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2 questions embêtantes avec une approximation de la racine (2)
Bonjour à tous !
Bon, je vais vous montrer une partie de mon sujet et vous dire ce que
je n'ai pas compris, en esperant que vous pourriez m'aider
B) n et m, deux nombres entiers naturels non nuls tels que
n² = 2m² +1
a) Justifier que (n/m) - (1/m) < racine(2) < (n/m)
en déduire que l'erreur commise quand on remplace racine(2)
par (n/m) est inférieur à (1/m)
b) démontrer alors que (n +2m) / (n+m) est une valeur approchée par
défaut de racine(2) avec une erreur inférieure à
(1) / (n+m)
c) en déduire que (3n +4m) / (2n +3m) est une valeur rapprochée par
excès de racine(2) avec une précision inférieur à
(1) / (2n +3m)
Je vais vous montrer ci-dessous , les questions precédentes qui sont
cencées nous guider =P
A)
a) soit x un nbre reel " >1 "
prouver que (x-1)² < x² -1
b) soit a et b, 2 nbres reel " >0 " et vérifiant l'égalité
a² = 2b² +1
montrer que : (a-1)/b < racine(2) < (a/b)
(on utilisera a) )
c) soit x un nbre reel " >0 "
prouver que x² +1 < (x + 1)²
d) soit a et b, 2 nbres reel " >0" tel que a² = 2b² -1
démontrer que : (a/b) < racine(2) < (a+1)/(b)
(on utilisera c) )
e) soit a et b , 2 nbres reels strictement positif (" >0 ") tel
que
a² = 2b² +1 .
Prouver que les reels u=a +2b et v= a + b vérifient
u² = 2v² -1
f) soit a et b , 2 nbres reels strictement positif (" >0 ") tel
que
a² = 2b² -1 .
Montrer que les reels u=a +2b et v= a + b vérifient
u² = 2v² +1
bon voila le "méchant" enoncé
j'ai reussi toute la partie A) , (elle ne m'a posée aucun probleme)
et la B) a)
Mais je n'arrive pas du tout la question B) b) et B) c) !
je crois qu'il faut surtout se servir de la question
A)e et A)f
et jai aussi trouvé qu'a chaque fois, on transforme n -> n + 2m
et m -> n + m pour trouver lapproximation suivante (n --> u et
m --> v)
Mais bon je n'en suis pas certain 
Si vous pourriez m'aider pour cest deux questions , ce serait vraiment
super
Merci d'avance!
B) n² = 2m² +1 n et m sont des entiers non nuls
a) Justifier que (n/m) - (1/m) < racine(2) < (n/m)
en déduire que l'erreur commise quand on remplace racine(2)
par (n/m) est inférieur à (1/m)
Montrons (n/m) - (1/m) < 
2
n² = 2m² +1 <=> n² < 2m² +2m2 +1
<=> n² < (m2+1)²
<=> n < m2+1
<=> n - 1 < m2
<=> n/m - 1/m < 2
Puis Montrons 2 < (n/m)
n² = 2m² +1 <=> n² > 2m²
<=> n² > 2m²
<=> n > m2
<=> n/m > 2
On a montré : (n/m) - (1/m) < 2 < (n/m)
soit -(n/m) + (1/m) > - 2
<=> (1/m) > (n/m) -2
si on remplace (n/m) par 2 dans l'inéquation on
constate bien l'erreur commise est inférieur à (1/m) (ayant
des difficultés à saisir l'énoncé je suppose simplement que
ceci offre une réponse convenable?!)
Voilà pour un début... je dois y aller...
au mieux la suite plus tard!
à plus
Guille64
Merci de ton aide
mais jai deja reussi la question
cest le B) b et B)c que je n'arrive pas.
je suis daccord avec ce que tu as ecrit et a 2 on pourra surement arriver
les deux questions qui me gênent.
Dis moi quand tu seras de retour
suis de retour...
mais c pas gagné pour autant!!!
autant pour moi... bien vu pour ttes les questions que tu as résolues!!
par contre je ne v pas pouvoir rester très lgtps ce soir, et... je crois
que ton exo mérite de s'apesantir (??? je m'incline...
ca m'a pas l'air immédiat comme solution!)
Essaie d'attraper Océane, J-P ou notamment Guillaume (en post-bac qui
a l'air bien calé) je pense que ca vaut le coup! (au pire mail!)
à bientôt
Guille64
Merci beaucoup d'avoir essayé de résoudre cet exercice.
Je continue à chercher et si Océane, J-P ou Guillaume trouvent des indices,
cela sera toujours utile
@bientôt
(je serai de retour demain )
Désolé de poster une deuxième fois ma question
mais je sèche toujours!
Bonjour Johan,
B) b)
En posant u=n+2m et v=n+m, d'après Ae), on a u²=2v²-1
d'après la question Ad);
u/v < V2 < u/v + 1/v
soit
(n+2m)/(n+m) < V2 < (n+2m)/(n+m) + 1/(n+m)
et on en déduit la réponse à la question.
B) c)
On pose u'=u+2v=n+2m+2n+2m=3n+4m
v'=u+v=2n+3m
d'après la question A)f)
u'²=2v'²+1
donc d'après la question A)b)
u'/v'-1/v' < V(2) < u'/v'
soit
(3n+4m)/(2n+3m) < V2 < (3n+4m)/(2n+3m) + 1/(2n+3m)
et on en déduit la réponse à la question.
@+
Merci merci beaucoup de ta réponse !
de plus, j'aurais jamais pensé à poser u' et v'
encore merci Victor
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