Bonjour,

je suis bien sûr hors course...

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vu que c'est "bien connu" tout ce qu'il se passe dans un Arbelos
en particulier les cercles jumeaux d'Archimède

Bonjour,

Et merci d'animer.

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Au risque de passer   dans les "perles" d'expresso.
Si on trace deux cercles tangents à la fois aux cercles bleu et  jaune et à la corde ,et deux cercles tangents à la fois au cercle rouge et jaune et à la corde, ils seront de même diamètre en fonction de la proposition V des  lemmes d'Archimède

J'ai déterré un classique

On n'est pas là pour réciter son cours , on va donc oublier .

Imod

PS :  je pensais plutôt à un sangaku  mais les grecs étaient loin d'être nuls en géométrie

Au contraire,
Je pense qu'on peut trouver avec les angles une solution valable.
Avis aux amateurs.

Pour mémoire,
Cet exercice a fait l'objet de belles joutes en "Lycée"  le 9/10/2016.

On n'est pas là pour réciter son cours , on va donc oublier .

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c'est surtout qu'il y a une démonstration élémentaire (Pythagore et rien de plus) sur mon site

pour éviter d'aller y fouiller, je copie-colle ici :



Soit M le centre du cercle de diamètre AB, I le centre du cercle de diamètre AC,
P le centre du cercle inscrit dans ACD, PH la hauteur du triangle PMI.
Posons AC = 2a et BC = 2b et soit r le rayon du cercle inscrit.
MA = a+b, MI = b, HC = PK = r et donc :
PI = a + r, IH = a - r, MP = a + b - r et MH = b - a + r
Pythagore dans les triangles PHI et PHM donne : PH² = (a + r)² - (a - r)² = (a + b - r)² - (b - a + r)²
Et après simplification : r(a + b) = ab ou encore
1/r = 1/a + 1/b
Cette expression étant symétrique en a et b, les deux cercles inscrits ont même rayon.

Peut-être un peu moins connu mais aussi élémentaire ( c'est un sangaku ) .

Relation entre les rayons ???

Imod

On peut jouer pareil avec Pythagore
(même si généralement les solutions "officielles" des sangaku font une utilisation intensive de l'inversion et de ses relations métriques associées)

mais qu'est-ce à dire ?
relation générale entre les rayons des 4 cercles :



ou seulement dans le cas où les deux cercles rouges ont même rayon ?
(ceci dit qui peut le plus peut le moins ... )

Pour moi les deux ronds rouges avaient la même taille mais pourquoi pas quatre disques différents . Je ne connais rien des solutions "officielles" mais il me semble que l'inversion était inconnue des anciens concepteurs de sangakus . Personnellement je n'utilise rien d'autre que les relations de contact , Pythagore et les triangles semblables , bref la géométrie de collège ( c'est mon niveau ) .

J'aime énormément ces problèmes en simple amateur , je dois en avoir quelques autres qui ne figurent peut-être pas encore dans tes archives : j'aurai plaisir à te les soumettre

Imod

Bonjour,

J'ai observé la figure d'Imod   (presque le tête de Mickey)
La position de la corde détermine la position du  disque  rouge et du deuxième disque  bleu.
La relation cherchée est donc en fonction de la flèche qui donnera  le rayon égal  des deux disques bleus ; et celui du disque rouge en fonction de R du disque jaune .
Est-ce cela ?

Bonjour
Une étude assez complète de ce genre de problèmes :
http://baptiste.gorin.pagesperso-orange.fr/Docs/arbelos.pdf

Pour le moment je sais en fonction de la flèche positionner les deux "oreilles"  rouge
Il faut que je me penche (sans tomber ) sur le disque bleu tangent à la fois  à l'oreille droite  à la corde et  à l'intérieur du cercle jaune. (Descartes, Apollonnius  et autres mathafou...)

Merci
Vu l'étude de Gorin...

J'en suis là ....
Toutes les dimensions colorées sont trouvées, mais avec Pythagore seul , celles en noir ne me  sont pas venues

le deuxième problème de Imod n'a rien à voir avec l'arbelos

des problèmes avec des cercles et droites tangent(e)s entre eux il y en a des infinités.
la plus large majorité des sangakus fait intervenir ce thème

comme les sangakus étaient des énoncés généralement sans aucune solution fournie, la méthode de résolution de l'auteur du sangaku restera à jamais inconnue
on ne connait que les solutions fournies par ceux qui les ont résolus après coup.
et les méthodes employées à la période d'isolement culturel du japon (celle de la création des sangakus), ayant créé ses propres mathématiques indépendantes, relèvent d'une branche spécialisée de l'histoire des mathématiques.

