Bonjour Sephdar

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La piste est de calculer tan(a+b)

Bonjour! ou bonsoir !
je pense que l'angle vaut /2 = 90°

Salut,

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Voilà ce que je propose:

tan(a)=1/3 , tan(b)=1/2 tan(c)=1,

Ainsi:



                                                      

                                                      

J'espère que je n'ai pas fait d'erreurs de calculs ?

Bonjour sephdar

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Je pense que tous les segments sont égaux
Donc a+b+c=atang(1/3)+atang(1/2)+atang(1) = /4

bien sûr

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/2

Juste pour le petit côté historique, je trouve que ce problème rappelle beaucoup le mésolabe d'Ératosthène qu'il utilisait afin de procéder à la duplication du cube . Il me semble d'ailleurs que c'est le premier instrument mathématique connu.

Bonjour (pardon)

bonjour à tous,

bravo pour vos réponses
vous avez tous choisi une démonstration trigonométrique

sauriez-vous trouver une démonstration sans la trigo ?

oui avec les produit scalaire et les projeter orthogonaux  je pense ...

bonjour tissadu69, pense à "blanquer" quand tu proposeras une démo

personnellement je pensais à une démonstration plus basique... explicable à un collégien (4e-3e)

Je ne proposerai pas de demo, je viens tout juste d'abordé cette notion j'ai juste voulue donné un idée au autres ... (ça serai peut être possible si on munit le tout d'un repere orthonormé ? je lance le défi au plus audacieux !)
voila pourquoi rien n'est "Blanquer" (sauf le premier poste au je pensai que ça se faisait automatiquement )

Bonsoir.

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J'ai en effet trouvé une démonstration par les coordonnées.
Soit P l'origine et Q le point de coordonnées (1;0).
On construit le carré PQRS au-dessus de l'axe horizontal.
On prolonge [QR] par [RO] de même longueur : O est en (1;2).
L'angle QOP est l'angle de tangente 1/2 (b dans la figure de l'énoncé).
On prolonge [OP] par [PT] de même longueur : T est en  (-1;-2).
On prolonge [OS] par [SU] deux fois plus long : U est en (-2;-1).
Les vecteurs tu et qs sont égaux à (-1;1).
Donc TU = QS = OS = diagonale du carré de côté 1 = OU/3.
L'angle UOT est l'angle de tangente 1/3 (c dans la figure de l'énoncé).
Angle UOT + angle QOP = angle SOR = 45°.
b+c = 45°
Comme a° = 45°, a+b+c = 90°.

Il doit y avoir plus simple.

bonjour

> plumemeteore,

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bravo, l'idée est effectivement celle-là :
disposer autrement les angles a et b pour pouvoir déterminer leur somme géométriquement.
ta proposition correspond à cette disposition


je pourrais proposer ta solution en 3ème (l'élève doit connaître la notion de tangente pour repérer que l'angle "a" dessiné ici a bien la même valeur que sur la figure de base)

pour les 4èmes, j'ai une autre disposition que je posterai plus tard, j'attends d'autres propositions

> plumemeteore,

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on a même directement a+b+c

Bonjour,

voici une autre solution géométrique

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bonjour

> castoriginal

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oui c'est bien cette disposition que je pourrais proposer en 4ème
seul Pythagore et sa réciproque sont utiles

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dans le 3ème carré (CDEF), il est rapide de repérer que l'angle c mesure 45°

reste à prouver que a + b = 45°
l'astuce consiste à reproduire l'angle b adjacent à l'angle a



Pythagore dans AKC, KEF et ADE,  nous donne : AK = KE = 5 et AE = 10

AK = KE --> le triangle AKE est isocèle en E
réciproque de Pythagore --> AKE est un triangle rectangle en K

conclusion : l'angle KAE = 45° --> a + b = 45°

d'où a + b + c = 90°

_{la démonstration est abordable en 4ème}

Bonjour Castoriginal.
Dans ta figure, il n'est pas évident que soit droit l'angle formé par la juxtaposition des angles a, b et c.

Bonsoir,

>>>plumemétéore

oui tu as raison, il manquait quelque chose qui devient explicite sur l'image suivante

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comme on a construit le carré sur AC qui donne l'angle CAB' = c , si on joint B et C, on a AC =BC= B'C ( diagonale de l'association de deux petits carrés)donc B' est l'image de B par rapport à AC et les angles AB'C et ACB sont égaux. Dans le triangle ABC rectangle en C on a bien sûr a+b = c donc  a+b+c = /2