Bonjour,
Dans un DS que l'on vient de me rendre, une question était :
Mq pour tout entier naturel n supérieur ou égal a 2 : 0<ou égal Xn-(Xn+1)-1<ou égal 1/(n-1)
On a Xn+1=(Xn)+1+(1/(Xn-1))
J'ai répondu:
Soit Pn la proposition " 0<ou égal Xn-(Xn+1)-1<ou égal 1/(n-1) "
Initialisation: a t on P2 vrai?
X2+X1-1=3-1-1=1 et 1/(2-1)=1
Donc P2 vrai: 0<ou égal 1<ou égal 1
Hérédité: a t on Pn+1 vrai?
On suppose Pn vrai : 0<ou égal Xn-(Xn+1)-1<ou égal 1/(n-1)
              
                                      0<ou égal f(Xn)-f(Xn-1)-1<ou égal f(1/(n+1))

                                      0<ou égal (Xn+1)-(Xn)-1<ou égal 1/n
Donc Pn+1 vrai, ce qui termine la récurrence.
Mon prof m'a écrit (concernant l'hérédité) : "même si c'est vrai, il faudrait expliquer pourquoi?"
Le problème étant que je sais que c'est vrai car nous avions déjà fait comme ça dans d'autres exercices mais je serais incapable d'expliquer pourquoi.. quelqu'un pourrait-il m'expliquer ce passage de Xn a f(Xn) a Xn+1 ? Et dans quel cas peut-on faire cela?
Merci de votre aide.