelconque.
8 = kp - k
p = (8 + k)/k
p = 1 + (8/k)
k = 1, 2 ,4 et 8 (et aussi -1, -2, -4 , -8 si on prend en considération
les entier négatifs)
p = 9 ; 5 ; 3 ; 2 et -7 ; -3 ; -1 et 0 conviennent

3)
(2p+6)/(p-1) = 2 + 8/(p-1)
p doit être différent de 1.
Il faut que 8/(p-1) soit entier -> 8/(p-1) = k  avec k un entier quelconque.
-> par l'exercice 1.3 ->
p = 9 ; 5 ; 3 ; 2 et -7 ; -3 ; -1 et 0 conviennent
------------------------------------
Exercice 2

2)
a = (2/3)^5
b = (2/3)^2

(a/b) = (2/3)^(5-2) = (2/3)³ = 8/27 qui est rationnel.
-----
3)
x^5 = q  avec q un nombre rationnel
x^2 = s  avec q un nombre rationnel
x^4 = s²

x^5/x^4 = q/s²
x = q/s²

Mais q = u/t avec u et t des entiers puisque q est rationnel.
et s = v/w  avec v et w des entiers puisque q est rationnel.

->  
x = (u/t)/(v²/w²)
x = u.w²/tv²

u et w étant des entiers -> uw² est un entier.
t et v étant des entiers -> tv² est un entier.

Et donc x est le rapport de 2 nombres entiers, x est donc rationnel.
------
4)
supposons x^6 = 1/8 et x^4 = 1/4
x^6 et x^4 sont des nombres rationnels

x^6/x^4 = x² = (1/8)/(1/4) = 1/2
x² = 1/2
x = +/- 1/V2   (V pour racine carrée)
et donc x est irrationnel.

On ne peut donc pas dire que si x^6 et x^4 sont rationnels, x est rationnel.
----------
Sauf distraction.