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Posté par
1 Schumi 1re : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 11:48

--> Cauchy,

Citation :
Montrer qu'il existe des intervalles aussi grands que l'on souhaite qui ne comportent aucun nombre premier.


Soit n\ge 1, alos il est évident que la liste de nombre successifs suivants (n+1)!+2, (n+1)!+3, ...(n+1)!+n, (n+1)!+n+1 ne contient aucun nombre premier.
On peut prendre n aussi grand que l'on veut. On en déduit donc qu'il existe des intervalles aussi grand que l'on veut ne contenant aucun nombre premier.


Ayoub.

Posté par
1 Schumi 1re : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 13:28

--> Cauchy,

Citation :
Une inégalité :

Soient (a_i) : 1\le i\le n des réels strictement positifs.

Montrer que: (\Bigsum_{i=1}^{n} a_i)(\Bigsum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i})\ge n^2


Bon, let us go.
Résultat préliminaire.
Prenons le cas n=2, et démontrons que la propriété est vraie.

Pour tout nombre a_i et a_j strictement positifs, on a:
\textrm (\Bigsum_{i=1}^{n} a_i)(\Bigsum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i})\ge n^2
\textrm \Longleftrightarrow (a_i+a_j)(\frac{1}{a_i}+\frac{1}{a_j}) \ge 2^2
\textrm \Longleftrightarrow \frac{a_i}{a_i}+\frac{a_j}{a_j}+\frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i}\ge 4
\textrm \Longleftrightarrow \frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i}\ge 2
\textrm \Longleftrightarrow a_i^2+a_j^2\ge 2a_ia_j
\textrm \Longleftrightarrow a_i^2-2a_ia_j+a_j^2 \ge 0
\textrm \Longleftrightarrow (a_i-a_j)^2\ge 0
Ce résultat est bien évidemment vrai pour tout a_i et a_j strictement positif.
On en déduit donc le résultat fondamental suivant :
\textrm \forall (a_i,a_j)\in \mathbb{R}^{+*}^2,        \textrm \frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i}\ge 2

Cas général.
Prenons désormais n quelconque,
On a alors :
\textrm (\Bigsum_{i=1}^{n}a_i)(\Bigsum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i})=(a_1+a_2+a_3+...a_n)(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}...+\frac{1}{a_n})
=\textrm\underb{\frac{a_1}{a_1}+\frac{a_1}{a_2}+...+\frac{a_1}{a_n}}_{n termes}+\underb{\frac{a_2}{a_1}+\frac{a_2}{a_2}+...+\frac{a_2}{a_n}}_{n termes}+...+\underb{\frac{a_n}{a_1}+\frac{a_n}{a_2}+...+\frac{a_n}{a_n}}_{n termes}
=\textrm \underb{\frac{a_1}{a_1}+\frac{a_2}{a_2}+...+\frac{a_n}{a_n}}_{=n}+\underb{\frac{a_1}{a_2}+...+\frac{a_1}{a_n}}_{n-1 termes}+\underb{\frac{a_2}{a_1}+...+\frac{a_2}{a_n}}_{n-1 termes}+...+\underb{\frac{a_n}{a_1}+\frac{a_n}{a_2}+\frac{a_n}{a_{n-1}}}_{n-1 termes}
Finalement on a donc:
\textrm (\Bigsum_{i=1}^{n}a_i)(\Bigsum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i})\ge n^2
\textrm \Longleftrightarrow \textrm \underb{\frac{a_1}{a_1}+\frac{a_2}{a_2}+...+\frac{a_n}{a_n}}_{=n}+\underb{\frac{a_1}{a_2}+...+\frac{a_1}{a_n}}_{n-1 termes}+\underb{\frac{a_2}{a_1}+...+\frac{a_2}{a_n}}_{n-1 termes}+...+\underb{\frac{a_n}{a_1}+\frac{a_n}{a_2}+\frac{a_n}{a_{n-1}}}_{n-1 termes}\ge n^2

\textrm \Longleftrightarrow \textrm \frac{a_1}{a_2}+...+\frac{a_1}{a_n}+\frac{a_2}{a_1}+...+\frac{a_2}{a_n}+...+\frac{a_n}{a_1}+\frac{a_n}{a_2}+\frac{a_n}{a_{n-1}}\ge n^2-n      Il y a n(n-1) termes dans le membre de droite.

