Salut Arnold !

J'ai un petit pb, c'est que j'ai prêté mes leçons, et du coup,
j'ai plus de document de CAPES à portée de main...
Mais je pourrais peut-être t'aider si tu m'aide d'abord
(lol) Parce que j'ai un trou de mémoire...
C'est quoi, déjà, la définition d'une dilatation ?
Il me semble que c'était une homothétie OU une tranlation, mais
je ne suis plus sûre du tout !!

De mémoire, dans ma leçon il me semble qu'après avoir donné
une définition pour les translations et une pour les homothéties,
je disais...
on appelle dilatation toute homothétie de rapport non nul ou toute translation...
Donc je vais raisonner à partir de là. Mais si ce n'est pas ce que
tu as fait, dis-le moi !

Une petite remarque à propos de ta propriété : je ne suis pas sûre, mais
il me semble que tu dois suppose k1 ? Parce que
dans ce cas, tu peux avoir :
--> l'homothétie de rapport 1 (c'est-à-dire l'identité)
; et dans ce cas, ta proporété marche toujours
--> mais aussi n'importe quelle translation de vecteur non nul...
et là, ça pose problème...

Bon, je vais y réfléchir pour le cas où k1 et je te
tiens au courant ...

une homothétie si k<>1, une translation si k=1

pour la démo cherché c'est ds le ca où k différent de 1

Bon, me revoilà   je m'accroche mais j'ai encore un
problème...

Je suis peut-être pas d'un grand secours pour ta démo, mais tu
vas voir... je joue très bien le membre du jury qui comprends rien
et qui t'emm*** à l'entretien  

Bon... c'est parti : je t'explique où je bloque...
on sait que f est une dilatation. Donc c'est une homothétie ou
une translation. On veut montrer que c'est une homothétie (et
pas une translation).

Le problème, c'est que là, la seule hypothèse qu'on a, c'est
que f=k*Id... donc en fait, tu dois parler d'application
vectorielle... mais si tu parles d'application vetorielle,
alors il n'y a plus lieu de distinguer homothétie et translations
Grrrr    on tourne en rond...

En fait, je serais plutôt tentée de modifier ton hypothèse f=k*Id en
une propriété avec des POINTS...
Un truc du genre :
pour tous A et B du plan, vect(f(A)f(B)) = k*vect(AB)

Et à ce moment-là, pour justifier que f n'est pas une translation,
je chercherais son centre O : le point tel que f(O)=O.
J'ai pas encore fait, mais vu que je change ta propriété, je suis pas
sûre que ça t'intéresse !!!

Je vais réfléchir encore à ta propriété, voir si je la comprends mieux
demain. Et sinon, je chercherais la démo de ma propriété...

Bonne nuit !!

Salut
bon, c'est vrai, j'ai abrégé mes hypothèses. Voilà le théorème
entier:
soit f une dilatation de rapport k
(1)  f est une translation ssi f=Id
(2) f est une homothétie de rapport k<>1  ssi  f=k*Id avec k<>1

mon pb est de démontrer la réciproque de (2)...

Oui, c'est ce que j'avais compris. Mais j'ai toujours
le même problème : ta fonction f, est-elle définie sur des points
(f(O)) ou des vecteurs (f(V)) ?

Quand tu dis f=k*Id, je comprends que tu parles d'une application
VECTORIELLE car si ça a du sens de multiplier un vecteur par k, ça
en a moins de MULTIPLIER UN POINT PAR k.

Mais comme il me semble que l'idée de ta propriété c'est de
distinguer les homothéties des translations, ce ne peut pas être
avec des applications vectorielles !!

C'est pour cela que j'aurais plutôt changé ta propriété en remplaçant
  "f=k*id" par :
pour tous A et B du plan, vect(f(A)f(B)) = k*vect(AB)

Donc je te propose une démonstration de
si pour tous A et B du plan, vect(f(A)f(B)) = k*vect(AB) (avec k<>1)
alors f est une homothétie de rapport k:

Fixons un point A arbitraire (qui nous permettra de caractériser le centre
O cherché de l'homothétie).
Par hypothèse  vect(f(A)f(O)) = k*vect(AO)
Supposons que f(O)=O
Alors vect(f(A)O) = k*vect(AO)
Donc Vect(f(A)A)+ Vect(AO)=k*Vect(AO)
d'où Vect(f(A)A) =(k-1)*Vect(AO)
Ainsi, s'il existe O tel que f(O)=O, alors O est unique et défini par
Vect(AO) = 1/(k-1)*Vect(f(A)A).
Réciproquement, on vérifie que O défini ainsi est bien tel que f(O)=O
Donc il existe un unique point O tel que f(O)=O
Et donc f est une homothétie de centre O.
Son rapport est k car pour tout point M
Of(M)=f*OM

Bon, voilà, j'ai démontré MA propriété. Je sais que ce n'est
pas la tienne... mais comme je te le disais, je ne vois pas, si tu
pars de f=k*id, comment calculer l'image d'un point ??
   f(O)=k*O ???

@++