Calculer |z'-i|*|z+i|

z' - i = [(iz-2)/(z+i)] - i = (iz-2-iz+1)/(z+i) = -1/(z+i)
|z'-i| = 1/|z+i|

|z'-i|*|z+1| = 1
---------
Avec z = x + iy
si M est sur le cercle de centre A(0 ; -1) et de rayon 2, on a:

x² + (y+1)² = 4   (équation de ce cercle).    (1)

On a montré que:
z' - i =-1/(z+i)

z' - i = -1/(x + i(y+1))
z' - i = -(x - i(y+1))/[(x + i(y+1))(x - i(y+1))]
z' - i = -(x - i(y+1))/[(x² + (y+1)²]
z' - i = -(x - i(y+1))/4
z' - i = (-x + i(y+1))/4

z' = [(-x + i(y+1))/4] + i
z' = [(-x + i(y+1))+4i]/4
z' = [-x + i(y+5)]/4

En posant z' = X + i.Y
on a:
X = -(1/4)x            (3)
Y = (1/4).(y+5)       (4)

(1) -> x = +/- racine(4 - (y+1)²)
remis dans (3) ->

X = +/- (1/4).racine(4 - (y+1)²)     (5)

(4) -> y = 4Y - 5
remis dans (5) ->
X = +/- (1/4).racine(4 - (4Y-5+1)²)    
X = +/- (1/4).racine(4 - (4Y-4)²)
Elevons au carré ->
X² = (1/16).(4 - (4Y-4)²)
X² = (1/16).(4 - (16Y² - 32Y + 16))
X² = (1/16).(-16Y² + 32Y - 12)
X² = -Y² + 2Y - (3/4)
X² + Y² - 2Y = -(3/4)
X² + Y² - 2Y + 1 - 1 = -(3/4)
X² + (Y-1)² - 1 = -(3/4)
X² + (Y-1)² = (1/4)

X et Y étant les coordonnées de M'.
M' est donc sur le cercle de centre(0 ; 1) et de rayon 1/2
------------
ensemble des points M tel que |z'|=1

z'= (iz-2)/(z+i)  
z' = (-2-y + ix)/(x + i(y+1))
|z'|² = [(2+y)²+x²] / [x² + (y+1)²] = 1
[(2+y)²+x²] = [x² + (y+1)²]  
(2 + y)² = (y+1)²
2 + y = +/-(y + 1)
2 + y = y + 1 est impossible

2 + y = -(y + 1)
2y = -1
y = -1/2  quel que soit x
-> c'est une // à l'axe des réels d'ordonnée y = -1/2
---------------
Aux erreurs de calculs près.
Refais-les.

Remarque:

Tant qu'à faire, essaie de ne pas estropier mon pseudo.

J-P et pas J-B

A+

Bonjour,

Peux-tu me renseigner concernant la question "le point M' reste sur
un cercle dont on précisera  le centre et le rayon " que je n'aurai
pas traité comme toi (remaque: cela fait des années que je n'ai
pas traité ce genre d'exercices)



M d'affixe z. A(0,-1) => affixe de a = -i

Si |z+i| = 2 => M décrit un cercle de centre A et de rayon 2  
                  
Comme |z'-i|*|z+1| = 1  => |z' -i| = 1/2

               => M' décrit un cercle de centre (0,1) et de rayon
1/2


Merci pour tes remarques.

A+

Ce qui a déjà de bien, c'est qu'on aboutit à la même conclusion,
soit que : M' est sur le cercle de centre(0 ; 1) et de rayon
1/2

Je n'ai pas plus l'habitude que toi de traiter ce genre de
problème.

Pour moi, ta solution est limpide et directe. Elle est donc la meilleure.

La mienne arrive à la même conclusion et est donc aussi probablement
correcte mais plus tortueuse.
Le plus court chemin d'un point à un autre étant la ligne droite,
ta solution est préférable.

A+

Bonjour,

Merci beaucoup J-P.



|z'| = 1 <=> |(iz-2)/(z+i)  | = 1
             <=> |z + 2i| = | z + i|

Soient A (0,-2), B (0, -1) et  M d'affixe z

  <=> MA = MB
  <=> M est sur la bissectrice du segment AB

Soit H le point d'intersection entre AB et cette bissectrice
=> H milieu du segment AB => H (0,-3/2)

L'équation de la bissetrice est / HM.AB = 0 (vecteurs)

AB ( 0, 1) vecteur
HM ( x, y+3/2) vecteur

D'ou y = -3/2


A+

Je reprends la fin de mon calcul:

2 + y = -(y + 1)
2y = -3
y = -3/2  quel que soit x  
-> c'est une // à l'axe des réels d'ordonnée y = -3/2
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Encore bien que j'avais écris "Aux erreurs de calculs près".