\textrm \Longleftrightarrow \underb{(\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_1})}_{\ge 2}+\underb{(\frac{a_1}{a_3}+\frac{a_3}{a_1})}_{\ge 2}+...+\underb{(\frac{a_1}{a_n}+\frac{a_n}{a_1})}_{\ge 2}+\underb{(\frac{a_2}{a_3}+\frac{a_3}{a_2})}_{\ge 2}+\underb{(\frac{a_2}{a_4}+\frac{a_4}{a_2})}_{\ge 2}+...+...\ge n(n-1)
On a donc dans le membre de droite n(n-1)/2 regroupements 2 à 2, et chaque parenthèse est supérieure ou égale à 2.
L'inégalité est donc vérifiée.

On a donc:
4$\textrm \fbox{\forall (a_1,a_2,a_3,...,a_n)\in \mathbb{R}^{+*}^n, (\Bigsum_{i=1}^{n}a_i)(\Bigsum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i})\ge n^2}


Ayoub.

P.S: Merci Cauchy pour cet exo. Il m'a bien occupé 24 heures.

Posté par
raymond Correcteurre : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 13:45

Bonjour.

Il faut trouver tous les entiers n dont le nombre de diviseurs est premier. Naturellement, si n est premier, cela est évident puisque D(n) = 2.
Mais prends par exemple n = 81, D(81) = 5 qui est bien premier.
A toi de me trouver tous les entiers n tels que D(n) soit premier.

A plus RR.

Posté par
1 Schumi 1re : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 13:47

En fait D(n) ne peut être impaire que si n est un carré parfait. Je me trompe ?


Ayoub.

Posté par
1 Schumi 1re : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 14:25

Bon ok d'accord, je vais recommencer à chercher.

Posté par
Cauchyre : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 14:33

Salut Schumi,

c'est parfait pour mes deux exos

Posté par
1 Schumi 1re : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 15:27

Merci de confirmer et encore meci pour les exos, ca m'a bien occupé. C exactement le genre d'exos qu'il me fallait.


Ayoub.

Posté par
1 Schumi 1re : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 15:38

-->raymond,

D(n) ne peut être premier que si n est premier ou si n est un carré parfait.
Dans le cas où n est premier, c évident.
Dans le cas où n est un carré parfait, alors on décompose sa racine de la forme suivante:
\textrm \sqrt{n}=\Bigprod_{i=1}^{n}p_i^{a_i}. Où p_i sont tous des nombres premiers.
Je sais pas si ce que je vais écrire est satisfaisant, mais bon dis moi au moins si je suis sur la bonne voie. J'y connais pas grand chose sur les nombres premiers alors, tu comprends ...
Bref, \textrm D(n) premier \Longleftrightarrow 2\Bigprod_{i=1}^{n}(a_i+1) +1 est premier.


Ayoub.

P.S: Prière de ne pas fusiller en cas d'ineptie.Merci

Posté par
Cauchyre : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 15:40

Joli ta démo de l'inégalité

En fait il y a un moyen beaucoup plus rapide de répondre quand on connait l'inégalité de Cauchy-Schwarz mais j'attendais bien sur ta démo

Posté par
1 Schumi 1re : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 15:45

évidemment, l'ingalité de Cauchy Schwarz. On en aurait dû s'en douter. .
Le "Schwarz" se réfèrre bien au célèbre mathématicien français ?


Ayoub.

