Bonjour, je suis une élevé de TS et j'ai des problèmes pour faire ce DM de Spé Maths.
L'ennoncé est le suivant:
Les nombres de la forme 2^n -1 pour n entier naturel, s'appellent les nombres de Mersenne. Leurs diviseurs possèdent des propriétés particulières et el existe un test de primarité spécifique à ces nombres, ce qui explique l'intérêt qu'on leur porte dans la recherche des nombres premiers. On posera dans la suite Mn= 2^n-1


A. Exploration.
1. Pour 0 <=  n < 20, déterminer si Mn est premier ou composé. Qu'observe-t-on quand n est composé? Quand n est premier?
2. Vérifier que, pour tout entier naturel n non nul, an-1 = (a-1)(an-1+an-2+...+1)
En déduire que : (n composé) implique (Mn composé)
3. On suppose que Mn admet un diviseur premier d. Justifier que 2n est congru à 1 modulo d.

B. Etude du cas où p est premier
On considère un entier p premier tel que Mp = 2p-1 admette un diviseur premier d. Soit I l'ensemble des entiers naturels n non nuls tels que 2n est congru à 1 modulo d.

1. Justifier que I n'est pas vide puis qu'il admet un plus petit élément p0 et que p0 > 1
2. En écrivant la division euclidienne de n par p0, montrer que tout élément de I est multiple de p0.
En déduire que p=p0.
3. On admet que 2d-1 est congru à 1 modulo d.
Déduire comme en 2. que p0 divise d-1 puis qu'il existe k (entier naturel) tel que d = 2kp+1.

C. Etude de deux nombres de Mersenne
1. L'entier M19=2^19-1=524287
D'après la question B3, les diviseurs premiers de M19 sont de la forme d=38k+1
a. Combien y a-t-il de diviseurs de la forme d=38k+1, avec d < ou égal à E(racine de M19)?
b. Démontrer que si K prend l'une des formes 3m+1,5+3,7+2, d n'est pas premier.
c. Combien y a-t-il finalement de cas à examiner)?M19 est-t-il premier?


J'ai réussi quelques questions :
A.
1.Quand n est composé, Mn est composé
  Quand n est premier, Mn n'est pas forcément premier
2.J'ai démontré l'égalité en développant le membre de droite pour arriver au membre de gauche.
  Je n'arrive pas à en déduire que (n composé) implique (Mn composé)
3. Mn est congru à 0 modulo d donc 2n-1 est congru à 0 modulo d
   Donc 2n est congru à 1 modulo d d'après les opérations possibles sur les congruences.

B. et C Je n'arrive pas à répondre à toutes les questions

Merci d'avance de votre aide !