Bonjour,

Imod, prince de la symétrie axiale?

Quand le pseudo usuel n'est pas libre , on fait avec ce qu'on sait faire

Imod

Je joins 5 solutions trouvées mais je n'insisterais pas si le problème est trop complexe ou de peu d'intérêt .


Imod

5 solutions , je vous laisse compter et lancer les pierres

Imod

Ça demande une longue analyse mais ça ne me semble pas impossible.
Pour un triangle donné on a 12 possible, pareil pour et .

En effet (on nomme le côté opposé à , pareil pour y et z), on a le choix entre , et pour le facteur d'échelle et on a quatre symétrie par rapport à l'axe et sa médiatrice. L'un de ses , il est donc peut-être à rejeter. Sinon on a une solution triviale.

Ensuite pour toutes ces 12x12x12 = 1728  combinaisons de , et (on peut diviser ce nombre par 6 en enlevant les symétries), il faut vérifier les triangles .
Certaines seront toujours valides, d'autres jamais et d'autres encore seulement pour des particuliers.

Ça en fait du boulot

Bonjour LittleFox

C'était aussi ma première idée , mais le nombre de combinaison dépasse mon entendement ( je suis un neandertalien , je travaille encore à la main ) . Ma deuxième idée : on classe les solutions en fonction du nombre de sommets de leur enveloppe convexes . J'avais commencé avec l'hexagone ( le plus simple ) , il y a cinq possibilités ( d'où le lapsus précédent ) .


Il ne faut regarder que les angles aux sommets de l'hexagone .

Il est facile d'écrire les équations traduisant le fait que les angles de chaque triangle XYZ sont identiques ( globalement ) . La résolution est pénible à la main mais permettrait d'éliminer des configurations sans solution .

On voit par exemple que la figure 4 ne donne pas de solution et que la 5 en a une ( celle de Pierre Leteurtre ) .

Mais comme tu dis il y a du pain sur la planche

Imod

Bonsoir
LittleFox,  pourquoi a-t-on 12 possibilités pour X2, Z2, Z2 ?

En tous cas, il fallait déjà trouver les 6 solutions présentées !

Oui , elles ne sont pas évidentes ces solutions et elles ont une caractéristique commune , les angles en degrés des triangles sont toujours : 2x , 90 + x et 90 - 3x .

Et pourtant rien ne l'impose à priori .

Imod

Message n'aidant en rien le problème mais je trouve que la solution de Michel Lafond particulièrement esthétique.

Tiens, petite question technique, est-ce que le symétrique d'un triangle par un axe est semblable à ce triangle?

J'ai considéré que oui mais est-ce que l'ordre des angles a une importance?

En fait on peut accepter les deux car il n'est pas précisé que les triangles doivent directement semblables .

Imod

Je ne sais pas si ça peut aider mais sur les trois dernières solutions les triangles sont tous de la forme avec et j'ai l'impression que sur les trois premières il y a une relation du même genre .

Imod

salut

j'ai suivi mais je ne suis pas intervenu car il y avait de mieux meilleurs pro que moi ...

A mieux y regarder, les 3 premières solutions sont les mêmes.
Les 3 suivantes sont différentes mais basées sur le même triangle de base de côtés 1, 2 et 2.

J'ai évidemment codé ma solution et même si ce n'est pas propre, ça permet de faire des tests :

 Cliquez pour afficher

def getCirclesIntersections(C1,C2):
   """ Return the intersections of circles C1 and C2 where Ci = (x,y,r) """
   x1,y1,r1 = C1
   x2,y2,r2 = C2
   d =((x1-x2)**2+(y1-y2)**2)**0.5
   l = (r1*r1-r2*r2+d*d)/(2*d)
   h2 = (r1*r1-l*l)
   if h2 < 0:
      return ()
   elif h2 == 0:
      return ((x1+l/d*(x2-x1),y1+l/d*(y2-y1)),)
   else :
      h = h2**0.5
      return ((x1+(l*(x2-x1)+h*(y2-y1))/d,y1+(l*(y2-y1)-h*(x2-x1))/d), (x1+(l*(x2-x1)-h*(y2-y1))/d,y1+(l*(y2-y1)+h*(x2-x1))/d))

def getDist(A,B):
   ax,ay = A
   bx,by = B
   return ((bx-ax)**2+(by-ay)**2)**0.5

