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4 hommes
Voici une énigme que j'ai déja posté dans un autre site de
mathématique et qui me plait beaucoup:
4 hommes vont par 4 chemins rectilignes à des vitesses constantes.Aucu couple de chemins n'est constitué de chemins parallèles et aucun triplet de chemins n'est constitué de chemins concourantes .Le premier homme rencontre le deuxième,le troisième et le quatrième,le deuxième rencontre le troisième et le quatrième.
montrez que le troisième rencontre le quatrième.
Amusez vous 
Voici un shéma qui peut un peu aider.
bonjour
quand tu dis "rencontre" celà signifie qu'ils sont au même moment au point d'intersection de leur trajectoire ?
Ce n'est pas que les trajectoires qui sont concourantes ?
Philoux
Salut
J'ai dis qu'aucun triplet de chemins n'est constitués de chemins concourantes c.a.d qu'il n y a pas 3 chemin qui se coupent dans un même point.
Déja le terme concourant en mathématique ne peux être utilisé que lorsque n droites (avec n>2)se coupent dans le même point.
J'ajoute un petit détail c'est que le probléme doit être résolu quelque soit les sens des vitesses c.a.d qu'on doit pas faire la démonstration en se basant sur les sens représentés sur le schéma que j'ai posté.
je crois que tu n'as pas compris la question de Philoux, sans vouloir de vexer 
il te demande si on doit considérer que "rencontre" signifie que des deux hommes peuvent se voir et se croiser, ou si "rencontre" signifie simplement que le chemin suivi par un homme va croiser un chemin suivi par un autre.
dans le deuxième cas, la démonstration est immédiate, vu qu'aucun chemin n'est parallèle.
Alors à mon avis, Philoux, "rencontre" signifie que deux hommes peuvent être poi et se dire "bonjour"
Salut Muriel
Bah t'as raison "Se rencontrer" veux dire biensûre que 2 hommes arrivent au même moment au pt d'intersection de leurs chemins.
salut stokastik
Oui Tout à fait.
En réalité je n'est connue ce théoréme que lorsque j'ai posé la même question dans un autre forum mathématique lorsque quelqu'un m'a répondue
en utilisant ce théoréme, vue que je suis encore en classe terminale.
Le théorème de Menélaüs se démontre avec le théorème de Thalès. Peut-être qu'en résolvant le problème en utilisant Thalés, tu as, sans t'en rendre compte, démontré le théorème de Menélaüs.
C'est un magnifique exercice pour illustrer ce théorème. Je le mets dans mes favoris!
Il me semble que personne n'est interessé à cet énigme 
.
Dois-je poster la solution ou ce n'est même pas la peine de le faire??
Que nenni, masteroch
ton problème est très intéressant mais difficile
il faut sûrement beaucoup de temps/d'équations pour exploiter Thales dans tous ces triangles...
Si tu as la solution, elle m'intéresse bigrement...
Philoux
Salut Philoux voici ma solution:
Je note ta,tb,tc,td,te,et tf les instants dans lesquelles respectivement (h1;h2),(h1;h3),(h1;h4),(h2;h3)et(h2;h4)se rencontrent.Et je prendrai ta comme origine des temps (c.a.d ta=0).On note t3 et t4 les instants d'arriver respectives de h3 et h4 à F.pour montrer que h3 et h4 se rencontrent il suffit de demontrer que t3=t4.
on a v1=(xA-xB)/(tb-ta)=AB/tb ==> tb=AB/V1 (1)
(AB est une mesure algebrique j'ai pas mis la barree au dessus car ché pas comment et tout le reste sera des mesures algebriques aussi)
V1=AC/tc ==> tc=Ac/v1 (2)
de même v2= AD/td ==> td=AD/V2 (3)
V2=AE/te ==> te=AE/v2 (4)
V3 = BD/(td-tb) = BF/(t3-tb)
==> t3 = (BF . td/BD)-(BF .tb/BD)+tb
en remplaçant tb et td par leurs valeurs dans (1) et (3)et en appliquant la relation de Charle sur les mesures algebriques on obtient :
t3= BF.AD/(BD.V2) + AB.FD/(V1.BD) (5)
de même v4 = EC/(tc-te) = CF/(t4-tc)
on obtient t4= AC.EF /(V1.EC) + FC.AE/(V2.EC) (6)
il nous reste à montrer alors que BF.AD/BD=FC.AE/EC
et que AB.FD/BD=AC.EF/EC
la demonstration doit être beaucoup plus simple par le theoreme de MENELAUS mais puisque je le connait pas alors j'ai demontrer à l'aide du theoreme de Thales j'ai ajouté 2 droites comme indiqué sur la figure une paralléle à(AB)et passant par E et qui coupe (BF)en E',l'autre et parallele à (AD)et passant par B et qui coupe (EC)en B'.
on a FD/BD = FE/B'E = EF/EB'
==> AB.FD/BD = AB.EF/EB'
or on a AB/AC = EB'/EC ==> AB/EB' = AC/EC
d'ou AB.FD/BD = AC.EF/EC (7)
de même FC/EC = FB/E'B = BF/BE'
==> AE.FC/EC = AE.BF/BE'
or ona AE/AD = BE'/BD ==> AE/BE' = AD/BD
d'ou BF.AD/BD = FC.AE/EC (8)
on peut deduire de (5),(6),(7) et (8) que t3=t4 donc le 3éme et le 4éme homme se rencontrent necessairement en F.
y a pas de quoi .
Pour être honnête la résolution de ce probléme m'a pris beaucoup de temp ,presqu'une semaine .
bonjour ,
démonstration intéressante, il est rai que le théorème de Menelaüs permet d'aboutir directement aux égalités, si tu veux en savoir plus sur ceux théorème, je te conseille de voir ce lien :
Voilà, dans ton cas :
pour montrer ta relation : BF.AD/BD=FC.AE/EC
c'est à dire :
on se place dans le triangle DEF, on a A, B et C aligniés, donc de la relation direct du théorème de Menelaüs, tu as de suite :
pour la deuxième relation : AB.FD/BD=AC.EF/EC
c'est à dire :
en te plaçant dans le triangle BCF, tu obtient cette relation, vu que les points A, D et E sont aligniés.
remarque : le théorème de Menelaüs peut se démontrer avec les barycentres (c'est une très jolie démonstration) ou avec bien sûre les homothéties (logique vu que vous arriver à montrer avec le th. de Thalès )
en tout cas, sacré travail pour cette énigme bravo ;clapclap:
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