Bonjour,

Longue période sans géométrie....

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Je tente:

On part d'un cercle rouge de centre  O1 et de rayon  R
d'un point quelconque de ce cercle on trace un deuxième cercle tangent au premier
avec son  centre O2 .
Par le point de tangence on trace un cercle de rayon  2 R  
On trace un troisième  cercle de rayon R tangent soit  au premier soit au deuxième puis
un quatrième tangent   à l'autre (deuxième ou premier )
On voit que ce troisième et ce quatrième ne sont  pas tangents entre eux alors
que leur point de tangence devrait se situer sur le cercle  de rayon 2R.
Par manoeuvres successives (faute de mieux) on  réajuste pour aboutir.
On trace un cinquième cercle de rayon passant par les 4 points de tangence.

Le centre de ce cercle est aussi le centre du cercle bleu  de rayon 1+2

Bonjour dpi ;

"par manoeuvres successives"
ceci est totalement interdit dans toutes les constructions quelles qu'elles soient ... !

de plus pour tous tes tracés tu dois écrire précisément comment tu les fais :

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on trace un deuxième cercle tangent au premier
avec son centre O2 . ???

... de rayon 2R ???

... avec uniquement un compas et rien d'autre et sans "ajuster au pif" ??
et comment tu multiplies le rayon par 2 ??

illustration et petit coup de pouce pour ceux non habitués aux constructions au compas seul

étant donné le cercle bleu (c) de centre O
soit à construire le point B diamétralement opposé au point A quelconque de (c)



cercle (A, O) (de centre A passant par O)
il coupe (c) en M et N
cercle (M, N), re coupe (c) en B cherché. _{*** edit : cercle (N, M) d'après la figure , mais ça revient au même ***}

une telle construction explicite avec ces 2 cercles intermédiaires successifs est incontournable (ou quelques autres variantes) pour construire B connaissant (c) et A

bonsoir

en tout état de cause la construction de ces cercles ne pose pas de problème avec règle et compas... et un théorème énonce le fait que tout ce qui est possible à la règle et au compas est possible au compas seul (il me semble).

En moins économique, pour la construction du point diamétralement opposé on peut aussi faire 3 reports de rayon sur la circonférence (pour ceux pas qui ne sont pas familiarisés avec la chose)

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Pour le problème posé, je n'ai toujours pas trouvé, mais il me semble qu'il faut réussir à construire l'image d'un point A de la circonférence par l'homothétie de centre O (centre du cercle donné ) de rapport 2-2

c'est ce que je disais " (ou quelques autres variantes) "
d'ailleurs celle que je proposais n'est pas dans le livre de Mascheroni "la géométrie du compas" qui ne donne que la tienne. (= un cercle de plus)
enfin ce n'est pas vraiment la mienne, elle m'avait été soufflée sur un forum voisin il y a belle lurette

Pour les calculs préliminaires :

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les homothéties ne sont pas la tasse de thé des constructions au compas
c'est plutôt les inversions et toujours le bon vieux Pythagore
ici foin d'homothétie, c'est juste avec comme unité le rayon du cercle donné
(vu que c'est la seule et unique distance fournie au départ)

on calcule facilement avec Pythagore



au cas où TB servirait ..
il ne faut pas s'arrêter à l'apparente complexité de cette valeur
en tout cas on peut s'en passer
bien entendu

Bonjour,

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J'utilise le coup de pouce pour bien définir les 4 cercles rouges
Soit le premier cercle rouge (O1,r)
Par un point  A je  trace un cercle  de rayon r qui coupe le premier en MN.
Je trace un cercle de centre  N et de rayon NM  qui coupe  le cercle(A,r) en O2 et
le cercle (O1,r) en B.  On note que B,O1,A,O2 sont alignés.
Je trace le cercle (O2,r)  qui coupe le cercle (A,r) en Pet Q  et je trace un cercle  de centre P et de rayon PQ qui coupe  le cercle (O2,r) en C aligné avec les 4 déjà signalés.
Je construis de même un point D  symétrique de O1 par rapport à B
Je dispose donc de 6 points alignés (D,B,O1,A,O2,C )  me permettant  de tracer
des arcs de rayons  4 , 5 pour  obtenir   F et G.
Enfin  avec des arcs de  2  on trace  O3 et O4  et leur cercle respectif de  rayon r;
et avec deux arcs de r à partir  des points de tangence on trouve le centre du cercle Bleu.

