On prend un repère orthornormé de l'espace .
Par exemple : (D,DC,DA,DE).

Dans ce repère les points ont les corrdonées suivantes :


  D(0,0,0)  A(0,a,0)  C( a , 0, 0 )   B(a,a,0)  E(0,a ,a)  H(0,0,a)
  G(a,0,a)  F(a, a, +a)
  

1)Calculer, en fonction de a , les produits scalaires suivants :
EA.AF  ,   AB.AF  ,  BC.AF

  Les vecteurs EA et AF ont pour coordonnées :
  EA(0; 0, -a)  AF(a; 0; a)
  
D' où : EA.AF = -a²

  Les vecteurs AB et AF ont pour coordonnées :
  AB(a; 0, 0)  AF(a; 0; a)
  
D' où : AB.AF = a²


  Les vecteurs BC et AF ont pour coordonnées :
  BC(0; -a, 0)  AF(a; 0; a)
  
D' où : BC.AF = 0


2) En déduire que les vecteur EC et AF sont orthogonaux.
Onadmettra de même que les vecteurs EC et AH SONT ORTHOGONAUX .


   EC.AF= (EA+AB+BC).AF= EA.AF+AB.AF+BC.AF = -a²+ a² +0=0

donc les vecteurs EC et AF sont orthogonaux.


3)En déduire que le point I est le projeté  orthogonal de E sur le plan
(AFH).


I est le point d'intersection du plan (AFH) et de la droite (EC).
  Donc I appartient au plan (AFH) et à (EC).


Or  le vecteur EC est orthogonal au vecteur AF qui appartient à une
des directions du plan (AFH).
  donc la droite (EC) est perpendiculaire au plan (AFH).
  et par conséquent, I qui est sur (EC) est le projeté orthogonal
de E sur le plan (AFH).



4)

(a) Justifier les résultats : les droites (AF) et (EH)  sont orthogonales,
ainsi que les droites (AF) et (EI).


On a montré que : les droites (EC) et (AF) sont orthogonales.
  Or I appartient à la droite (EC).

  Donc les droites (EI) et (AF) sont orthogonales.


  On a les coordonnées suivantes :
  
     AF(a;0;a)    EH(0;-a;0) donc AF.EH = 0


   donc les droites (AF) et (EH) sont orthogonales.


    (b) En déduire que la droite (AF) est orthogonale à la droite
(HI).
  
     AF.HI = AF.(HE+EI) = AF.HE + AF.EI = 0 + 0 = 0

  donc les droites  (AF) et (HI) sont orthogonales .



      (c) Etablir de même que la droite (AH) est orthogonale à la
droite (FI).

  On sait que (AH) est orthogonale à (EC)  (question 2°) ).

  or I appartient à (EC) donc les droites  (EI)  et (AH) sont orthogonales.

   Or FE(-a;0;0)  et AH( 0; -a;a)  donc FE.AH  =0

  et donc FI.AH = (FE+EI).AH=  FE.AH + EI.AH = 0




5) Que représente le point I pourle triangle AFH ?


  D' après 4.b)  et  4.c)  I est l'orthocentre de (AFH)