Bonjour
Il me semble qu'il y a un problème si tous les points sont alignés
Imod

Bonsoir derny.
Il me semble qu'il manque une condition.
Si tous les points sont sur une ligne du quadrillage il n'y a pas de maximum.

Il manque 2 conditions. Pas plus de 2 points alignés et pas plus de 3 pts sur un même cercle.

Bonjour
Trouver 3 pts c'est très facile. 4 pts facile. 5 pts ou plus : pas facile.

Je sais par expérience qu'un problème mal lancé et corrigé à postériori a du mal à trouver un public ( personnellement je n'ai pas commencé à chercher ) .  Le problème est-il celui-là :

Quel est le nombre maximum de points que l'on peut placer aux nœuds d‘un quadrillage orthonormé de façon à ce que trois points ne soient jamais alignés , quatre points jamais cocycliques et que la distance entre deux de ces points soit toujours entière ?

Imod

Si c'est le cas :

Trois points : les sommets d'un triangle 3-4-5 .
Quatre points : un parallélogramme ou un losange construit en juxtaposant deux ou quatre des triangles précédents .

Imod

C'est tout à fait ça Imod.

En fait ça marche avec le losange mais pas avec le parallélogramme . La suite semble bien plus compliquée  .
Imod

J'ai cherché un peu et je n'ai pas trouvé de configurations à cinq points . Puisque tu as la solution , peux tu simplement indiquer si  quatre points est le maximum , sinon tu risques de rester seul en laissant tout le monde sur la touche
Imod

Imod, comme tu es le chef. J'obéis. Il y a des configurations à 5 et 6 points. D'autres précisions à venir car je dois partir.

Je ne suis le chef de rien du tout mais simplement l'un des deux seuls  participants . Je demandais simplement un renseignement , il y a des choses qui semblent évidentes à ceux qui  ont la solution sous les yeux et qui le sont bien moins à ceux qui ne l'ont pas .

Nous pouvons donc continuer à chercher des solutions à 5 et 6 points

Imod
  

Bonsoir,
j'ai trouvé une configuration à six points.
Mais j'avais malheureusement oublié la condition : il n'y a pas quatre points cocycliques.

Une piste de recherche : on cherche deux triangles pythagoriciens ayant la même hypoténuse  pour faire une figure genre

Bonsoir Verdurin

Le problème avec ce type de figures est que tous les points seront cocycliques .
Imod

Bonjour
Imod je pensais que tu avais cet article dans tes archives. En effet, lorsque j'avais  publié « Comment placer 11 carrés unité dans le plus petit carré » paru dans la revue « Pour la Science » tu avais tout de suite donné la solution (très difficile) sans laisser le moindre temps de recherche aux autres. C'est dans cette même revue que j'ai retrouvé cet article sur les points à distances entières. J'ai fait une recherche sur Internet pour voir si …. mais je n'ai rien trouvé qui puisse nous (vous) mettre sur la voie. En fait l'article ne parle pas que des points sur quadrillage. Sur quadrillage on les appelle « amas de points » sinon « lots de points ». C'est un amas de 5 et un amas de 6 qui sont dessinés et on ne sait pas s'il existe un amas de 7 (quand l'article est paru en 1991).
Avant de parler des cas 5 et 6 points, parlons des configurations à 4 points. Il y a une manière de trouver des configurations « lots ». Il y a très longtemps j'avais établi la formule reliant le côté d'un triangle équilatéral aux 3 distances aux sommets d'un point quelconque (intérieur ou extérieur au triangle). Cette formule m'avais permis de trouver des triangles équilatéraux avec un point intérieur où toutes les distances sont entières. Le plus petit fait 112 de côté et les 3 distances aux sommets sont 57, 65, 73 (voir croquis). Le suivant fait 147 avec 73, 88, 95. On a en fait 3 points à l'intérieur aux mêmes caractéristiques. Ils forment un triangle équilatéral. Malheureusement les côtés de ce triangle sont irrationnels. Dommage car sinon on aurait eu un « lot » de 6 points.
J'avais aussi trouvé le plus petit triangle « quelconque » qui donne un « lot » de 4 points. C'est 8, 19, 22 avec 4, 6, 17 les 3 distances aux sommets (voir croquis). Dans ce cas on a même 6 valeurs différentes.
Pour l'amas de 5 points donné la plus grande des distances est 78 et 1886 pour l'amas de 6 points. Autant dire impossible à trouver sans un programme informatique approprié. L'article date pourtant de 1991.

Le plus petit "lot" de 4 points.

Je n'ai aucune revue de maths chez moi , ce que je peux glaner sur la toile suffit largement à me remplir la tête

Je ne me souviens plus du problème dont tu parles mais s'il s'agit de "packages" , il y a des sites qui répertorient les derniers résultats connus . Tes histoires de lots m'ont l'air bien complexes , on peut facilement trouver quatre points qui satisfont tes conditions (-4,0) , (4,0) , (0,-3) , (0,3) . Si on ajoute d'autres points on tombe sur des systèmes d'équations diophantiennes qui deviennent vite galère

Imod

Bonjour
Ci-joint l'amas de 5 points présenté dans l'article de "Pour la Science".
Pas facile à trouver en effet.

La figure avec cinq points convient parfaitement et voilà ce qui fait marcher le truc :

La figure laisse quand même pas mal d'interrogations . On utilise trois décompositions de 65² en somme de deux carrés ( l'une d'elle pourrait utiliser un demi-entier ) mais il faut surtout que la somme des angles en A fasse 90° ce qui est le cas ici .
Ma question : 85² et bien d'autres peuvent être décomposés en sommes de deux carrés d'au moins trois façons . Peut-on par exemple réaliser une figure  comme celle de Derny avec 85 à la place de 65 ?
Imod  

Bonjour
J'ai trouvé "un lot" de 5 points avec seulement 2 distances identiques.

Je ne pense pas que les coordonnées de E soient entières .
Imod

Oui c'est "un lot" pas "un amas" expliqué dans mon message du 18.

Je n'avais pas compris la différence entre "lot" et "amas" , apparemment l'un est lié au quadrillage et l'autre pas . Je reste sur la question initiale et plus précisément sur la figure à cinq points . J'avais proposé de remplacer 65 par 85 sur l'illustration proposée car 85 a comme 65 quatre décompositions en somme de deux carrés ( non nuls ) . Curieusement ça fonctionne aussi bien , on doit nous cacher quelque chose

J'aime aussi m'amuser avec des figures bizarres mais pour moi le vrai plaisir est de comprendre les mécanismes cachés  , chacun son truc .
Imod

Tu as raison Imod. Quand on peut comprendre comment c'est "fabriqué" c'est plus intéressant. Avec 85 comment trouver un amas de 5 ?
Je vais mettre (le temps que je fasse le croquis avec Geogebra) l'amas de 6 points de l'article. Et là, difficile d'y voir une construction simple.

Non , en fait ça ne marche pas avec 85
La construction fonctionne à l'identique mais   n'est pas entier .
Imod

Le + petit amas de 6 pts

Le + petit lot de 6 pts

Oui , on a tout de même affaire à de vrais petits monstres , ce qui ne donne pas vraiment envie d'aller voir plus loin
Imod