from itertools import permutations
def genX2(X1,Y1,Z1):
   x = getDist(Y1,Z1)
   y = getDist(Z1,X1)
   z = getDist(X1,Y1)
   if x*y*z == 0:
      return
   for (s1,s2,s3) in permutations((x,y,z)):
      for X2 in getCirclesIntersections(Y1+(x/s1*s2,),Z1+(x/s1*s3,)):
         yield X2

def test(X1,Y1,Z1,X2,Y2,Z2):
   x1 = getDist(Y1,Z1)
   y1 = getDist(Z1,X1)
   z1 = getDist(X1,Y1)
   x2 = getDist(Y2,Z2)
   y2 = getDist(Z2,X2)
   z2 = getDist(X2,Y2)
   x1,y1,z1 = sorted((x1,y1,z1))
   x2,y2,z2 = sorted((x2,y2,z2))
   s = (x2/x1+y2/y1+z2/z1)/3
   return max(abs(x2-s*x1),abs(y2-s*y1),abs(z2-s*z1))

from collections import defaultdict
def solve(X1,minDist=0.1):
   Y1 = (-1,0)
   Z1 = (1,0)
   ans = defaultdict(set)
   for X2 in genX2(X1,Y1,Z1):
      if getDist(X2,X1) < minDist :
         continue
      for Y2 in genX2(Y1,Z1,X1):
         if getDist(Y2,Y1) < minDist :
            continue
         for Z2 in genX2(Z1,X1,Y1):
            if getDist(Z2,Z1) < minDist :
               continue
            ans[max(test(X1,Y1,Z1,X2,Y2,Z1), test(X1,Y1,Z1,X2,Y1,Z2), test(X1,Y1,Z1,X1,Y2,Z2), test(X1,Y1,Z1,X2,Y2,Z2))] = (X2,Y2,Z2)
   return ans

   
if __name__ == "__main__":
   X1 = getCirclesIntersections((-1,0,2**0.5),(1,0,1))[1]
   ans = solve(X1)
   for s in sorted(ans)[:7]:
      print(ans[s])

(-0.25, -0.661437827766148)  (0.3125, 0.16535945694153717)   (-0.3125, -0.16535945694153686)
(1.5, 1.3228756555322954)    (1.625 0.3307189138830739)      (0.125, 1.6535945694153698)
(-1.5, 1.3228756555322956)   (0.5, 1.3228756555322958)       (-0.75, 0.6614378277661477)
(-1.5, -1.3228756555322956)  (0.75, 1.9843134832984428)      (-1.75, 0.6614378277661479)
(-0.25, -0.661437827766148)  (0.75, -0.6614378277661478)     (-0.75, -1.9843134832984428))
(-1.5, -1.3228756555322956)  (0.5, -1.3228756555322951)      (-0.75, -1.9843134832984428)
(2, 2.6457513110645907)      (0.75, 1.9843134832984428)      (0, 2.645751311064591)

C'est bien LittleFox , chacun alimente de son côté . Je fais faire les dessins de tes propositions car les coordonnées ne me parlent guère .

La deuxième série de solutions rentre clairement dans une catégorie dans laquelle les côtés sont des triangles avec sont des puissances entières de . J'ai l'impression mais je n'ai pas eu le temps de vérifier que la première série de solutions vérifie aussi ce type de propriété en remplaçant {k,k+1,k+2} par un autre triplet et un x adapté .

Il y a encore plein de chose à voir , notamment la relation entre les angles des triangles .

Je joins une illustration des trois dernières solutions ( l'étiquette sur chaque côté est l'exposant de ) .





Imod



  

Je vais faire et pas non pas fais faire . Si ça pouvait être vrai

Imod

On retrouve en fait les figures déjà connues dans différentes positions :

1-3-4-7 : figure de Michel Lafond
2-5 : figure de Jean-Louis Legrand
6 : figure de Pierre Leteurtre

@LittleFox : puisque ton programme est prêt à fonctionner je vais te proposer d'autres triangles obtenus à partir des égalités d'angles et des côtés puissances d'un même nombre . Histoire de traquer quelques autres solutions .

Il faut me laisser un peu de temps

Imod

Un premier essai , un triangle de côtés :   avec .

