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Activité préparatoire continuité
Bonjour !
J'ai cette activité préparatoire pour la leçon des fonctions continues :
Soit f une fct continue sur un intervalle I, et soit a et b deux éléments de I tels que a<b
On suppose que f(a) . f(b) < 0.
1) montrer que 0 € f(I).
2) En déduire qu'il existe au moins un élément c de l'intervalle [a;b] tel que f(c) =0
J'ai répondu à la 1er question par absurde, mais pour la deuxième question, je n'ai pas pu determiner la démonstration ou plutôt comment rédiger, car cela parait évident comme nous n'avons pas encore la définition qui servira pour démontrer.
Bonsoir,
La définition de f(I) est : l'ensemble des valeurs de f(x) quand x parcourt I.
Dire que 0 appartient à F(I), c'est donc dire qu'il existe c appartenant à I tel que f(c) = 0.
Et je voudrais bien voir la rédaction de ta réponse à 1)...
LeHibou D'accord, merci !
Voici ma démonstration :
Supposant que 0
f(I).
On a f est continue sur I, qui est un segment, alors f(I) est un segment.
On a 0 f(I) donc f(I) contient soit des élements négatifs seulement ou des élément positives seulement. D'où 
(a;b) 
I^2 ; f(a) . f(b) > 0
Ce qui est absurde.
Donc 0 f(I).
On a 0 f(I) donc f(I) contient soit des élements négatifs seulement ou des élément positives seulement.
Ça c'est faux, f(I) pourrait contenir des éléments > 0 et des éléments < 0, seul la valeur 0 étant exclue.
Cherche du côté du théorème des valeurs intermédiaires que tu as dû voir...
LeHibou
Mais l'image d'un segment par une fct continue est un segment, càd on ne peut pas avoir [a;0[ 
]0;b] comme image du segment [a;b].
On a pas le droit d'utiliser le théorème de valeurs intermédiaires car c'est une activité préparatoire où on doit utiliser seulement les propriétés qu'on avait conclu avant (comme l'image d'un segment par une fct continue).
On a f est continue sur I, qui est un segment, alors f(I) est un segment.
Effectivement, si tu connais ça, c'est bon. On vous l'a démontré ?
Ceci dit, ça revient à redémontrer le TVI dans ce cas particulier
salut
Supposons que 0
f(I).
On a f est continue sur I, qui est un segment, alors donc f(I) est un segment.
On a or 0
f(I) donc f(I) contient soit des élements strictement négatifs seulement ou soit des élément strictementpositifs seulement.
D'où
(a;b) I^2 ; f(a) . f(b) > 0 d'après la règle des signes
Ce qui est absurde.
Donc 0
f(I).
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