Nota : les pointillés ne sont là que pour suivre.......

????? bel effort ... mais :

ce que l'on donne c'est le grand cercle et son centre



et ce que l'on veut construire c'est les cercles rouges à l'intérieur



partir d'un cercle rouge pour construire les 3 autres et le grand cercle est un autre problème.

que tu as "presque" résolu. quelques erreurs de logique rendant ta construction illusoire :

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Enfin avec des arcs de 2 on trace O₃ et O₄
comme point de tangence de deux cercles ?
ça ne marche pas, on ne peut construire que des points d'intersections (franche)

à partir des points de tangence ??
le seul et unique point de tangence qu'on connait c'est ton point A !

Suite,

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Mon bel effort m'aura au moins servi à trouver 6 points alignés et équidistants de R donnant 3 ou 4 ou 5 segments permettant avec  Pythagore de trouver les 4 points  ABCD de tangence des cercles rouges sur le cercle bleu de centre O
Leur rayon  sera r= R(2-1)
On constate  que AD =BD =BC +AC= R2   on  trace
un arc centré sur A de rayon AD  qui coupe la "droite " des 6 points en P on a  OP=r qui permet de finir

"les 4 points ABCD de tangence des cercles rouges sur le cercle bleu"
absolument pas.

en fait tu n'as nulle part dans ta figure quelque distance que ce soit qui serait serait
tu as, parce que c'est ton point de départ, r
et si on veut et bien de on tire et on n'est pas plus avancé

le problème est bien là !!
comment construire des distances en "machin " ?

dpi:
là où tu en es sur ce problème inverse (figure refaite)

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_{(D n'est pas construit "de la même façon" mais plus simplement comme intersection des arcs de cercles de centres M et N passant par C : symétrique de C par rapport à la droite (MN))}

les 3ème et 4ème cercles rouges ne sont pas encore tracés, ni le centre O₅ du cercle bleu final, ni un de ses points de contact T₁ ou quoi que ce soit qui serait égal à son rayon.

le centre O₃ du 3ème cercle ne peut pas se construire "par des arcs de 2r" : ces arcs sont tangents (en vert) et le point de contact n'est pas une intersection franche construite. donc flou.

on pourrait s'en sortir si tu savais construire au compas seul le milieu d'un segment (le milieu de O₂F)
mais ceci est déja un problème entier en soi !
(et O₅ comme milieu de O₁O₃)

reste de toute façon le point de contact T₁ ou le rayon R cherché , avec ce toujours hors de portée
là aussi une fois O₃ construit ,
mais encore un autre problème ! comment ajouter / retrancher des longueurs au compas seul ?
(c'est encore plus difficile que construire un milieu ...)

Je ne comprends pas :

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On est bien d'accord qu'avec  la construction des symétriques on obtient bien
les  points  O A B F G E   ce qui permet de tracer autant d'arc de longueur KR
On trace un arc  Ox=4R  et un arc Gz =5R   Il se croisent en Q   de  Q  on trace un arc de
longueur 3R il tangente le cercle  (O,R) en C  
On fait symétriquement la même chose pour avoir  D

Les points ABCD  sont  bien les points de tangence des futurs cercles rouges de rayon r
et on a une vrai valeur de  R2  avec AD par exemple.

On verra plus tard pour le cas inverse

Voici une solution n'utilisant que le compas :

L'idée est:
- Calculer via
- Calculer et via
- Calculer via
- Tracer le cercle c1 de rayon de même centre que le cercle donné
- Placer un point A sur c1 (le premier centre de nos 4 petits cercles)
- Tracer le cercle c2 de rayon et de centre A
- Placer les points B et D à l'intersection de c1 et c2.
- Tracer le cercle c3 de rayon et de centre B.
- Placer le point C à l'intersection libre de c1 et c3.
- Tracer 4 cercles de rayon et de centres A, B, C et D

Ce n'était pas simple et je suis sûr qu'il existe une solution plus directe.

déja c'est ce "il tangente" qui est rejeté

un point de contact de deux cercles tangents n'est pas une intersection (franche)
!!!
il est mal défini

que ce soit dans ta construction précédente du grand cercle à partir d'un petit
ou dans cette nouvelle construction différente (noms de points tous renommés on ne s'y retrouve plus) de construire les petits à partir du grand

Trop fort pour moi.........

