1) f(x) = (x - 1) ln (x - 1).
f est de la forme u*v donc sa dérivée est de la forme u'v+uv'
u(x)=x-1 donc u'(x)=1
v(x)=ln(x-1) et v'(x)=1/(x-1)
Donc f'(x)=ln(x-1)+1

On a f'(x)=g(x)+1
Une primitive de la fonction g définie sur )1 ;+oo( par g(x)
= ln (x - 1) est donc f(x)-x=(x-1)ln(x-1)-x


2) Soit la fonction f sur I = (3 ;10) par f(x) = (3x² + 4x -
25) / (x² + x - 6).
f(x) = 3 + (2 / x + 3) - (1 / x - 2) ;
Sur [3;10] (x+3)>0 et x-2 >0
Donc les primitives de f sont de la forme :
F(x)=3x+2ln(x+3)-ln(x-2) +constante
ou F(x)= 3x+ln((x+3)²/(x-2))+cste

3) Résoudre le système suivant :
x + y = 4 e
ln x + ln y = 2 + ln 3

La deuxième équation peut s'écrire :
ln(xy)=ln(3*e²)
Donc xy=3e².(x>0 et y>0)
En remplaçant x par 4e-y, on obtient :
(4e-y)y=3e²
y²-4ey+3e²=0
discriminant : 4e²
Donc y=(4e+2e)/2=3e ou y=(4e-2e)/2=e
On en déduit x.
Les solutions sont donc :
(e;3e) ou (3e;e).

4) x² + x - 2 = 0 a pour solution x=1 ou x=-2.
(ln x)² + ln x - 2 = 0.
ssi ln(x)=1 ou ln(x)=-2
ssi x=e ou x=1/e²

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