Bonjour,
Il y a 3 couleurs alternées (jamais la même couleur a coté et en diagonale ?

Bonjour Dpi

Les couleurs sont alternées sur chaque ligne horizontale ou verticale ou sur les parallèles à la deuxième bissectrice mais la couleur est constante sur les parallèles à la première ( ce qui est une piste pour le calcul ) .

Imod

Bonjour,
Cela semble fastidieux..
J'ai fait un test avec des rectangles de 2 à 11
On peut essayer de voir une logique pour le total...mais

Je ne pense pas que ce soit si laborieux que ça . Si on oublie les couleurs il est très facile de compter les points à l'intérieur et à la frontière du rectangle . Après il y a le problème de la diagonale mais c'est juste un PGCD , j'aurais dû orienter mon dessin différemment :

Il reste bien sûr à trier les couleurs

Imod

Pour le nombre total cela dépend de la parité mais on a quelque chose comme
(a+1)(b+1)/2 ;c'est ben la diagonale qui est la clé...
Je pense que tu devrais avoir rapidement des clients

Oui c'est ça :

A la frontière : a+b+PGCD(a,b) points .

A l'intérieur  : [(a-1)(b-1)-PGCD(a,b)+1]/2 points .

Imod

Il manque un +1 pour la frontière : a +b + PGCD ( a , b ) +1  

Imod

En fait non

@dpi
Je compte un vert de plus sur le périmètre de 9x11

@Imod

Si on change le sens du triangle, on change le résultat.
Gardons le triangle initial OAB avec O=(0;0), A=(a;0) et B=(0;b).

La couleur d'un point (x;y) est donnée par (x-y)%3 avec rouge = 0, bleu = 1 et vert = 2.

Les points sur le périmètre sont les points (k; 0) 0k<a, (0;k) 0<k<b et (a-k*a/d;k*b/d) 0kd avec d = PGCD(a,b)

Les points dans le triangle sont les points (x;y) tel que 0 x, 0y et x/a+y/b 1

Il y a donc a+b+PGCD(a,b) points sur le périmètre.
En duplicant le triangle on a un rectangle où la diagonale est comptée deux fois. nombre de points dans le triangle est donc [(a+1)(b+1)+PGCD(a,b)+1]/2
Note: je compte les points sur la bordure comme à l'intérieur. Sinon on a [(a-1)(b-1)-PGCD(a,b)+1]/2 points.

Les deux formules de Imod le 15-06-21 à 12:36 me semblent correctes.

Merci LittleFox , j'étais arrivé au même résultat

Avec l'âge , je suis de plus en plus surpris de voir à quel point ces problèmes de coloriage niveau maternelle peuvent être complexes .

Je récupère mes grilles de travail sur des sites d'école primaire

Imod

Petit tool pour tests :

J'obtiens les formules suivantes pour le nombre de points dans un triangle de dimensions axb (périmètre compris):

Jolies formules LittleFox

On aimerait quelque chose de plus fermé sans sommation ne dépendant que de a , b , leur PGCD et leurs restes modulo 3 .

Mais non je ne suis pas exigeant  

Imod

  

Bravo
J'ai bien aimé le tool

@Imod
J'aurais bien aimé aussi

@dpi
Merci

@LittleFox

Je ne suis pas aussi pessimiste que toi , en se plaçant dans le rectangle complet il est facile de compter les points de chaque couleur à la frontière , à l'intérieur et sur la diagonale .  Bien sûr ces nombres dépendent du reste modulo 3 de a et b ( il y a symétrie avec le deuxième coloriage ) . Le nombre de points de la diagonale ne dépend que du PGCD de a et b et il y a encore une certaine symétrie des couleurs par rapport à cette diagonale .  Après il faut regarder les différents cas de a et b modulo 3 .

Personnellement je laisse reposer car j'ai d'autres problèmes sur le feu en ce moment mais j'y reviendrais certainement

Merci pour ta participation

Imod