bonsoir

tu veux écrire I comme barycentre de A et B ; il te faut donc avoir une expression de la forme ;
....vect(IA) + .....vect(IB) = vect(0)

Tu dois dont faire apparaître vect(IA) et Vecteur(IB) vecteurs qui commencent par I !

on a vect(AI) = - 2 vect(AB)

Tu vas casser vect(AB) par la relation de Chasles pour faire apparaître le point I

vect(AB) = vect(AI) + vect(IB

ensuite tu t'arranges pour tout passer d'un côté pour obtenir ... = vect(0)

tu transformes pour avoir uniquement vect(IA) et vecteur(IB)

je trouve:

2vectIB = vecteur 0

bonsoir

vect (AI) = -2 vect(AB)

vecvt(AI) + 2 vect(AB) = vect(0)

vect(AI) + 2  [ vect(AI) + vect(IB) )= vect(0)

3 vect(AI) + 2 vect(IB) = vect(0)

-3 vect(IA) + 2 vect(IB) = vect(0)

ah oui tout à fais erreur de calcul

bonsoir

1) AI=-2AB
     =-2AI-2IB ; chasles
donc
3AI+2IB=0 donc -3IA+2IB=0 donc I est barycentre de (A;-3) et (B;2)

CJ=3/4CA
  donc
4CJ=3CA
   =3CJ+3JA
donc
CJ-3JA=0
donc JC+3JA=0 donc J barycentre de (C;1) et (A;3)

K symétrique de C par rapport à B donc B est milieu de [CK]
donc
BC+BK=0
donc
BK+KC+BK=0
donc
2BK+KC=0
-2KB+KC=0 donc K est barycentre de (B;-2) et (C;1)

2)

G barycentre des points (A,3), (B,-2) et (C,1) donc
pour tout point M du plan on a : 2MG=3MA-2MB+MC
si on fait M=A alors 2AG=-2AB+AC
d'autre part
AK=AB+BK=AB+CB    ; car BK=CB
  =AB+CA+AB       ; chasles
  =2AB-AC
donc
2AG=-AK donc AG=(-1/2)AK donc G appartient à la droite (AK)

maintenant si on fait M=B dans 2MG=3MA-2MB+MC on obtient:
2BG=3BA+BC
   =-4AB+AC
d'autre part
BJ=BA+AJ
  =BA+AC+CJ
  =BA+AC+3/4CA
  =-AB+1/4AC
  =(1/4)(-4AB+AC)
donc
BJ=(1/4)(2BG)=(1/2)BG donc BG=2BJ donc G appartient à la droite (BJ)

Maintenant si on fait M=C dans 2MG=3MA-2MB+MC on obtient:
2CG=3CA-2CB
   =3CA-2CA-2AB
   =-2AB-CA
d'autre part
CI=CA+AI
  =-2AB-AC
donc
2CG=CI donc CG=(1/2)CI donc G appartient à la droite (CI)
donc les trois droites (AK), (BJ) et (CI) concourent en G

bonsoir

question 2) il vaut mieux utiliser le théorème du barycentre partiel

merci beaucoup