Posté par
Cauchyre : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 15:52

Non c'est l'allemand Hermann Schwarz qui a vécu au 19eme ,Laurent Schwartz avec un t c'est le mathematicien francais qui est décédé il y a quelques années.

Posté par
1 Schumi 1re : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 15:53

Ah, ok.
Et elle dit quoi cette inégalité ?

Posté par
stellare : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 15:55

Vous êtes complètement masos....

Stella

Posté par
1 Schumi 1re : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 15:56

Pourquoi ?

Posté par
stellare : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 16:00

Bah parce qu'il n'y a pas que les maths dans la vie.
Bon je rigole, car cela te permet de réviser pour ton bac et quand on aime on ne compte pas....

Posté par
Cauchyre : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 16:06

Regarde ici par exemple(flemme de te la taper )



Salut stella

Posté par
raymond Correcteurre : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 16:21

Bonjour tout les accros des math.

1 Schumi 1. Pour t'aider, je te rappelle un résultat que tu ne connais peut-être pas.
Soit n entier > 1 et D(n) le nombre de ses diviseurs. Alors, si l'on introduit la décomposition en facteurs premiers de n, on a :

3$\textrm n = p_1^{a_1}.p_2^{a_2} ... p_k^{a_k} => D(n) = (a_1 + 1)(a_2 + 1) ... (a_k + 1)

A plus RR.

Posté par
stellare : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 16:30

Salut Cauchy
Toi aussi tu t'ennuies.....

Posté par
Cauchyre : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 16:46

Non je fais des maths et je propose des exos pour Schumi mais la faut que j'en cherche un autre j'en ai pas la de tete

Posté par
stellare : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 16:49

Alors amusez-vous bien mais sans moi....

Posté par
Cauchyre : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 17:04

Joins toi à nous

Posté par
stellare : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 17:08

Je voudrais bien mais je n'ai pas le niveau....
Vous êtes des têtes, moi elle est toute petite...

Posté par
Cauchyre : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 17:11

Ok bon bien à plus sur d'autres sujets peut etre

Posté par
stellare : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 17:17

Ok A plus et à bientôt sur d'autres sujets où tu interviendras certainement pour m'aider.

Posté par
infophilere : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 19:10

Dis voir Cauchy tu n'aurais pas un exercice sur injection/surjection à me proposer ? (Nan parce que j'ai un bouquin mais je regarde trop rapidement la correction )

Posté par
1 Schumi 1re : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 19:17

--> Nightmare,


\textrm (\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{n+n})=ln2
Je suis passée par la suite harmonique.
La démo dans un prochain post, je commence à être fatigué.

Ayoub.

Posté par
1 Schumi 1re : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 19:18

Euh, du moins, "je suis passé."*

Posté par
1 Schumi 1re : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 19:20

Bonjour infophile,

C MON TOPIC, CE SONT MES EXOS. C'EST CHASSE GARDEE ICI. T'AVAIS QU'A Y PENSER AVANT.


Ayoub.

P.S: Je plaisante, bien évidemment.

Posté par
infophilere : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 19:21

Bon, bon je vais créer un topic

Posté par
Nightmarere : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 19:26

Tiens infophile, un exo sympathique :

Soit \rm (u_{n})_{n} une suite réelle et f une application de \rm \mathbb{N} dans \rm \mathbb{N}

Démontrer que :
a) Si f est injective et si \rm (u_{n})_{n} est convergente alors \rm (u_{f(n)})_{n} converge
b) Si f est surjective et si \rm (u_{f(n)})_{n} est convergente alors \rm (u_{n})_{n} est convergente
c) Si f est bijective alors (u_{n})_{n} convergente équivaut à \rm (u_{f(n)})_{n} convergente

Posté par
infophilere : A la recherche d'exos tordus ... 28-12-06 à 19:34

Merci jord, j'essaye ça dans la soirée

Posté par
1 Schumi 1re : A la recherche d'exos tordus ... 29-12-06 à 14:35

-->raymond,

non effectivemtn je ne connaissais pas ce résulat.
Enfin, je l'avais démontré en cours de route mais sans y apporter une quelconque attention.
Donc si je me réferre à ce que tu le donnes,
D(n) est premier <==> n s'écrit sous la forme p^a avec p premier et a tel que a+1 soit premier.