Bonjour LittleFox
bravo.

"je suis sûr qu'il existe une solution plus directe."
oh que oui !!!
revenir à chaque fois à "une construction précédemment vue dans un théorème" n'est pas un bon plan pour l'économie de moyens !

en partant du cercle de départ donné
10 (arcs de) cercles seulement pour la construction, pas un de plus
seulement 5 points "auxiliaires" (autres que les centres et points de contacts finaux cherchés)
+ les 4 cercles finaux cherchés

bonjour,

je vais finalement donner cette solution "économique", plus simple que celle de LittleFox
(j'ai même un point de moins que ce que j'avais dit)

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suivre l'ordre des flèches numérotées et des cercles numérotés (centre; point), de préférence, ou à défaut (centre ; rayon)
les cercles de même rayon sont de même couleur



les preuves sont à la charge du lecteur

joli

la partie délicate de la preuve est de prouver que IH (points de ma figure) est bien égal à IB cherché

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déja dit que c'était

mais le calcul de ça est un peu inutile (et lourdingue) :
par un raisonnement purement géométrique ...


numéros de cercles et noms de points identiques à la figure précédente pour cet extrait de la construction
(bien sûr les droites ne sont là que pour la preuve, on ne les trace pas ... )

sans utiliser ce "raccourci" via le point H, on peut toujours construire par la méthode classique le symétrique B de P par rapport à J
(point diamétralement opposé à P sur (c₅), même méthode que pour construire X au départ)
ce qui rajoute un ou deux cercles supplémentaires mais évite de se creuser la cervelle.

Bravo !
J'étais bien loin de tout ça.

pour quelqu'un non habitué tu t'en sortais pas mal
l'idée de construire l'angle droit par le "fameux" 3² + 4² = 5² est intéressante
mais ensuite ... on est un peu coincé
soit on sait construire un milieu (c'est assez compliqué et pas intuitif du tout)

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une construction possible, parmi d'autres

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Pythagore

J'ai été me compliquer la vie à essayer de faire l'intersection entre un diamètre et ce 2 au lieu de reconnaître que |JP| était la longueur don't j'avais besoin.

Merci,

J'aime bien  la figure au compas  pour 2

Bonsoir,

oui, on gagne un cercle mais on perd en précision sur l'intersection de (D, A) et (E, A) qui est moins "franche" l'angle d'intersection = l'angle ADM = 29° au lieu de mes 51°

Ce n'est pas les seules constructions du milieu. Mascheroni en donne un bon paquet.
(et sans jamais parler d'inversion d'ailleurs ... uniquement des histoires de triangles semblables)

Bonjour,
Finalement je n'ai pas voulu lâcher l'affaire...

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1/Détermination des points de tangence ABCD
A puis B par 3 arcs R
C et D par méthode R3-->R2
(merci mathafou mais il faut lire -et non + )

2/Détermination des centre des cercles rouges de rayon r par la méthode vham

c'est bien "plus"

et comme on veut ça donne "moins", oui

ta figure est peu compréhensible ... (cercle vert ? cercles pointillés bleus ?) et très imprécise :
utiliser un véritable logiciel de construction et pas un logiciel de dessin !
et l'utiliser pour faire des constructions et pas du dessin.

Une fois de plus cher mathafou, pense au tableau noir (et il fallait bien y arriver)

une remarque sur le fond :

Bonjour,

Désolé d'avoir perturbé. Je commentais uniquement un aparté de mathafou
Que je commente encore un peu :
Pour la précision maximale sur le point M on place sur c1 le point E' dimétralement opposé á E et on reporte en A la longueur E'D.
Aussi : Après Mascheroni on a utilisé l'inversion qui rend simple et sans calcul la démonstration du tracé, compas seul, du milieu entre 2 points et du centre perdu d'un cercle. On utilise
Théorème : dans une inversion d'une droite (d) le symétrique du centre d'inversion par rapport à (d) est le centre du cercle inverse de (d)

Omission : ...est l'inverse du centre du cercle inverse de (d)

Ok
Fin pour moi

Salut

Pourriez m'expliquer comment vous y arrivez avec le compas seul ?