Je peux donner plus de décimales au besoin , merci Wolfram

Imod

Autres propositions ( il ne doit pas être utile d'aller beaucoup plus loin , il n'y a que 8 triangles ) .

( 0 , 1 , 3 ) : x = 1,2207440846057594754
( 0 , 1 , 4 ) : x = 1,1509639252577580357
( 0 , 1 , 5 ) : x = 1,1147978058487485078

J'arrête de monologuer , juré

Imod

Nope, aucune solution trouvée avec ces 4 propositions.

Ce n'est pas normal , on devrait au moins récupérer les trois premières solutions . J'ai dû me planter dans les valeurs de x , mon ordi est tellement lent ...

Je vérifie les valeurs , je corrige au besoin et j'indique au passage comment je les ai trouvées ( comme ça chacun pourra corriger mes erreurs ) .

Imod

En effet il y a plein d'erreurs , je résume et je précise car j'ai toujours tendance à m'emballer

On choisit à priori et sans aucune justification des triangles de la forme suivante :



Les valeurs sur les côtés sont les exposants d'un certain x .

En exprimant l'aire du triangle à l'aide des sinus des angles on obtient :



En injectant la formule dans un calculateur , on récupère la valeur de x qui convient pour chaque paire { m , M } , Après on laisse travailler le robot de LittleFox qui a déjà fait ses preuves .

Imod

En prenant x=1,21060779440608... on retrouve les trois premières solutions :



Peut-on trouver d'autres solutions avec cette méthode ?

Imod

Pour x=1,21060779440608 et exposants (0,1,3), je trouve 10 solutions :

(-0.14789903570478713, -0.737978814963633 )(0.238630696713639 ,  0.10914635510368294)(-0.613470267581574 ,  0.8471251700673159 )
(-0.14789903570478713, -0.737978814963633 )(0.6134702675815069, -0.8471251700672853 )(-0.2386306967136389, -0.10914635510368298)
(-0.14789903570478713, -0.737978814963633 )(0.5344287681232803,  1.5851039850309183 )(-0.613470267581574 ,  0.8471251700673159 )
( 1.682327803827942  ,  2.323082799994514 )(2.1478990357047874,  0.7379788149636329 )(-0.317672196172058 ,  2.3230827999945145 )
(-1.4655712318767196 ,  1.5851039850309183)(0.5344287681232803,  1.5851039850309183 )(-0.613470267581574 ,  0.8471251700673159 )
( 1.4655712318767193 , -1.5851039850309188)(0.6134702675815069, -0.8471251700672853 )(-0.5344287681231552, -1.585103985030881  )
( 1.4655712318767193 , -1.5851039850309188)(2.1478990357047874,  0.7379788149636329 )(-0.317672196172058 ,  2.3230827999945145 )
( 1.4655712318767193 , -1.5851039850309188)(2.1478990357047874,  0.7379788149636329 )(-0.5344287681231552, -1.585103985030881  )
(-1.4655712318767196 ,  1.5851039850309183)(0.5344287681232803,  1.5851039850309183 )(-0.317672196172058 ,  2.3230827999945145 )
( 1.682327803827942  ,  2.323082799994514 )(0.5344287681232803,  1.5851039850309183 )(-0.317672196172058 ,  2.3230827999945145 )

Il est fort possible que la figure fournie ne soit pas bonne , je suis parti d'un postulat aucunement justifié . Je vais vérifier tes solutions , tu peux aussi ( si le coeur t'en dit ) tester d'autres valeurs (m,M) avec les bonnes valeurs de x

D'un autre côté , nous aurons demain une solution "officielle" , il suffit peut-être d'attendre .

En tout cas merci pour cette agréable collaboration

Imod

J'ai commencé à regarder la solution de Pierre Leteurtre ( le seul à faire une étude exhaustive de la situation ) . C'est difficile à lire , il y a de nombreuses variantes très détaillées mais il me semble qu'il y a des redites . En tout cas pas de "formes" réellement  nouvelles .

Joli travail en tout cas :

Il me faudra trouver un peu de temps pour lire tout ça sérieusement . On découvre au passage qu'il s'agit d'un problème iranien , ce n'est pas la première fois que ce pays propose des problèmes très originaux en géométrie ( j'en ai plein ma besace )

Imod