C ca ?

Ayoub.

P.S: prière de ne pas fusiller en cas d'ineptie. Merci.

Posté par
Cauchyre : A la recherche d'exos tordus ... 29-12-06 à 15:37

Bonjour,

allez un petit exo d'arithmetique pas trop difficile.

Soit n>=2.

La somme de n nombres impairs consecutifs peut-elle etre un nombre premier?

Posté par
infophilere : A la recherche d'exos tordus ... 29-12-06 à 15:42

Bonjour

Sans réfléchir (je tente )

Si n est pair alors la somme ne peut être un nombre premier.
Si n est impair c'est possible (exemple : 1+5+13=19)

Posté par
1 Schumi 1re : A la recherche d'exos tordus ... 29-12-06 à 15:43

consécutifs, infophile.
n nombre impaire consécutifs.

Posté par
Cauchyre : A la recherche d'exos tordus ... 29-12-06 à 15:45

Citation :
Sans réfléchir


Sans lire

Posté par
infophilere : A la recherche d'exos tordus ... 29-12-06 à 15:45

Oups

Posté par
infophilere : A la recherche d'exos tordus ... 29-12-06 à 15:50

Bon ben j'y réfléchirais quand j'aurais terminé ma philo

Posté par
1 Schumi 1re : A la recherche d'exos tordus ... 29-12-06 à 15:54

Cauchy,

C'est impossible. La somme est toujours factorisable par (n+1). Où n+1 est le nombre de termes dans la somme.

C ca ?

Ayoub.

Posté par
Cauchyre : A la recherche d'exos tordus ... 29-12-06 à 15:54

Ok ok Schumi repond en blanqué

Posté par
1 Schumi 1re : A la recherche d'exos tordus ... 29-12-06 à 15:55

Ya pas de "blanqué".


Ayoub.

P.S: faut appeler minkus.

Posté par
Cauchyre : A la recherche d'exos tordus ... 29-12-06 à 16:01

Et bien il a pas tenu longtemps cet exo

Posté par
Nightmarere : A la recherche d'exos tordus ... 29-12-06 à 16:01

Soit k un nombre impair
Snk+(k+2)+(k+4)+...+(k+2n)
On a :
Sn=nk+2(1+2+...+n)
soit
Sn=nk+(n+1)n
d'où
Sn=n=n(k+n+1)

Posté par
infophilere : A la recherche d'exos tordus ... 29-12-06 à 16:03

Encore un privilège de rouge ?

Posté par
Cauchyre : A la recherche d'exos tordus ... 29-12-06 à 16:10

Un autre pas trop dur:

Montrer que 3$ a=b(n)3$ a^n=b^n(n^{2})

Posté par
1 Schumi 1re : A la recherche d'exos tordus ... 29-12-06 à 18:32

--> Cauchy,

Ca serait pas plutôt :
\textrm a\equiv b [n] \Longrightarrow a^n\equiv b^n [n^2]
?

Posté par
Cauchyre : A la recherche d'exos tordus ... 29-12-06 à 18:33

C'est ce que j'ai ecrit non?

Posté par
1 Schumi 1re : A la recherche d'exos tordus ... 29-12-06 à 18:33

Euh pour moi, \equivdifférent de "="

Posté par
infophilere : A la recherche d'exos tordus ... 29-12-06 à 18:34

Oui c'est différent mais on pouvait le deviner

Posté par
Cauchyre : A la recherche d'exos tordus ... 29-12-06 à 18:36

Schumi que voulait tu donner comme sens à ce que j'avais ecrit sinon?

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