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● DM sur le coefficient de Gini

Posté par
lololo54
24-03-18 à 12:43

Bonjour,

J'ai un DM à faire sur l'intégration en lien avec le coefficient de gini et j'avoue ne pas y comprendre grand chose. J'ai essayé quelques pistes qui me semblent quelques fois fragiles et pour d'autres  je n'arrive pas à voir la réflexion. J'aimerais donc que vous m'aidiez et je précise que j'ai une échéance pour le vendredi 30/03.
Je mets mes traces de recherches en bleu.

Ci-dessous l'intitulé de mon DM :

La répartition de la masse salariale d?une entreprise entre ses salariés peut être décrite par une fonction f qui permet d?apprécier si la distribution des salaires est plus ou moins inégalitaire. Une telle fonction, définie sur l?intervalle [0; 1]; doit satisfaire aux conditions (C) suivantes :

(C1) : f (0) = 0 et f (1) = 1;
(C2) : f est croissante sur l?intervalle [0 ; 1];
(C3) : pour tout x de l?intervalle [0; 1], f (x)<=x.


1. Question Préliminaire :
On considère la fonction g définie sur [0; 1] par : g (x) = e^ (x?1) - 1

a. Déterminer les variations de la fonction g sur l'intervalle [0 ; 1]
Là il faut calculer la dérivée de g ce qui donne g'(x) = 1e^(x-1) où e^(x-1) puisque c'est de la forme u'e^u avec u'(x)= 1 et u (x)=e^(x-1)
Vu que e^x>0 la fonction g est croissante sur [0 ; 1]

b. En déduire le signe de g (x) sur [0 ; 1]
Avec un tableau de variations, on peut voir que le signe de g est négatif puisqu'en
f(0)=-0,64 et f (1)=0 vu que e^0 - 1 = 1 - 1 = 0


2. On considère deux entreprises P et Q pour lesquelles les fonctions p et q donnant la répartition de la masse salariale sont définies sur [0; 1] par : p(x) = x ^2 et q(x) = xe ^(x?1)

a. Montrer que la fonction p vérifie les trois conditions (C1), (C2), (C3).
Je suppose que pour C1 il faut faire p (1)=1^2=1 et que p (0)=0^2=0

Pour C2 sa dérivée étant 2x sur [0 ; 1] elle est toujours positive donc la fonction p est croissante

Pour C3 je ne vois pas comment s'en sortir parce que cela ferait p (x)<=x donc
x^2 <=x donc x^2-x=0 et après je suis perdu faut-il utiliser un discriminant ou bien je me suis planté carrément  sur la méthode ?


b. Montrer que la fonction q vérifie la condition (C1).
q (0)=0 ça c'est logique et q (1)=1e^(1-1)=e^0=1

c. Calculer q ? (x) et étudier le signe de q ? (x) sur [0; 1].
Montrer que la fonction q vérifie la condition C2
La dérivée est de la forme u x v qui donne u'v+uv' avec u (x)=x et v (x)=e^(x-1)
donc q'(x)=e^(x-1)+xe^(x-1)=e^(x-1)(1+x) sachant qu'une exponentielle est strictement positive le signe de la dérivée est donc le même que 1+x qui est toujours positif sur
[0 ; 1] donc C2 est vérifiée


d. Montrer que pour tout x de [0; 1] : q(x) - x = xg (x)
En déduire que la fonction q vérifie la condition (C3)
xe^(x-1)-x=xe^(x-1)-1 donc en éliminant les exponentielles ça donne -x=-1 et donc x=1 mais je ne vois pas comment répondre à la vérification de C3 avec ce résultat

3. On donne ci-contre les deux courbes et le segment [OA] d'équation y=x sur [0 ; 1]
On appelle B le point de coordonnées (1 ; 0)

