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Activités d analyse_ Un triangle variable
Salut!!!!
j'ai une activité à faire, mais je n'y arrive pas... voici l'énoncé:
ABC est un triangle quelconque tel que:
BC=a, CA=b, AB=c.
Soit x un nombre réel tel que 0 inférieur ou égal à x inférieur ou égal
à 1.
On considère les trois points M, N et P tels que:
vecteur AM=x vecteur AB, vecteur BN=x vecteur BC et vecteur CP=x vecteur
CA.
Lorsque x varie, l'aire S (x) du triangle MNP varie.
on se propose d'étudier cette fonction S.
1)En utilisant la formule S=(1/2)bc sin A pour calculer l'aire d'un
triangle, A étant l'angle compris entre les deux côtés b et
c, montrer que:
Aire (AMP)=(1/2)AM*AP sin A=1/2x(1-x)bc sin A
Aire (BMN)=1/2x(1-x)ca*sin B
Aire (CNP)=1/2x(1-x)ab*sin C
2)En déduire que:
S(x)=Aire (MNP)=Aire (ABC)*(3 (x au carré)-3x+1)
merci beaucoup d'avance.
bisous, et @ bientôt!!!
bonjour
permettez moi de vous répondre
1)Aire (AMP)=(1/2)AM*AP sin A=1/2xAB.(CA-xCA)sin A
= 1/2x(1-x)AB.ACsinA
= bc/2x(1-x)sinA
remarquez que l'ordre b, c et A dans la formule de Aire(AMP)
donc san refaire les calculs on obtient
Aire (BMN)=ac/2x(1-x)sin B
et
Aire (CNP)=ab/2x(1-x)sin C
2)En déduire que:
comme:
S(x)+Aire(AMP)+Aire(BMN)+Aire(CNP)=Aire(ABC)
donc
S(x)+bc/2x(1-x)sinA+ac/2x(1-x)sinB+ab/2x(1-x)sinC=Aire(ABC)
ssi
S(x)+x(1-x)(bc/2sinA+ac/2sinB+ab/2sinC)=aire(ABC)
maintenant e appliquant la loi des sinnus dans le triangle ABC on obtient:
sinA/a=sinB/b=SinC/c
donc
sinB=(b/a)sinA et sinC=(c/a)sinA
donc
S(x)+x(1-x)(bc/2sinA+bc/2sinA+Bc/2sinA)=aire(ABC)
ssi
S(x)+3x(1-x)(bc/2sinA)=aire(ABC)
comme Aire(ABC)=bc/2sinA
donc
S(x)+3x(1-x).aire(ABC)=aire(ABC)
S(x)=Aire(ABC)-Aire(ABC)(3x(1-x))
= Aire(ABC)(1-3x(1-x))
= Aire(ABC)(1-3x+3x²)
donc
S(x)=Aire (MNP)=Aire (ABC)*(3x²-3x+1)
voila
bo courage
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