Bonjour,

il n'existe pas vraiment de théorème des accroissements finis en dimension > 1, regarde plutôt du côté de l'inégalité des accroissements finis qui se généralise bien à des espaces vectoriels normés de dimension finie.

Tu bloques sur la question 1) ou sur la question 2) ?

Salut, merci pour votre aide !

C'est déjà rien que pour la première partie de la question 1 que je bloque.

Bon, pour reprendre, je veux montrer que
Ça veut dire que je dois majorer par quelque chose qui tend vers 0.  Hum.

(Là je m'embrouille un peu parce que je me dis que puisque est dérivable, j'ai . Mais alors dans ce cas, je fixe bien l'une des variables à   et je fais tendre la seconde vers   et il me semblait que c'était pas bien de faire ça…)

Tu ne peux faire tendre z vers a qu'une fois que tu as démontré que est continue. Sauf que la question 1) te demande justement de montrer que phi est continue. Le serpent se mord la queue...


f est par hypothèse . Tu peux faire un développement limité de f à l'ordre 1 en fixé.

Tu pourras donc dire qu'il existe un voisinage de et une fonction qui tend vers 0 quand son argument tend vers 0 tels que pour tout , .

Que vaut alors en fonction de sur ? Vers quoi ça tend quand en restant dans ? Conclusion ?

Quand tu auras compris cela, il restera à vérifier que est non seulement continue, mais aussi sur . Sur cet ensemble tu pourras observer que tu peux dériver partiellement sans aucun problème par rapport aux deux variables parce que ???

Ah merci Ulmiere !
En effet, en effectuant un DL1 (qui est d'ailleurs la première chose présentée du chapitre dérivation dans mon bouquin ), même pas besoin de majorer la différence : en simplifiant, il ne reste que la fonction qui tend vers 0. À la limite de avec , on a bien la dérivée de .

Pour la suite de la question, j'avoue être complétement rouillé de la notion de fonction différentiable alors en lisant la définition et des théorèmes (de base) là dessus sur les internets, je lis que « est de classe en un point ssi les dérivées partielles (selon et selon , donc) existent et sont continues.»
Donc par exemple, je fais ma dérivation selon pour un fixé.  
.
Donc, cette dérivée partielle, je ne la regarde que selon comme variable, on est d'accord ? C'est une fonction à une seule variable, donc sans problème de continuité ( est continue). J'ai bon ?
On dérivant selon , on trouve plus ou moins la même chose et donc les deux dérivées partielles sont continues et finalement est .

Je n'ai pas vérifié le calcul mais oui, c'est bien ça

Rebonjour, par curiosité : quel est le livre avec lequel tu travailles ? (je crois avoir reconnu l'auteur, mais je n'en suis pas certain )

Salut !

J'ai trouvé cet exercice sur internet car je cherchais un exercice avec des fonctions à plusieurs variables et dans le mien (le Dantzer, préparation pour l'agrégation), il n'y a rien là dessus.
Je l'ai trouvé sur un pdf (en lien). Il est indiqué la biblio en début du pdf. C'est l'exercice 9, « un classique », il semblerait ahah !


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