Salut !

Je crois que j'ai trouvé les réponses au moins pour les premières
questions de ton exo.

* En fait pour la première tu as fait une petite erreur : e^(1/3) est
une constante, il ne faut donc pas le mettre dans l'expresion
de la dérivée, mais sinon le reste est juste.
On a donc f'(x) = (2 + 2e^(-x))(-e^(-x))

* On peut écrire f d'une autre manière ici :
f(x) = (e^-1)*((e^x)/(e^x +1))
  On reconnait une fonction du type f(x) = a*(u'/u) avec a =
e^-1 et u(x) = e^x +1
Si on cherche une primitive F de f, on peut écrire par exemple que :
F(x) = (e^-1)* ln (e^x +1)

* Pour la dernière, je trouve la même chose que toi pour la dérivée,
mais je n'arrive pas à résoudre d'inéquations pour trouver
le signe de la dérivée. Mais on peut émettre la conjecture suivante
avec une calculatrice : elle est positive sauf sur [0;1] et elle
est nulle en 0 et 1.

Pour les calculs il suffit de remplacer, on trouve 24 dans les deux cas
parce que e^(lnx) = x
Dis-moi s'il faut que je détaille.

La dérivée est fausse pour la deuxième c'est f'(x)=e(2x)-4e(x)+3
Soit E : e(2x)-4e(x)+3=0
posons e(x)= X, on a X²-4X+3=0.
                                    X=1 ou X=3

            E > 0    équivaut à   X  appartient à )-inf 1( U ) 3
  + inf(
                        Tu rempaces et tu as
  f'(x)>0 équivaut à     x<0   ou x> ln 3

f est donc strictement croissante sur )-inf 0( U) ln3  + inf( .
a+