Bonjour

Un espace vectoriel normé est un excellent cadre pour faire des maths qui ressemblent beaucoup à la géométrie usuelle des espaces euclidiens.

Il y a des espaces sur lesquels on peut mettre des normes différentes et n'ayant pas les mêmes propriétés. Le même espace vectoriel muni d'une norme peut être complet et ne pas l'être s'il est muni d'une autre norme...

Bonjour.

Une norme est faite pour mesurer les vecteurs.

On veut une "longueur positive", c'est donc une application à valeur dans R+.

On veut que seul le vecteur nul ait une longueur nulle, d'où la propriété de séparation.

Il est naturel de penser que si l'on multiplie un vecteur par , alors sa "longueur" est multipliée par ||, d'où l'homogénéité.

Le chemin le plus court pour aller de u à v est la "droite" (u,v). Autrement dit la longueur la plus courte reliant u et v est N(u,v) (où N est la norme).
Donc si on passe par un vecteur w, la norme N(u,v) est la plus courte, ce qui s'écrit :
N(u,v)N(u,w)+N(w,v), d'où la propriété d'inégalité triangulaire.

ok
si je comprend bien une norme sert à mesurer des objets mathématiques
mais quelle est la différence avec une distance

Une distance est une fonction de deux variables.

Bonsoir,

Soit un espace métrique, i.e. un ensemble muni d'une distance vérifiant certains axiomes (que je te laisse découvrir).

Question : A-t-on besoin d'une structure particulière sur ?

Thierry