Bonjour matheux14
tu sembles ne pas avoir compris les règles du jeu d'une construction

comme je le disais dès le début :
faire une figure  ne pose rigoureusement aucun problème à la règle et au compas
(et encore moins une figure approchée au double décimètre avec des valeurs "2.2"...
ou avec Geogebra et des "sqrt(2)" dans les commandes )

La question portait sur la construction avec uniquement un compas et c'est tout. aucune règle ni équerre etc
Une figure toute faite n'apporte rien, c'est le protocole de construction qui importe, donc tous les traits intermédiaires de cette construction, avec leur définition ("cercle de tel centre passant par tel point etc)

Si on la fait avec Geogebra ou un logiciel du même genre on n'a le droit d'utiliser uniquement qu'un seul outil : les tracés (d'arcs) de cercles et leurs intersections :



l'outil "Point" définit automatiquement une intersection si on est au voisinage immédiat de l'intersection de deux objets, l'outil explicite "Intersection" est donc en général inutile

RIEN d'autre. pas de commandes avec des valeurs ou des calculs, pas de rotations , de translations, de symétries, de centres ni de milieu de segment ni de droites RIEN que des (arcs de) cercles. et des points
c'est çà les règles du jeu. le but recherché, pas la figure finale.

sinon, avec règle et compas la construction de cette figure est au plus simple
par exemple :



on complète le carré OTVU et le symétrique S de O par rapport à T
le cercle de centre S passant par U coupe [OT] en le centre A du premier cercle cherché
Les autres s'obtiennent par symétrie.

avec le compas seul c'est dans les blanks précédents.
en particulier ;
le 10-03-2021 à 11:55

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une fois construit P, il suffit de construire B comme diamétralement opposé à P sur le cercle c₅ (J; P)



le cercle (P; J) coupe c₅ en U et V
le cercle (V; U) coupe c₅ en B cherché.
la suite est pareille avec les cercles de centres I, X, J, Y mais de rayon IB au lieu de IH

** lire 5 et 6 sur les flèches orange de ma dernière figure au lieu de 4 et 5
(4 est la construction de J)

C'est un peu à côté mais je le poste quand même..

Protocole ???

déjà dit et je répète :
au minimum sur la figure doivent obligatoirement figurer explicitement dans quel ordre, quel centre et quel point / rayon pour chacun des cercles tracés.
à défaut de le dire explicitement en texte

sinon c'est du pipeau.

et puis ta figure est visiblement fausse.
on ne demande pas un truc approximatif au pifomètre en faisant semblant de tracer des cercles en plus dont on prétend qu'ils ont servi à construire la figure, alors que ce n'est visiblement pas le cas parce que on a placé des points arbitraires au pifomètre que l'on "ajuste" jusqu'à ce que ça semble à peu près coller !

"ajuster jusqu'à ce que" n'a jamais été une construction de quoi que ce soit.

J'ai rendu quelques cercles invisibles ..

ça ne change rien du tout à ce que j'ai dit. (ça l'aggrave même)

Pour préciser :
on voit que visiblement sur ta figure il y a des points qui n'ont rigoureusement rien à y faire (J, N, P) et ce n'est pas en cachant des objets que ça peut s'arranger !
montrant à l'évidence qu'il ne s'agit pas d'une construction mais d'un dessin
de plus si on place une règle sur cette figure on voit que les points W, V, S, U, T qui devraient être alignés ne le sont pas.