À l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes pour les deux entreprises :

a. Quel pourcentage de la masse salariale détiennent 40 % des salariés les moins bien payés ?
P= 16 % & Q=22 %

b. Quel pourcentage de la masse salariale détiennent 30 % des salariés les mieux payés ?
P=52 % & Q=48 %

c. Dans laquelle des deux entreprises la répartition salariale semble-t-elle la plus inégale ?
C'est q car c'est celle qui est la plus proche de 1 du moins j'imagine

4. Le coefficient de Gini d?une entreprise permet d'évaluer la répartition salariale dans une entreprise : plus il est proche du nombre 1, plus la repartition des salaires est inégale. Si la répartition salariale d'une entreprise est décrite par une fonction f satisfaisant aux conditions C1, C2, et C3, le coefficient de Gini noté G est le nombre réel calculé ainsi :

G = (aire du domaine situé entre le segment [OA] et la courbe f) ÷ (aire du triangle OAB)
Je précise que j'ai attaché l'image correspondante à ce triangle

a. Quelle est l'aire du triangle OAB (en unités d'aire) ?
Expliquer pourquoi on obtient G = 1 - 2?1 (en haut) 0 (en bas)f(x)dx
aire d'un triangle = (base x hauteur) / 2 donc aire OAB = (1 x 1) / 2 = 1/2
Sinon je ne sais pas comment expliquer comment on obtient le calcul avec  j'ai compris à quoi correspondait la partie avec l'intégrale c'est à dire l'aire sous la courbe de f mais pourquoi y a-t-il  "1-2" devant ?  


b. Calculer le coefficient de Gini Gp de l?entreprise P
Gp=1-2?1 (en haut) 0 (en bas)x^2dx=1/3

c. Montrer que la fonction Q définie sur [0 ; 1] par Q(x) = (x ? 1) e^(x?1) est une primitive de la fonction q sur [0; 1] et calculer le coefficient de Gini Gp de l'entreprise Q à l'aide de cette primitive.
Là il faut dériver la primitive pour voir si on retrouve la fonction q de départ.
Sachant que (x - 1) e^(x-1) est de la forme u x v donc u'v+uv' avec u(x)=(x-1); u'(x)=1; v(x)=e^(x-1) et v'(x)=1e^(x-1) ou e^(x-1)
On peut calculer Q'=e^(x-1)+ (x - 1) e^(x-1) = e^(x-1)+ x e^(x-1) - e^(x-1) = xe^(x-1)
On retrouve bien la fonction q
Et là je n'arrive pas à voir comment on calcule le coefficient de Gini avec la primitive


d. Comparer Gp et Gq. Retrouve-t - on le résultat de la question 3c ?
Gp=0,33 & Gq=?

Voilà voilà c'est la fin de ma galère j'espère que vous m'aiderez sur mes incertitudes.
J'attends vos réponses avec  impatience et naturellement je vous remercie d'avance pour m'aider cette fois-ci étant donné que c'est mon premier post tout comme pour toutes les autres fois où je suis passé sur ce site. Votre aide m'est incommensurable, restez géniaux !

● DM sur le coefficient de Gini

***image recadrée***faire ctrl+F5***

Posté par
alb12
re : ● DM sur le coefficient de Gini 24-03-18 à 14:08

salut,
2/a/ si 0<=x<=1 alors x*x<=1*x alors x^2<=x

Posté par
hekla
re : ● DM sur le coefficient de Gini 24-03-18 à 14:16

Bonjour

2A C3 on veut montrer que x^2\leqslant x   donc x^2-x\leqslant 0 ou x(x-1)\leqslant 0  sur [0~;~1]
x\geqslant 0 et  x-1\leqslant 0   par conséquent  x^2-x \leqslant 0  ou x^2\leqslant x

question 2 d  q(x)-x=x(\text{e}^{x-1}-x)=x \left (\text{e}^{x-1}-1\right)

x \geqslant 0   montrons que  \text{e}^{x-1}\leqslant 0 \text{ sur } [0~;~1] rien à faire  cela a été fait à la question 1 b

Posté par
hekla
re : ● DM sur le coefficient de Gini 24-03-18 à 14:22

Plus la courbe est proche de la droite plus il y a égalité  donc  la plus inégale est P

voir cette vidéo

Posté par
fenamat84
re : ● DM sur le coefficient de Gini 24-03-18 à 14:38

Bonjour,

1a) Tu pouvais néanmoins barrer ton "1" inutile devant l'exponentielle !
On a donc : g'(x) = e^(x-1).

