Bonjour,
J'ai un DM à faire sur l'intégration en lien avec le coefficient de gini et j'avoue ne pas y comprendre grand chose. J'ai essayé quelques pistes qui me semblent quelques fois fragiles et pour d'autres je n'arrive pas à voir la réflexion. J'aimerais donc que vous m'aidiez et je précise que j'ai une échéance pour le vendredi 30/03.
Je mets mes traces de recherches en bleu.
Ci-dessous l'intitulé de mon DM :
La répartition de la masse salariale d?une entreprise entre ses salariés peut être décrite par une fonction f qui permet d?apprécier si la distribution des salaires est plus ou moins inégalitaire. Une telle fonction, définie sur l?intervalle [0; 1]; doit satisfaire aux conditions (C) suivantes :
(C1) : f (0) = 0 et f (1) = 1;
(C2) : f est croissante sur l?intervalle [0 ; 1];
(C3) : pour tout x de l?intervalle [0; 1], f (x)<=x.
1. Question Préliminaire :
On considère la fonction g définie sur [0; 1] par : g (x) = e^ (x?1) - 1
a. Déterminer les variations de la fonction g sur l'intervalle [0 ; 1]
Là il faut calculer la dérivée de g ce qui donne g'(x) = 1e^(x-1) où e^(x-1) puisque c'est de la forme u'e^u avec u'(x)= 1 et u (x)=e^(x-1)
Vu que e^x>0 la fonction g est croissante sur [0 ; 1]
b. En déduire le signe de g (x) sur [0 ; 1]
Avec un tableau de variations, on peut voir que le signe de g est négatif puisqu'en
f(0)=-0,64 et f (1)=0 vu que e^0 - 1 = 1 - 1 = 0
2. On considère deux entreprises P et Q pour lesquelles les fonctions p et q donnant la répartition de la masse salariale sont définies sur [0; 1] par : p(x) = x ^2 et q(x) = xe ^(x?1)
a. Montrer que la fonction p vérifie les trois conditions (C1), (C2), (C3).
Je suppose que pour C1 il faut faire p (1)=1^2=1 et que p (0)=0^2=0
Pour C2 sa dérivée étant 2x sur [0 ; 1] elle est toujours positive donc la fonction p est croissante
Pour C3 je ne vois pas comment s'en sortir parce que cela ferait p (x)<=x donc
x^2 <=x donc x^2-x=0 et après je suis perdu faut-il utiliser un discriminant ou bien je me suis planté carrément sur la méthode ?
b. Montrer que la fonction q vérifie la condition (C1).
q (0)=0 ça c'est logique et q (1)=1e^(1-1)=e^0=1
c. Calculer q ? (x) et étudier le signe de q ? (x) sur [0; 1].
Montrer que la fonction q vérifie la condition C2
La dérivée est de la forme u x v qui donne u'v+uv' avec u (x)=x et v (x)=e^(x-1)
donc q'(x)=e^(x-1)+xe^(x-1)=e^(x-1)(1+x) sachant qu'une exponentielle est strictement positive le signe de la dérivée est donc le même que 1+x qui est toujours positif sur
[0 ; 1] donc C2 est vérifiée
d. Montrer que pour tout x de [0; 1] : q(x) - x = xg (x)
En déduire que la fonction q vérifie la condition (C3)
xe^(x-1)-x=xe^(x-1)-1 donc en éliminant les exponentielles ça donne -x=-1 et donc x=1 mais je ne vois pas comment répondre à la vérification de C3 avec ce résultat
3. On donne ci-contre les deux courbes et le segment [OA] d'équation y=x sur [0 ; 1]
On appelle B le point de coordonnées (1 ; 0)
À l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes pour les deux entreprises :
a. Quel pourcentage de la masse salariale détiennent 40 % des salariés les moins bien payés ?
P= 16 % & Q=22 %
b. Quel pourcentage de la masse salariale détiennent 30 % des salariés les mieux payés ?
P=52 % & Q=48 %
c. Dans laquelle des deux entreprises la répartition salariale semble-t-elle la plus inégale ?
C'est q car c'est celle qui est la plus proche de 1 du moins j'imagine
4. Le coefficient de Gini d?une entreprise permet d'évaluer la répartition salariale dans une entreprise : plus il est proche du nombre 1, plus la repartition des salaires est inégale. Si la répartition salariale d'une entreprise est décrite par une fonction f satisfaisant aux conditions C1, C2, et C3, le coefficient de Gini noté G est le nombre réel calculé ainsi :
G = (aire du domaine situé entre le segment [OA] et la courbe f) ÷ (aire du triangle OAB)
Je précise que j'ai attaché l'image correspondante à ce triangle
a. Quelle est l'aire du triangle OAB (en unités d'aire) ?
Expliquer pourquoi on obtient G = 1 - 2?1 (en haut) 0 (en bas)f(x)dx
aire d'un triangle = (base x hauteur) / 2 donc aire OAB = (1 x 1) / 2 = 1/2
Sinon je ne sais pas comment expliquer comment on obtient le calcul avec j'ai compris à quoi correspondait la partie avec l'intégrale c'est à dire l'aire sous la courbe de f mais pourquoi y a-t-il "1-2" devant ?
b. Calculer le coefficient de Gini Gp de l?entreprise P
Gp=1-2?1 (en haut) 0 (en bas)x^2dx=1/3
c. Montrer que la fonction Q définie sur [0 ; 1] par Q(x) = (x ? 1) e^(x?1) est une primitive de la fonction q sur [0; 1] et calculer le coefficient de Gini Gp de l'entreprise Q à l'aide de cette primitive.
Là il faut dériver la primitive pour voir si on retrouve la fonction q de départ.
Sachant que (x - 1) e^(x-1) est de la forme u x v donc u'v+uv' avec u(x)=(x-1); u'(x)=1; v(x)=e^(x-1) et v'(x)=1e^(x-1) ou e^(x-1)
On peut calculer Q'=e^(x-1)+ (x - 1) e^(x-1) = e^(x-1)+ x e^(x-1) - e^(x-1) = xe^(x-1)
On retrouve bien la fonction q
Et là je n'arrive pas à voir comment on calcule le coefficient de Gini avec la primitive
d. Comparer Gp et Gq. Retrouve-t - on le résultat de la question 3c ?
Gp=0,33 & Gq=?
Voilà voilà c'est la fin de ma galère j'espère que vous m'aiderez sur mes incertitudes.
J'attends vos réponses avec impatience et naturellement je vous remercie d'avance pour m'aider cette fois-ci étant donné que c'est mon premier post tout comme pour toutes les autres fois où je suis passé sur ce site. Votre aide m'est incommensurable, restez géniaux !
***image recadrée***faire ctrl+F5***
Bonjour
2A C3 on veut montrer que donc ou sur
et par conséquent ou
question 2 d
montrons que rien à faire cela a été fait à la question 1 b
Bonjour,
1a) Tu pouvais néanmoins barrer ton "1" inutile devant l'exponentielle !
On a donc : g'(x) = e^(x-1).
@Hekla : En effet, j'ai omis cette question...
C'est p (et pas q) où la répartition salariale semble la plus inégale.
Merci pour vos réponses, surtout fenamat84 ! Je compléterai d'ici demain à tête reposée et je vous fais signe si j'ai encore besoin de votre aide.
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