1) calcul de 1/2(//BA+AC//²-//BA//²-//AC//²)  

On a :

(BA+AC)²=BA²+AC²+2BA.AC;    BA et AC sont des vecteurs
                                                      BA.AC est leur
produit scalaire.

puisque (BA+AC)²=//BA+AC//²; BA²=//BA//² et AC²=//AC//²

alors:
1/2(//BA+AC//²-//BA//²-//AC//²)  =BA.AC

BA a pour coordonnées (-5+2,-1-5)=(-3,-6)

AC a pour coordonnées (2+2,3-5)=(4,-2)

donc BA.AC=(-3)(4)+(-6)(-2)=-12+12=0

2) les deux vecteurs BA et AC sont donc orthogonaux en A et on le théorème
de pythagore//BA+AC//²= //BA//²+//AC//²

le triangle ABC est donc rectangle en A.


Question à part:

MA²+MB²=(MO+OA)²+(MO+OB)² ; relation de chasles.
                =MO²+2MO.OA+OA²+MO²+2MO.OB+OB².
                =2MO²+2MO.(OA+OB)+OA²+OB²

Comme O est le milieu de AB alors OA+OB=0    (vecteurs)
et OA²=OB²= ((1/2)//AB//)²; car //OA//=//OB//=(1/2)//AB//
                    =(1/4)//AB//²
                    =(1/4)AB²

donc:

MA²+MB²=2MO²+2OA²
                =2MO²+2(1/4)AB²
                = 2MO²+(1/2)AB²

voila je vous prie d'accépter mes remerciements.

vect(BA) + vect(AC) = vect(BC)

|vect(BA) + vect(AC)| = |vect(BC)|
|vect(BA) + vect(AC)|² = |vect(BC)|² = (2-(-5))² + (3-(-1))² = 49 + 16 = 65

|BA|² = (-2-(-5))² + (5-(-1))² = 9 + 36 = 45
|AC|² = (2-(-2))² + (3-5)² = 16 + 4 = 20

(1/2).(|BA+AC|² - |BA|² - |AC|²) = (1/2).(65 - 45 - 20) = 0

(|BA+AC|² - |BA|² - |AC|²) = 0
(|BC|² - |BA|² - |AC|²) = 0
|BC|² = |BA|² + |AC|²
-> le triangle BAC est rectangle en A.
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2)
vect(MA) = vect(MO) + vect(OA)
MA² = MO² + 2.vect(MO).vect(OA) + OA²
MA² = MO² + 2.vect(MO).(1/2).vect(BA) + ((1/2).(BA))²
MA² = MO² - vect(MO).vect(AB) + (1/4).AB²   (1)

vect(MB) = vect(MO) + vect(OB)
MB² = MO² + 2.vect(MO).vect(OB) + OB²
MB² = MO² + 2.vect(MO).(1/2).vect(AB) + ((1/2).vect(AB))²
MB² = MO² + vect(MO).vect(AB) + (1/4).AB²   (2)

(1) + (2) ->
MA² + MB² = 2MO² + (1/2).AB²
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Sauf distraction.