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Aide sur une limite SVP

Posté par
Marc75017 04-10-05 à 22:02

Bonjour je ne sais comment trouver la limite suivante :


lim (x-->0) [(a^x + b^x)/2] ^(1/x)

Je sens que c'est un truc de taux d'accroissement mais je n'arrive pas à m'en sortir...
Merci d'avance de votre aide

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Aide sur une limite SVP 04-10-05 à 23:46

Bonsoir Marc75017;
bien entendu a et b sont des réels stictement positifs.
On a 4$\fbox{ (\frac{a^x+b^x}{2})^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}ln(\frac{a^x+b^x}{2})}} et vu que 4$\fbox{\lim_{x\to0}\frac{a^x+b^x}{2}=1}(vérification facile) on a par le DL à l'ordre 1 de la fonction ln au point 1 que:
3$\fbox{\frac{1}{x}ln(\frac{a^x+b^x}{2})=\frac{1}{x}(\frac{a^x+b^x}{2}-1)+o(\frac{1}{x}(\frac{a^x+b^x}{2}-1))} et donc que 3$\fbox{\lim_{x\to0}\frac{1}{x}ln(\frac{a^x+b^x}{2})=\lim_{x\to0}\frac{1}{x}(\frac{a^x+b^x}{2}-1)} et comme:
3$\fbox{\frac{1}{x}(\frac{a^x+b^x}{2}-1)=\frac{1}{2x}(e^{xln(a)}-1+e^{xln(b)}-1)=\frac{1}{2}(\frac{e^{xln(a)}-1}{x}+\frac{e^{xln(b)}-1}{x})} on voit que:
3$\fbox{\lim_{x\to0}\frac{1}{x}ln(\frac{a^x+b^x}{2})=\frac{1}{2}(ln(a)+ln(b))=ln(sqrt{ab})}
Conclusion:
5$\blue\fbox{\lim_{x\to0}(\frac{a^x+b^x}{2})^{\frac{1}{x}}=sqrt{ab}}

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
Marc75017re : Aide sur une limite SVP 05-10-05 à 20:32

bonjour merci de votre réponbse sauf que nous n'avons pas fait les développement limités en mathématique , n'y aurait il pas une autre méthode accessible pour un petit élève e math sup de début d'année?
Merci d'avance

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Aide sur une limite SVP 05-10-05 à 22:51

Bonsoir Marc75017;
On peut trés bien se passer du DL en utilisant seulement le fait que 3$\fbox{\lim_{X\to1}\frac{ln(X)}{X-1}=1} et ainsi avec 3$\fbox{X=\frac{a^x+b^x}{2}} on peut écrire que:
3$\fbox{\frac{1}{x}ln(\frac{a^x+b^x}{2})=\frac{1}{x}(X-1)\frac{ln(X)}{X-1}} et donc que 3$\fbox{\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}ln(\frac{a^x+b^x}{2})=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}(\frac{a^x+b^x}{2}-1)} le reste est bon.

Posté par
Marc75017re : Aide sur une limite SVP 05-10-05 à 23:20

a ok merci ... bon c'était bien basé sur les taux d'accroissement fallait y penser mais c'etait bien faisable!!!
Merci encore une fois infiniment de m'avoir aidé.
Amicalement
Antony


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