Pourquoi cela ? quelle différence entre un "dessin" et une "construction" ?
tout vient au départ d'une mauvaise utilisation de Geogebra et de l'incompréhension de ce que l'on fait avec.

au départ on a donc un cercle de centre O et passant par un point A

seuls et uniquement ces deux points là sont des "objets libres"
libre d'être déplacé sans que les propriétés de la figure changent , les cercles qui se coupent, sont tangents , les points de concours de plusieurs objets, les alignements,rapports de distance etc etc tout ça est inchangé.
la seule différence étant un changement de taille et d'orientation de la même figure exactement.

on peut donc vérifier ça en déplaçant O et/ou A totalement à volonté sans rien changer d'autre et en vérifiant que "ça marche toujours".
que l'on n'est pas obligé "d'ajuster" quoi que ce soit d'autre.
si la figure change de propriétés et qu'il faut "ajuster" quelque chose cela prouve que ce n'est pas une "construction" mais un simple dessin qui fait illusion

illustration sur la première étape de la construction :
il s'agit de construire le point M, intersection du cercle donné (c) avec le cercle c₁ de centre A passant par O

dessin faisant illusion , sans aucune utilité et faux :


c₁ est bien de centre A mais il a été défini comme passant par un point libre X et ajusté pour que à l'oeil il semble passer par O.
si je déplace A sans rien changer d'autre (sans changer le point X qui n'a rien à faire dans cette histoire) il ne passera plus par O !
je serais obligé de "bidouiller" en déplaçant aussi le point X jusqu'à ce que cela semble bon
ce n'est PAS une construction de ce cercle ! juste un dessin qui fait illusion.
pareil pour M qui est ici un point libre que l'on a ajusté pour qu'il semble être l'intersection des deux cercles
si je déplace A, même en bidouillant X, M restera à sa place et ce ne sera pas l'intersection des deux cercles, donc faux. c'est un dessin faisant illusion.

ceci se voit dans les définitions des objets qu'il vaut bien mieux afficher que leurs valeurs, bien inutiles.
et vérifier, au cas où il aurait pris la fantaisie à Geogebra, suite à un clic intempestif ou mal placé, de ne pas comprendre que le cercle devait passer par O et pas un autre point crée à notre insu, aussi proche fût il de O et que l'on veut l'intersection et pas un point autre, aussi proche fût il de l'intersection.

correcte est :



bien que l'aspect  de l'image soit le même, les définitions des objets n'ont rien à voir avec la fausse figure !

et TOUT depuis le début jusqu'à la fin de la construction doit être comme ça.
en particulier faire bien attention à ce que fait Geogebra quand il crée des points "automatiquement"

l'outil "point" est un outil sensible au contexte
si on l'utilise "en plein vide" il crée un point libre (proscrits ici)
si on le fait au voisinage immédiat d'un objet existant et que on attend un instant avant de cliquer, que Geogebra ait le temps de détecter qu'on est au voisinage de cet objet, il crée un "point sur objet"
si on le fait au voisinage d'une intersection et qu'on attend avant de cliquer qu'il ait détecté tous les objets au voisinage, il crée une intersection.

et c'est pareil pour les cercles : les points de la définition suivent le même fonctionnement ;
point libre créé maintenant (ici proscrit), ou bien point créé maintenant "sur objet" (libre dessus) ici proscrit aussi ou bien point déja créé (oui !!) , ou bien intersection créée maintenant (risqué si on rate)

on peut lever les ambiguïtés (et pas mal de risques de fausses déclarations) en utilisant l'outil intersection à la place de l'outil "Point" que l'on n'utilisera même pas du tout !

voire en tapant des définitions en ligne de commande :
en tapant c_1 = Cercle[A, O] dans la zone de saisie (en bas de l'écran sur un Geogebra natif installé sur PC)
la commande de l'outil "compas" est plus compliquée :
c_2 = cercle[M,Distance[M, N]]



toutes ces explications parce que certains ici ne semblent pas comprendre ce que veut dire "construire" par rapport à "dessiner"...
et utilisent Geogebra de travers, comme simple outil de dessin , une sorte de Paint amélioré, alors que c'est infiniment plus que cela !
ce que je viens de dire est les bases des bases des bases de Geogebra, à savoir obligatoirement utiliser toujours. (si on utilise Geogebra bien entendu .. mais c'est pareil avec d'autres logiciels de géométrie.)
et pas seulement dans ce "divertissement" mais aussi lors d'exercices scolaires.