Niveau exercices

A, B… mais surtout pas C !

Posté par
flight 03-12-25 à 23:53

Bonsoir ,

je vous propose l'exercice suivant : Trois trains A, B et C arrivent à une station.
Leurs temps d'arrivée sont modélisés par des variables aléatoires indépendantes, suivant des lois exponentielles de temps moyen respectif 4 minutes pour A, 6 minutes pour B et 10 minutes pour C.

À chaque fois qu'un train arrive, on ne regarde que le premier des trois.
Si ce train est C, on ne monte pas et on recommence l'attente à zéro, indépendamment de tout ce qui s'est passé avant.
Si ce train est A ou B, on monte et l'expérience s'arrête.

On note :
N le nombre de trains observés avant de monter,
T le temps total d'attente avant de monter.

Questions :

Déterminer l'espérance de N.

Déterminer l'espérance de T.

Posté par re : A, B… mais surtout pas C ! 05-12-25 à 15:59

Bonjour,

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Posté par re : A, B… mais surtout pas C ! 05-12-25 à 17:49

En prime, une simulation en Python :

import random as rd

def premiertrain() :
# retourne le temps d'attente du premier train
# et dit si ce premier train est bon
    a=rd.expovariate(1/4)
    b=rd.expovariate(1/6)
    c=rd.expovariate(1/10)
    m=min(a,b,c)
    return (m, (m==a) or (m==b))

def premierbontrain() :
# retourne le nombre de trains pour en avoir un bon
# et le temps d'attente de ce premier bon train
    N=0 ; T=0 ; fin=False
    while fin==False :
        N+=1
        t,y=premiertrain()
        T=T+t
        fin=y
    return (N,T)

def essais(n) :
# calcule les moyennes sur n essais
    totN=0 ; totT=0
    for _ in range(n) :
        N,T=premierbontrain()
        totN=totN+N
        totT=totT+T
    return (totN/n,totT/n)

Posté par re : A, B… mais surtout pas C ! 09-12-25 à 09:49

Bonjour GBZM .... très belle réponse et tout est ok , bravo

Posté par re : A, B… mais surtout pas C ! 09-12-25 à 11:19

Bonjour,
Je n'ai pas expliqué la réponse, et la simulation ne donne pas la réponse exacte, elle permet juste de voir l'accord avec celle-ci.
Des calculs en Sagemath pour obtenir la réponse exacte (pas vraiment besoin de cet outil pour calculer les intégrales, mais ça permet d'expliciter les calculs) :

# les temps d'attente de A (resp. B, resp. C)
a,b,c=var("a,b,c")

dens=1/240*exp(-(a/4+b/6+c/10)) # la densité conjointe
# calcul de la proba d'arrivée en premier de A (resp. B, resp. C)
pA=integrate(integrate(integrate(dens,c,a,+infinity),b,a,+infinity),a,0,+infinity)
pB=integrate(integrate(integrate(dens,a,b,+infinity),c,b,+infinity),b,0,+infinity)
pC=integrate(integrate(integrate(dens,b,c,+infinity),a,c,+infinity),c,0,+infinity)
pA,pB,pC

(15/31, 10/31, 6/31)

Le nombre de trains pour l'arrivée d'un A ou B suit donc une loi géométrique de paramètre 25/31.

# calcul de l'espérance du temps d'attente de A (resp.B, resp. C) 
# sachant que A (resp.B, resp. C) arrive en premier
eA=integrate(integrate(integrate(a*dens,c,a,+infinity),b,a,+infinity),a,0,+infinity)/pA
eB=integrate(integrate(integrate(b*dens,a,b,+infinity),c,b,+infinity),b,0,+infinity)/pB
eC=integrate(integrate(integrate(c*dens,b,c,+infinity),a,c,+infinity),c,0,+infinity)/pC
eA,eB,eC

(60/31, 60/31, 60/31)

# espérance du temps d'attente d'un A ou d'un B
T=var("T")
solve(T == eA*pA+eB*pB+(eC+T)*pC,T)

[T == (12/5)]

Posté par re : A, B… mais surtout pas C ! 09-12-25 à 21:06

Bonsoir,
il est facile de voir que le minimum de deux lois exponentielles indépendantes de paramètres respectifs a et b suit une loi exponentielle de paramètre a+b avec les fonctions de répartitions :

$(1-e^{-at})+(1-e^{-bt})-(1-e^{-at})(1-e^{-bt})=1-e^{-(a+b)t}.$

Et $\frac14+\frac16=\frac5{12}.$

Il n'est pas vraiment utile d'utiliser un logiciel pour faire ce calcul.