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5(mod 6)
Bonjour,
J'essaie d'apprendre par moi-même les mathématiques et je suis arrivée sur une opération que je ne comprends pas...
On cherche à résoudre l'équation Diphantienne : 5x - 6y = 4
Pour ce faire, on pose :
5x = 4 + 6y ≡ 4 (mod 6)
Ensuite on multiplie par l'inverse de 5 (mod 6) [Je ne comprends pas pourquoi] c'est-à-dire 5.
ce qui nous donne :
25x ≡ 20 (mod 6)
Et de là, cela passe directement par
x ≡ 2 (mod 6)
Et je ne comprends pas pourquoi...
Après pour résoudre l'équation, on fait le même procédé pour y et on trouve :
x= 2 + 6k
y= 1 + 5k
et on trouve différentes valeurs pour (x,y) en fonction de k.
En espérant qu'il y ait des gens sur le forum pendant les vacances...
Merci beaucoup et bonnes vacances !!
Salut,
20 est congru à 2 mod 6 donc 25x aussi.
Au passage 25 est congru à 1 modulo 6
D'où le résultat.
Bonjour music_sab. 
Multiplier par l'inverse d'un nombre permet de s'en débarrasser, donc d'isoler
Par analogie, si tu devais trouver un nombre réel tel que
, tu multiplierais de chaque côté par l'inverse
de
, ce qui donnerait la solution en isolant x :
vaudrait donc
.
Seulement ceci ne veut plus rien dire modulo puisque seuls les entiers sont autorisés.
La démarche est cependant la même: on cherche à multiplier chaque membre à gauche par l'inverse de modulo
, autrement dit par un entier a tel que a.5 soit congru à
modulo
.
Il se trouve qu'on peut choisir puisque
est bien congru à
modulo
(en effet,
)
Ensuite il ne reste plus qu'à observer que est lui-même congrus à
.
Est-ce que tu comprends pour l'instant?
Oui, parce que
25x = (24 + 1)x = (6⋅4 + 1)x = 6⋅4x + x ≡ 20 (mod 6) = 2 + 18 + 6k = 2 + 6m
=> x = 2 + 6m - 6 ⋅ 4x = 2 + 6 (m - 4x) = 2 + 6c, avec c ∈ Z , si x aussi
Mais pourquoi on multiplie 5x + 4 (mod 6) par 5 ?
Bonjour,
Désolé d'amener une question qui peut faire dévier le débat mais ces conditions (multiplier les congruences) sont elles nécessaires et suffisantes?
Pour le moment je suis Tigeweg
mais en fait, j'ai l'impression de ne pas avoir bien compris la notion d'inverse...
Pourquoi l'inverse de 5 (mod 6) est 5 ?
Bonjour thiblepri,
elles ne sont bien sûr que nécesaires, et pourraient conduire à obtenir plus de candidats-solutions que de solutions effectives.
Il est donc nécessaire de se demander après coup si tous les couples (x,y) ainsi obtenus fonctionnent, et sinon desquels il faut se débarrasser.
music_sab > je te l'ai expliqué à la fin de mon message en vérifiant que 5.5 est congru à 1 mod 5, ce qui permet donc d'affirmer que, modulo 6, 5 est son propre inverse.
Merci Tigweg.
Parce qu'en fait, il existe une autre méthode qui me semble plus rigoureuse:
1) Trouver un couple solution.
2) Faire une différence.
3) Appliquer le lemme de Gauss et conclure.
Oui c'est la méthode habituelle. Celle qui est proposée dans cet exercice me semble néanmoins plus rapide; de toute façon, dans la méthode que tu suggères, i faut aussi vérifier à la fin si tous les couples obtenus sont solutions, ce qui amène à choisir
Exactement. En fait, c'est juste que je connais(sais) pas cette méthode et que je suis intrigué de savoir quels sont les tenants et les aboutissants.
thiblepri > cette méthode est on ne peut plus rigoureuse, et j'avoue ne l'avoir encore jamais testée moi non plus.
music_sab > Tu suis? Tu arrives à t'en sortir?
thiblepri un truc qui ressemblerait à ça?Enfin j'ai commencé à le faire mais ça fait un an(enfin j'en ai eu une une fois en colle de maths) que j'ai plus résolu des trucs comme ça alors j'ai peut être fait des erreurs car je n'ai pas vérifié si cela fonctionné.
En plus de ça il me manque clairement des solutions
5x - 6y = 4
On commence par éssayer de résoudre:
5u-6v=1 (1)
5 et 6 étant premiers entre eux on est assuré d'avoir des solutions d'après Bezout.