Citation :
Vu que e^x>0 la fonction g est croissante sur [0 ; 1]


Justification un peu rapide...
x-1 est croissante sur [0;1] et e^x l'est aussi sur [0;1].
Donc  g est croissante sur [0;1] par composition de fonctions.

1b)  
Citation :
f(0)=-0,64 et f (1)=0 vu que e^0 - 1 = 1 - 1 = 0


Erreur d'écriture...
C'est g(0) = .... et g(1)=0 pas f !
De plus pour le résultat de g(0), gardes la valeur exacte et pas une valeur approchée !! => g(0) = e^(-1) - 1 = (1/e) -1 < 0.
Donc g est bien de signe négatif en effet.

2a)
Citation :
Pour C3 je ne vois pas comment s'en sortir parce que cela ferait p (x)<=x donc x^2 <=x donc x^2-x=0 et après je suis perdu faut-il utiliser un discriminant ou bien je me suis planté carrément  sur la méthode ?


Déjà c'est x² -  x <= 0 !! Et non pas = 0 ... C'est une inéquation à résoudre pas une équation...
Tu peux factoriser par x soit encore x(x-1) <=0 .
Et là, tu ne dois pas trop avoir de souci pour résoudre cette inéquation et vérifier la condition (C3).  

2b) Ok.
2c) Tu remarques surtout que q'(x) = (1+x)g'(x) !
Or g' est positive sur [0;1] (d'après la question 1a) et 1+x l'est aussi sur [0;1].
Donc q' est positive sur [0;1] par produit de fonctions.
Donc q est croissante sur [0;1] et la condition (C2) est vérifiée.

2d)
Citation :
xe^(x-1)-x=xe^(x-1)-1


Grossière erreur !!
ll manque les crochets de la factorisation !!
xe^(x-1) - x = x[e^(x-1)-1] = xg(x) !!
Il ne te reste qu'à démontrer que xg(x) <=0 !

Or que peux-tu dire du signe de g d'après la question 1b ?

4a) Peux-tu représenter graphiquement l'intégrale f ?
Et il faut savoir que :
Aire du domaine situé entre le segment [OA] et la courbe f = Aire du triangle OAB - l'intégrale de f.

4b) Tu sais que Q est la primitive de q, donc tu peux calculer son intégrale !
\int_0^1q(x)dx=[Q(x)]_0^1=...

Posté par
fenamat84
re : ● DM sur le coefficient de Gini 24-03-18 à 14:43

@Hekla : En effet, j'ai omis cette question...
C'est p (et pas q) où la répartition salariale semble la plus inégale.

Posté par
lololo54
re : ● DM sur le coefficient de Gini 24-03-18 à 14:43

Merci pour vos réponses,  surtout fenamat84 ! Je compléterai d'ici demain à tête reposée et je vous fais signe si j'ai encore besoin  de votre aide.

Posté par
hekla
re : ● DM sur le coefficient de Gini 24-03-18 à 14:51

4 a on calcule l'aire de OAB normalement

G  est l'aire située entre la droite y=x la courbe et les droites x=0 et x=1 divisée  par l'aire de OAB

\displaystyle  \int_0^1 (x-f(x))\mathrm{d}x=\int_0^1x\mathrm{d}x -\int_0^1f(x)\mathrm{d}x

\displaystyle  \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1-\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x

d'où G=\dfrac{  \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1-\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x}{\text{aire de  }\  AOB}



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