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Adjoint d'un endomorphisme induit

Posté par
Saiga 11-04-21 à 13:05

Bonjour,

Soient (E,\langle\cdot |\cdot \rangle) un espace vectoriel euclidien, f\in End(E) et   F  un sous espace vectoriel de E stable par f.

J'aimerais montrer avec la définition de l'adjoint que : (u_{|F})^*=(u^*)_{|F}.
__________________________________________________________________________________________________

Pour tout x,y\in E^2, on a : \langle u_{|F}(x) | y\rangle =\langle x | (u_{|F})^*(y)   .

De plus, pour tout x,y\in E^2, on a aussi :

\langle x | (u^*)_{|F}(y)\rangle =  \langle x | (u^*\circ P_F)(y)\rangle , où P_F est la projection orthogonale sur F parallèlement à F^{\perp} qui est auto-adjointe, ie : P_F^*=P_F.

Or, on a que : \langle x | (u^*\circ P_F)(y)\rangle = \langle x | (u\circ P_F^*)^*(y)\rangle = \langle (u\circ P_F^*)(x) | y \rangle=  \langle (u\circ P_F )x | y \rangle = \langle (u_{|F} )(x) | y \rangle  .

D'où : (u_{|F})^* = (u^*)_{|F} .

Est-ce bien cela ?

Posté par
GBZMre : Adjoint d'un endomorphisme induit 11-04-21 à 13:48

Bonjour,

Non, ça ne va pas.
Pour commencer, ton f qui devient u
Ensuite, l'égalité \langle u_{|F}(x) | y\rangle =\langle x | (u_{|F})^*(y)    ne fait sens que pour x,y \in F.
De même \langle x | (u^*)_{|F}(y)\rangle =  \langle x | (u^*\circ P_F)(y)\rangle   ne fait sens que si y \in F.
Enfin bref, plein de choses qui ne vont pas.

Es-tu sûr que ce que tu veux montrer est vrai ? Pour t'aider, tu peux raisonner en termes de matrices dans une base orthonormale obtenue en mettant bout à bout une b.o.n. de F et une b.o.n. de F^\perp.

Posté par
DOMOREAAdjoint d'un endomorphisme induit 11-04-21 à 14:28

bonjour,
le texte ne précise pas que  E est de dimension finie, alors que cela me semble nécessaire.

Posté par
GBZMre : Adjoint d'un endomorphisme induit 11-04-21 à 15:15

Un espace euclidien est par définition de dimension finie. En dimension infinie, on parle d'espace préhilbertien réel.

Posté par
Saigare : Adjoint d'un endomorphisme induit 11-04-21 à 19:39

Bonjour,

GBZM @ 11-04-2021 à 13:48


Non, ça ne va pas.
Pour commencer, ton f qui devient u


Désoler, mon endomorphisme se nomme u et F est bien stable par u.

GBZM @ 11-04-2021 à 13:48


Ensuite, l'égalité \langle u_{|F}(x) | y\rangle =\langle x | (u_{|F})^*(y)    ne fait sens que pour x,y \in F.
De même \langle x | (u^*)_{|F}(y)\rangle =  \langle x | (u^*\circ P_F)(y)\rangle   ne fait sens que si y \in F.


Oui je me suis trompé en re-tapant ce que j'ai fait... Il faut donc bien lire F et non E.

GBZM @ 11-04-2021 à 13:48


Es-tu sûr que ce que tu veux montrer est vrai ? Pour t'aider, tu peux raisonner en termes de matrices dans une base orthonormale obtenue en mettant bout à bout une b.o.n. de F et une b.o.n. de F^\perp.


Je pense que ce que je veux montrer est vrai, ou alors on ne me dirait pas "Montrer que : (u_{|F})^* = (u^*)_{|F} non ?

Je ne vois pas trop comment me débrouiller avec les matrices...
Je n'ai réussi qu'à écrire :

Soient B=(B_1,B_2) une base de E, obtenue par la concaténation de B_1 une base de F et B_2 une base de F^\perp

Mat(u_{|F},B)=\begin{pmatrix} M_1 & A \\ 0 & B \end{pmatrix} , avec M_1=Mat(u_{|F},B_1), car F est stable par u ...