à une certaine époque j'avais téléchargé un ouvrage sur les sangakus en général
il ne semble plus disponible au téléchargement (édité commercialement depuis ?)
il me semble que le point de départ était le site (japonais) des mathématiques wasan
il n'y a plus grand chose d'intéressant pour un occidental dessus.

il n'est pas sur mon PC actuel et j'ai bien peur qu'il ne soit une victime du crash d'il y a quelques années de mon PC précédent
de tête il y était explicitement utilisé des inversions
c'est pour ça que j'en ai parlé.
en tout cas l'usage des inversions est un moyen commode de tracer les figures sans connaitre quoi que ce soit sur quelque relation que ce soit entre les dimensions
c'est comme ça que j'ai fait ma figure animée.

on peut aussi faire intervenir des coniques car le lieu des centres des cercles tangents à deux bidules (droites ou cercles) est de façon générale une conique (hyperbole, parabole, ellipse, éventuellement dégénérées en droite(s)) et c'est très pratique sur Geogebra car il sait tracer les intersections de deux coniques.
et comme les foyers sont connus directement (centre(s) de(s) cercle(s) donnés) la conique est tracée directement.
on connait généralement un point, cas particulier, et donc ellipse ou hyperboles de foyers et un point donnés,
pour une parabole (cas droite et cercle) la directrice est déterminée par décalage de la droite de la valeur du rayon du cercle. (outil translation)

si j'appelle R le rayon du grand cercle, r le rayon des deux petits et x le rayon inconnu du cercle bleu et que je nomme ainsi divers points :



on obtient facilement trois relations entre PK, PH, R, r et x

il s'agit donc d'éliminer PH et PK entre ces relations pour obtenir la relation cherchée entre R, r et x
ça me semble mochement calculatoire .. (une belle salade de racines carrées)

bon, PH ne semble pas trop dur non plus

Les calculs ne sont pas si moches et se simplifient miraculeusement ( il y a sans doute une raison cachée ) . Il vaut mieux exprimer KP² , PH² et KH² en fonction des rayons ( sans s'embêter avec les racines ) puis remarquer que 2.PK.PH=KH²-PK²-PH² .

Imod

La planche originale ( dessin 2 ) .



Imod

PS : il presque aussi amusant de deviner la question que la réponse , j'ai trouvé pour les quatre premiers mais pas le dernier

PH  est en vert foncé donc trouvé ,mais PK ????

Regarde bien le rectangle de sommets C , K et H .

Imod

Merci ,mais un rectangle à 3 sommets ???

Tu ne trouves pas le quatrième sommet ?

Imod

Je vois ce que tu veux dire  (parallèle à KH en C) OK

les relations ne sont pas difficile à trouver si on pense à faire apparaitre les bons triangles rectangles au bon endroit

le plus pénible est de simplifier le monstre obtenu ...
effectivement les racines carrées disparaissent si on calcule (PH.PK)² au lieu de PH.PK
mais j'avais hésité à calculer des carrés de sommes de carrés etc pensant à tort que la relation (PH+PK)² = HK² me ferait tourner en rond

que nenni.

ça se simplifie pas mal en effet

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je finis par la relation
4x² - 4(R-r)x + r² = 0 (ou écriture équivalente)

il est normal que pour R et r donnés j'aie une équation du second degré car il y a mini-cercle bleu possible dans le petit triangle curviligne HNU

C'est ça Mathafou

Une idée pour le cinquième dessin de la planche ???

Imod

aucune
un interprète japonais ?

Bonjour ,
Effectivement en exploitant les carrés (sans les racines) on obtient une équation
du second degré.
Pour mon dessin avec R=5  et r=2 on a x=2.618 qui peut se vérifier.
On peut chercher pourquoi exactement  1+

Avec de plus petites oreilles:
r=1.5---->x=3.331.

Pour le cinquième sangaku on voit un cercle (sans le défaut d' optique ),un triangle équilatéral tangent par sa base à un cercle de rayon 1/2  et un deuxième arc de cercle
tangent extérieurement à ce dernier dont la corde est la base du triangle.
Je suppute qu'on demande l'aire de la découpe....

je pense:
On cherche l'aire orange ...

ou plutôt l'aire rouge...

Je pense qu'au vu de la photo la hauteur du triangle fait plutôt le tiers du diamètre du grand cercle plutôt que la moité comme sur l'image ci-dessus.

Vu l'effet d'optique ...bof

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Si on reste sur R= 5
corde= 10/ 3
/2=/3
sin/2=3/2
x=1/3
aire rouge = 8.44735....

petite erreur au passage

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x=10/3

Je donne l'abominable formule  de l'aire rouge:

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que l'on peut  "simplifier"

J'obtiens des résultats différents

Pour moi, si x est le rapport entre le rayon du cercle bleu et le grand cercle alors le rapport entre l'aire rouge et l'aire du grand cercle est .

Bonsoir,
As-tu essayé avec R=5 et triangle de hauteur 5?
J'ai vérifié mon résultat .

