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A partir de la loi de Poisson

Posté par
H_aldnoer 23-06-08 à 18:38

Bonsoir,

voici un petit sujet de proba sur leque je bloque :
Soit \Large{X\sim\mathcal{P}(\lambda) avec \Large{\lambda>0} et soit \Large{Y=4[\frac{X}{2}]-2X+1}.
(\Large{[.] désignant la partie entière)

1) Quelles sont les valeurs prises par \Large{Y}.
2) Déterminer la loi de \Large{Y}.
3) Déterminer l'espérance de \Large{Y}.
4) Déterminer la variance de \Large{Y}.

---

Pour la question 1), c'est simple : les valeurs prises par la variable aléatoire \Large{Y} sont 1 et -1.
A partir de la question 2), je bloque.
Je ne vois pas comment faire. Pouvez-vous m'aidez ?
Merci!

Posté par
robby3re : A partir de la loi de Poisson 23-06-08 à 18:48

\large P(Y\le k)=P(4.[\frac{X}{2}]-2x\le k-1)=P(-\frac{X}{2}\le \frac{k-1}{4}-[\frac{X}{2}])=P(X\ge 2.[\frac{X}{2}]+\frac{1-k}{2})=1-P(X\le 2.[\frac{X}{2}]+\frac{1-k}{2})

essayer de trouver la loi de [\frac{X}{2}] serait une bonne idée je pense...

Posté par
H_aldnoerre : A partir de la loi de Poisson 23-06-08 à 18:55

Et comment trouve-t-on cette loi justement ?
Si nous avions \Large{Y=[\frac{X}{2}]} je n'aurai répondre aux autres questions!

Une piste ?

Posté par
robby3re : A partir de la loi de Poisson 23-06-08 à 19:02

\rm X prend ses valeurs dans N non? \\ donc [\frac{X}{2}] prend ses valeurs dans N aussi non?

ensuite \large P([\frac{X}{2}]=k)=P(k\le \frac{X}{2}< k+1)=P(2k\le X< 2(k+1))=F_X(2(k+1))-F_X(2k)
ou F_X est la fonction de répartition de X...

non?

Posté par
robby3re : A partir de la loi de Poisson 23-06-08 à 19:07

ah non,j'ai les mauvaises inégalités pour conclure avec les fonctions de répartitions...

ça ressemble à un exercice que j'avais posté avec Stokastik qui m'avait particulierement bien aidé!

Posté par
H_aldnoerre : A partir de la loi de Poisson 23-06-08 à 19:07

Ah ouais je vois le truc!

Par contre c'est sur que \Large{\mathbb{P}(X<2(k+1))=F_X(2(k+1)) ? Car c'est une loi discrète non ? A priori, \Large{\mathbb{P}(X<2(k+1)) n'est pas nécessairement égal à \Large{\mathbb{P}(X \le 2(k+1)) dans le cas discret, si ?

Posté par
robby3re : A partir de la loi de Poisson 23-06-08 à 19:11

non mais P(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a) dans le cas discret.

Posté par
robby3re : A partir de la loi de Poisson 23-06-08 à 19:12

mais ça semble mal parti là...vu que X est une var discrete...je sais pas si on va vraiment s'en sortir là

Posté par
H_aldnoerre : A partir de la loi de Poisson 23-06-08 à 19:14

D'accord!
Sauf qu'ici, l'inégalité strict est de l'autre coté, ça change rien ?

\Large{\mathbb{P}([\frac{X}{2}]=k)=\mathbb{P}(k\le \frac{X}{2} < k+1).

Posté par
robby3re : A partir de la loi de Poisson 23-06-08 à 19:16

non mais l'idée de la fonction de répartition,c'est pas terrible là je crois

Posté par
H_aldnoerre : A partir de la loi de Poisson 23-06-08 à 22:28

Bon je sèche la.
Si l'on doit déterminer la loi \Large{[\frac{X}{2}]}, comment faire ?

J'arrive à un truc du genre \Large{\mathbb{P}([\frac{X}{2}]=k)=1-F_X(2k)+\mathbb{P}(X<2k+1).

Je ne suis pas sûr que \Large{\mathbb{P}(X<2k+1)=F_X(2k+1), est-ce le cas ?

Sinon, pour utiliser la remarque de robby, \Large{\mathbb{P}(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a), il y a comme un blocage car \Large{\mathbb{P}([\frac{X}{2}]=k)=\mathbb{P}(2k\le X< 2k+1) !

Posté par
robby3re : A partir de la loi de Poisson 23-06-08 à 22:33

c'est ce que je te dis à 19:07...
je crois qu'il faut oublier les fonctions de répartitions là.

Posté par
PILre : A partir de la loi de Poisson 23-06-08 à 22:44

Robby tu as raison, la fonction de répartition c'est très utile pour les va continues (on calcule la fonction de répartition et on en déduit la densité par dérivation) mais por les va discrètes il faut déterminer les valeurs possibles et ensuite calculer les proba de ces valeurs.
Ici, H_aldnoer a vu que Y prend les valeurs 1 et -1; il faut donc calculer P(Y=1) et P(Y=-1).
Quand l'événement "Y=1" est-il réalisé ?  je veux dire "pour quelles valeurs de X  a-t-on Y=1" ?

Posté par
H_aldnoerre : A partir de la loi de Poisson 23-06-08 à 22:48

Il semble que lorsque \Large{X=2k alors \Large{Y=1, et lorsque \Large{X=2k+1 alors \Large{Y=-1, non ?

