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4) comparaison
Salut, j'ai 1 exo en DM que j'ariive vraiment pas, si kk1
puvait m'aider, alors voila le sujet:soit a et b tels que a>0;
b>0 et a différent de b.comparer (a/b+b/a) et 2comparer 1/(a+b) et
(1/a+1/b)comparer racine carrée de (a+b) et racine de a + racine
de bon suppose de plus que a+b=1; montrer que ab>ou égal à 1/4et
montrer que a²+b²>ou égal à 1/2voila si une généreuse personne pouvait
m'aider, même pour rien qu'une seule question, j'lui
en serait très reconnaissant!!merci
comparer (a/b+b/a) et 2
(a/b+b/a) - 2 = [(a²+b²)/(ab)] - 2 = (a²+b²-2ab)/(ab)
= (a-b)²/(ab)
(a-b)² > 0 à cause du carré et ab > 0 puisque a et b sont > 0 ->
(a/b+b/a) - 2 > 0
(a/b+b/a) > 2
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comparer 1/(a+b) et (1/a+1/b)
1/(a+b) - (1/a+1/b) = 1/(a+b) - (b + a)/(ab)
= (ab - (b+a)²)/[ab.(a+b)]
= (ab - b² - a² - 2ab)/[ab.(a+b)]
= -(b² + a² + ab)/[ab.(a+b)]
Comme a et b > 0, on a (b² + a² + ab) > 0 et [ab.(a+b)]> 0 ->
1/(a+b) - (1/a+1/b) < 0
1/(a+b) < (1/a+1/b)
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comparer V(a+b) et [V(a) + V(b)]
[V(a+b)]² = a + b
[V(a) + V(b)]² = a + b + V(ab)
comme V(ab) > 0, on a :
[V(a+b)]² < [V(a) + V(b)]²
V(a+b) < V(a) + V(b)
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Si a + b = 1
Montrer que ab>=1/4 (c'est faux)
a + b = 1
(a+b)² = 1²
(a+b)² = 1
a² + b² + 2ab = 1
a² + b² = 1 - 2ab (1)
(a-b)² > 0 (à cause du carré)
a² + b² - 2ab > 0
avec (1) ->
1 - 2ab - 2ab > 0
-4ab > -1
4ab < 1
ab < 1/4 (Et encore une faute d'énoncé, tu as écrit le contraire).
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Si a + b = 1
Montrer que a²+b²>= 1/2
a + b = 1
(a+b)² = 1²
a² + b² + 2ab = 1
a² + b² + 2ab = 1
2ab = 1 - a² - b² (1)
(a - b)² > 0
a² + b² - 2ab > 0 (2)
(1) dans (2) ->
a² + b² - 1 + a² + b² > 0
2(a²+b²) > 1
a² + b² > 1/2
Remarque le signe = n'y est pas car depuis le début, on a supposé que
a et b étaient différents.
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Sauf distraction.
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