>Littlefox
Comme je connais ta science ,je savais que ton calcul avait du bon

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Appliqué à mon dessin  on obtient 15.2716  qui est l'aire du disque rouge -l'aire
du disque bleu , mais il faut aussi enlever l'aire de la lune orange  ( ici 6.824..)
L'aire rouge mesure donc 8.4473... que donne ma "formule".
A noter que dans mon cas de figure et sin sont
caractéristiques ,ce qui ne sera pas les cas pour tous les x
Comme les sangaku sont souvent "réguliers" je pense qu'Imod nous confirmera  que x=0.5 sinon ?????

>Imod
La solution au sudoku N°5 est trouvée* ,es-tu d'accord?

* 4/12 15 h 35   , 4/12 17 h 39 après modif

Je n'ai pas enlevé la lune orange, voilà la différence

Bonjour,

je ne sais pas si ça a été résolu vu qu'on ne sait pas ce qu'on cherche dans cette figure !!
ce n'est que de la divination.
toutefois c'est dans "le reste" du grand cercle global que se trouvent les caractères japonais ...
et puis il y a deux positions remarquables :
rayon du cercle bleu = 1/2 du grand cercle
rayon du cercle bleu = 2/3 du grand cercle

elles sont encore plus remarquables qu'on ne l'imagine car pour chacune de ces positions la droite prolongeant le côté du triangle est tangente à l'un des deux cercles !



les aires sont calculées par Geogebra "sans formules" à part des additions et soustractions d'aires d'éléments Geogebra : cercles, arcs de cercles et triangles
C n'est déplaçable bien sûr que sur l'original Geogebra
je vais essayer de le mettre sur Geogebratube. (ça fait longtemps que je ne m'y suis pas connecté)

C'est fait
mais ils ont changé leur interface et j'ai eu un peu de mal à retrouver
en particulier il y avait jadis des champs où on pouvait mettre l'énoncé etc
pas retrouvé ça et c'est donc "brut", ceci explique peut être cela (en dessous)

(lien vers la feuille Geogebra)

ce n'est pas un vrai Geogebra en particulier il n'y a pas de zone de saisie dans laquelle on pourrait taper "r=2/3" par exemple
et la zone "algèbre" ne sert pas à grand chose
pas trouvé comment éditer (modifier) la "ressource" une fois créée.
dommage.

>mathafou
Ma "formule" est appliquée à ma "divination" d'un triangle  équilatéral de hauteur R
Si le rapport est différent ,je pense que la formule de Littlefox excluant  le segment
circulaire pourra s'appliquer.
Au passage je te remercie du lien qui valide ma réponse grâce au curseur  .

j'ai trouvé comment éditer un peu l'appli et j'ai donc rajouté la barre de saisie
on peut donc taper directement r = 0.5 exactement ou r = 2/3 exactement
bizarre, les noms de points deviennent auréolés de blanc ...

je vais essayer de remplacer complètement l'appli par une nouvelle version dans laquelle le champ de saisie serait restreint à la valeur de r et rien d'autre
(ça évite de taper des erreurs qui détruiraient la construction, vu que dans la zone de saisie générale on peut redéfinir tout et n'importe quoi)
et supprimer la zone algèbre.

mais pas le temps de creuser dans l'interface des ressources pour l'instant (pour trouver comment remplacer complètement le fichier ggb sans risquer de détruire le lien)

Je n'ai pas regardé les développements de Dpi , LittleFox et Mathafou  , je tenais simplement à signaler que j'ai retrouvé une image de la planche complète dont était extraite ma dernière figure :



Il est difficile de lire quelque chose sur la photo mais la planche originale est à la préfecture de Nagasaki ( ça peut aider pour retrouver la question ) .

Imod

>Imod
Le dernier sangaku  semble  être en fourchette entre  1/2 et 2/3,
Mais autant on trouve des valeurs exploitables pour ces deux cas particuliers grâce
à Pythagore et à des angles caractéristiques,autant une position intermédiaire genre
0.55 ,sera fastidieuse à cause de et sin ....

J'ai testé le cas  0.55 :
Avec le didactique mathafou  l'aire de notre bidule ressort à  0.294.
Après de "savants" calculs  appliquant Al_ Kashi  dans le triangle  TUA puis l'aire du
segment circulaire avec et sin je trouve0.294014018.
En conclusion ,je ne vois pas une simplification  partant de R et du coef  donnant
directement l'aire du bidule.

Exception  avec  0.5

R²((7/36)-(4-33)/27)

Je ne suis pas convaincu qu'il s'agisse d'un calcul d'aire et je me suis intéressé au message de Mathafou ( 05/12/18 à 10 H 15 ) , sa figure ressemble énormément à celle de l'image , et je reprends sa question : quelle est la question ???

Imod

Maintenant,peu importe puisque le solveur de mathafou (et accessoirement  mon tableur...) peuvent répondre à n'importe quelle question sur n'importe quelle aire ou dimension en fonction de R et du rapport  .

>mathafou

On sait que l'on pourrait trouver une relation entre le cercle et l'aire du bidule en forme de corne .
J'ai fait le graphe de b en fonction de r/R.
L'aire est maximale pour r/R= 0.2995 ,de là à trouver la formule