En faisant un dessin, où Z est une partie de X qui est une partie de E, on "s'aperçoit" que les parties Y de E telles que XY = Z sont toutes celles qui contiennent Z et des éléments de E\X.

Soit ZXE et soit YE telle que XY = Z.
Démontrons que YP={ZA, A(E\X)}
E = X(E\X) donc Y = [(E\X)Y](XY)
Ainsi Y = [(E\X)Y]Z
donc YP.
Réciproquement, si BP alors B=ZA tel que A(E\X) donc : BX = (ZX)(AX) = ZX = Z car (AX) est vide et ZX.
Reste à trouver le nombre d'éléments de P c'est le nombre de parties de E\X. Si on note p le cardinal de X alors le nombre de parties de E\X est 2^(n-p).
Il y a donc 2^(n-p) parties Y qui vérifient cela.

C'est un peu lourd, mais je ne vois que ça. (Sauf erreur)