Posté par
H_aldnoerre : A partir de la loi de Poisson 23-06-08 à 22:51

A-t-on que \Large{\mathbb{P}(Y=1)=\mathbb{P}(X=2k) et \Large{\mathbb{P}(Y=-1)=\mathbb{P}(X=2k+1) ?

Posté par
PILre : A partir de la loi de Poisson 23-06-08 à 22:52

Exact H_aldnoer; il te reste à calculer P(X est pair) !

Posté par
H_aldnoerre : A partir de la loi de Poisson 23-06-08 à 22:55

Avec la loi de Poisson :
\Large{\mathbb{P}(X=2k)=exp(-\lambda)\frac{\lambda^{2k}}{(2k)!} et \Large{\mathbb{P}(X=2k+1)=exp(-\lambda)\frac{\lambda^{2k+1}}{(2k+1)!}

c'est bien ça ?

Posté par
PILre : A partir de la loi de Poisson 23-06-08 à 22:58

Non, P(Y=1) = P(X est pair) = P(X=0 ou X=2 ou X=4 ou ...) = P(X=0) + P(X=2) + P(X=4) + ... et tu calcules la somme de cette série !

Posté par
H_aldnoerre : A partir de la loi de Poisson 23-06-08 à 23:06

Ah ok :

\Large{\mathbb{P}(Y=1)=\Bigsum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{P}(X=2k)=exp(-\lambda)\Bigsum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^{2k}}{(2k)!}=1

On trouve ensuite que \Large{\mathbb{P}(Y=1)=\mathbb{P}(Y=-1).

Posté par
PILre : A partir de la loi de Poisson 23-06-08 à 23:07

si possible ...
Bonne nuit !

Posté par
H_aldnoerre : A partir de la loi de Poisson 23-06-08 à 23:08

C'est une loi de Rademacher ?

Posté par
PILre : A partir de la loi de Poisson 23-06-08 à 23:10

Non, ta série ne vaut pas 1 : c'est la série "complète" qui vaut 1, ici tu ne prends que les puissances paires !

Posté par
H_aldnoerre : A partir de la loi de Poisson 23-06-08 à 23:22

Je ne vois pas comment faire l'étude de cette série.
Dois-je utiliser la relation \Large{exp(\lambda)=\Bigsum_{k}\frac{\lambda^{2k}}{(2k)!}+\Bigsum_{k}\frac{\lambda^{2k+1}}{(2k+1)!} ?

Posté par
H_aldnoerre : A partir de la loi de Poisson 24-06-08 à 00:32

Je trouve \Large{\mathbb{P}(Y=1)=\frac{1+exp(-2\lambda)}{2} et \Large{\mathbb{P}(Y=-1)=\frac{1-exp(-2\lambda)}{2}.

J'en déduis, sans conviction, que \Large{Y\sim\mathcal{R}(\frac{1+exp(-2\lambda)}{2}).

Posté par
H_aldnoerre : A partir de la loi de Poisson 24-06-08 à 00:37

Par suite, \Large{\mathbb{E}[Y]=exp(-2\lambda) et \Large{\mathbb{V}[Y]=1-exp(-4\lambda).

Posté par
PILre : A partir de la loi de Poisson 24-06-08 à 09:25

Bonjour H_aldnoer,

C'est parfait, bonne journée !

Posté par
robby3re : A partir de la loi de Poisson 24-06-08 à 11:39

peux-tu m'expliquer comment tu trouves P(Y=1) en utilisant 23:06 et 23:22??

Posté par
H_aldnoerre : A partir de la loi de Poisson 24-06-08 à 13:06

Voir le développement en série entière tu cosinus hyperbolique, comme ici Théorème de la limite centrale !

Robby, pourras-tu re-vérifier les calculs ici Probabilité : optimisation d'un agenda ?

Posté par
robby3re : A partir de la loi de Poisson 24-06-08 à 13:31

non mais tu écris P(Y=1)=exp(-\lambda)\Bigsum_{k=}^{+\infty} \frac{\lambda^{2k}}{(2k)!} \\
et exp(\lambda)=\Bigsum_{k=}^{+\infty} \frac{\lambda^{2k}}{(2k)!}+\Bigsum_{k=0}^{+\infty} \frac{\lambda^{2k+1}}{(2k+1)!}

qu'est ce que tu fais aprés?


Citation :
Robby, pourras-tu re-vérifier les calculs ici

>?? y'a quoi qui cloche là??
t'es pas sur des calculs?

Posté par
H_aldnoerre : A partir de la loi de Poisson 24-06-08 à 14:39

C'est quoi le développement en série entière du cosinus hyperbolique ?!

Citation :
t'es pas sur des calculs?

non!

Posté par
PILre : A partir de la loi de Poisson 24-06-08 à 17:44

Rebonjour !

Les résultats de 00:32 sont exacts !
Vous savez que toute fonction  f : est la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire :

3$\rm f(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2}

Pour f(x) = ex, on obtient : ex = cosh(x) + sinh(x).
Si f(x) = akxk, la "composante paire" est la série des puissances paires et la "composante impaire" est la série des puissances impaires.

Ainsi P(Y=1) = e- cosh() = e- (e+e-)/2 = (1+e-2)/2.

Posté par
robby3re : A partir de la loi de Poisson 24-06-08 à 18:05

ok!
merci.

Posté par
bryannjeware : A partir de la loi de Poisson 25-11-24 à 15:22

Moi j'ai un problème  quand on dicosh(X/[2[/K]× sinh(X/[2][/k];
Je suis is bloqué au niveau de
1:2 sinh2(X/[2[/k]


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