Ici une solution de la forme (u;v) est évidente (-1;-1)
On peut alors noter:
(2): 5(-1)-6(-1)=1
Ainsi:
(1)-(2): 5(u+1)-6(v+1)=0
D'après Gauss:
v+1=5k
u+1=-6k' k et k' appartenant à Z
On montre facilement que k=k'
Ainsi:
x=4v=20k-4
y=-24k-4
Oui, là je comprends le principe...
Maintenant je beug pour trouver le y...
On a 6y = -4 + 5x ≡ -4 (mod 5)
Après on trouve un inverse de 6 (mod 5), par exemple 1, car 6 = 1 + 5⋅1
Donc (5+1)y ≡ -4 (mod 5)
y = -4 + 5k - 5y = -4 + 5 (k-y) = 1 - 5 + 5 (k-y) = 1 + 5 (k-y-1) = 1 + 5c
et on a la réponse pour y...
Mais maintenant comment on fait pour pouvoir dire que k est le même dans ces deux équations ?
x = 2 + 6k
y = 1 + 5k
numero10 > Certes mais c'est plus long de plus, il faut démontrer que est solution de
ssi
est solution de l'équation initiale.
music_sab > je ne comprends pas tous tes calculs. est congru à
donc ton équation donne immédiatement:
Ce qui signifie que y s'écrit sous la forme avec
entier. D'accord?
Comme , on a finalement
Autrement dit, pour qu'un couple (x,y) marche, il est nécessaire qu'on puisse l'écrire ainsi.
Il est temps de passer à la réciproque: si un couple s'écrit ainsi, est-il toujours solution?
Tu va donc à présent devoir remplacer dans ton équation initiale par
et
par
, puis t'apercevoir que cela marche ssi
Ah oui...
Alors :
5x + 6y = 4
5 (2+6k) + 6 (1+5l) = 4
10 + 30k + 6+ 30l = 4
30 (k+l) = 4-6-10 = -12
k = -12/30 - l = -2/5 - l
-> est-ce que j'ai fait une faute ?
5 (2+6k) - 6 (1+5l) = 4
10 + 30k - 6 - 30l = 4
30(k-l) = 4 -10 + 6 = 0
=> k-l = 0 => k=l
voilà
C'est tout bon, merci
numero10 > pour en revenir à ta méthode, il y a tout de même un gros problème.
En fait, il n'est pas vrai que est solution de
ssi
est solution de l'équation initiale.
Par exemple, est solution de l'équation, mais ni
ni
ne sont divisibles par
.
Il ne faut donc surtout pas résoudre l'équation en remplaçant le par un
Ce procédé ne permet que de déterminer une solution particulière de l'équation initiale.
On procède ensuite par différence entre une solution quelconque et la solution particulière
trouvée, un peu comme tu l'as fait, mais directement avec l'équation qui nous intéresse (celle avec le
).
Sinon, on ne parvient pas à conclure!
music_sab > c'est parfait à présent! Dans l'erreur que tu avais faite, le fait de tomber sur des fractions t'a sûrement mis la puce à l'oreille! En effet, on ne cherche que les couples de nombres entiers solutions de cette équation!
Effectivement j'avais remarqué qu'il y avait un problème dans mon raisonnement étant donnée qu'il manqué des solutions.
Merci pour cette rectification.
Désolé petite réunion de service.
Donc après lecture, j'aurais fait:
Cherchons une solution particulière de:
5x - 6y = 4
(-4;-4) fonctionne.
Ainsi:
5x - 6y = 4
5*(-4) - 6*(-4) = 4
Donc:
5*(x+4) - 6*(y+4) = 0
Ainsi:
5*(x+4) = 6*(y+4)
D'après le lemme de Gauss, il est nécessaire que:
x+4=6k
Et:
y+4=5l
Donc:
y=5l-4
x=6k-4
Ainsi:
5x + 6y = 4 revient à:
30k-20-30l+24=4
Ce qui revient à:
k=l.
Cela suffit-il?
Oui, car si:
y=5k-4
x=6k-4
Alors:
5x - 6y = 4.
Donc les couples (x,y) sont de la forme:
y=5k-4
x=6k-4
Ou encore:
y=5k+1
x=6k+2
Salut thiblepri,
c'est presque parfait à présent. Seule la rédaction à la fin laisse un peu à désirer.
Au lieu de:
5x + 6y = 4 revient à:
30k-20-30l+24=4
Ce qui revient à:
k=l.
Cela suffit-il?
Oui, car si:
y=5k-4
x=6k-4
Alors:
5x - 6y = 4.
Donc les couples (x,y) sont de la forme:
y=5k-4
x=6k-4
, il faudrait écrire quelque chose comme:
"tout couple
Réciproquement, un tel couple est solution de l'équation ssi
L'ensemble des solutions est donc
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