Du coup j'ai un gros doute sur la validité de ce que j'essaie de prouver, il semblerai que cela soit correcte seulement si F^{\perp} est luis aussi stable par u non ?

Posté par
GBZMre : Adjoint d'un endomorphisme induit 11-04-21 à 19:43

Bon, et si tu donnais ton énoncé complètement ?

Posté par
Saigare : Adjoint d'un endomorphisme induit 11-04-21 à 19:52

Bah, mon énoncé c'est :

Soient(E,\langle\cdot |\cdot \rangle) un espace vectoriel euclidien, u\in End(E) et   F  un sous espace vectoriel de E stable par u.

Montrer que : (u_{|F})^*=(u^*)_{|F}, où : u^* désigne l'adjoint de u.

PS : c'est un énoncé poser par un camarade de promo ...

Posté par
GBZMre : Adjoint d'un endomorphisme induit 11-04-21 à 20:23

Ton PS est important. Ton camarade a pris ses désirs pour la réalité.

Posté par
Saigare : Adjoint d'un endomorphisme induit 12-04-21 à 10:43

Juste une précision :

Si l'on écrit la définition de l'adjoint sur le sous-espace F, on a que :

\langle u(x) | y\rangle = \langle x | u^*(y)\rangle pour x,y\in F

et donc on voit que : (u_{|F})^* = (u^*)_{|F} non  ?

Posté par
DOMOREAAdjoint d'un endomorphisme induit 12-04-21 à 12:06

bonjour,
en effet si tu supposes qu'en plus  F^T est stable par f alors F sera stable par f^*.
alors la relation proposée me semble juste

Posté par
Ulmierere : Adjoint d'un endomorphisme induit 12-04-21 à 12:19

Et non. Pour définir l'adjoint d'un opérateur (non forcément borné), on utilise le théorème de Riesz, ce qui demande accessoirement que le domaine de ton opérateur soit dense dans ton espace de Hilbert. En dimension finie, vu que tous les sous-espaces sont fermés, il n'y a qu'un seul sev F dense dans E, et c'est E lui-même. Et en fait, tous les opérateurs sont bornés, d'adjoint borné, etc. Donc la propriété que tu cherches à prouver est vraie pour F=E et aucun autre F.

En dimension infinie, il peut exister F strict et dense dans E (i.e d'orthogonal nul), de sorte que si le domaine de u est dense dans E, (u_{|F})^\ast existe. Par contre, même en identifiant ton espace de Hilbert à son propre dual, rien ne dit que F soit inclus dans  D(u^\ast).


Si u est à domaine dense et D((u_{|F})^\ast)\subseteq D(u^\ast), on aura pour tout x\in D(u_{|F})=D(u)\cap F, et pour tout y\in D((u_{|F})^\ast), \langle y, u_{|F}x\rangle = \langle (u_{|F})^\ast y, x \rangle mais aussi \langle y, u_{|F}x\rangle = \langle y, ux\rangle = \langle u^\ast y, x\rangle.
C'est-à-dire que u^\ast prolonge (u_{|F})^\ast. Mais là encore, on ne sait pas si F\subseteq D(u^\ast).

Posté par
GBZMre : Adjoint d'un endomorphisme induit 12-04-21 à 12:37

Il me semble, Ulmière, que ta réponse est à côté de la plaque.

Sinon, reprenons :

Saiga @ 12-04-2021 à 10:43

Si l'on écrit la définition de l'adjoint sur le sous-espace F, on a que :
\langle u(x) | y\rangle = \langle x | u^*(y)\rangle pour x,y\in F
et donc on voit que : (u_{|F})^* = (u^*)_{|F} non  ?

Non, si tu as seulement l'hypothèse que F est stable par u, rien n'oblige F à être stable par u^*. Je pensais que tu l'avais compris en regardant ce qui se passe pour les matrices.
La stabilité de F par u^* est équivalente à la stabilité de F^\perp par u (démonstration facile).

Si on a juste l'hypothèse que F est stable par u, ceci permet de parler de l'endomorphisme u_{|F} de F, et cet endomorphisme a bien un adjoint (u_{|F})^* (pour la structure euclidienne sur F induite par celle de E). On démontre facilement que, pour tout x\in F, (u_{|F})^*(x)=p_F(u^*(x)) (où p_F est la projection orthogonale sur F).


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