Bonjour, j'ai un DM à rendre et le dernier exercice me pose problème :

Soit f : [0 ; 1] [0 ; 1] une fonction continue.
Montrer que f admet un point fixe, c'est-à-dire qu'il existe un réel de [0 ; 1] égal à son image par f.

Est-ce que je peux écrire sur ma copie :

On considère g définie par g : [0 ; 1]
x f(x) − x

Comme f est continue, g l'est aussi. Il faut montrer l'existence d'un réel x0 ∈ [0 ; 1] tel que g(x0) = 0.

g(0) = f(0) − 0 ≥ 0 car f(0) appartient à [0 ; 1],et f(0) ≥ 0

g(1) = f(1) − 1 ≤ 0 car f(1) appartient à [0 ; 1], et f(1) ≤ 1

Donc 0 est compris entre g(0) et g(1). D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe alors x0 ∈ [0 ; 1] tel que g(x0) = 0

???


Merci d'avance