2)

|AB|² = 3²+3+0 = 12
|AB| = 2.racine(3)

|BC|² = 0 + (2racine(3))²
|BC| = 2.racine(3)

|AC|² = 3² + 3 + 0 = 12
|AC| = 2.racine(3)

On a |AB|=|BC|=|AC| -> le triangle ABC est équilatéral.

|OA| = 2
|OB|² = 1² + 3 = 4
|OB| = 2
|OC|² = 1 + 3 = 4
|OC| = 2

|OA| = |OB| = |OC|
O est équidistant de A, de B et de C, de plus, O est dans le plan aBC
-> O est le "centre" du triangle équilatéral ABC.
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3)

b)

Soit le point N(X ; Y; Z)
|BN|² = (X+1)² + (Y - rac(3))² + Z²
|CN|² = (X+1)² + (Y + rac(3))² + Z²

Si on veut |BN|=|CN|, on a aussi: |BN|²=|CN|²
(X+1)² + (Y - rac(3))² + Z² = (X+1)² + (Y + rac(3))² + Z²
(Y - rac(3))²  =  (Y + rac(3))²
(Y - rac(3))= +/- (Y + rac(3))
qui n'est possible qu'avec le signe -  ->
Y - rac(3) = -Y - rac(3)
2Y = 0
Y = 0 quel que soient X et Z

N est dans le plan (O,vect(i) ; vect(k))
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a)
Soit le point M(X ; Y; Z)

|AM|² = (X-2)² + Z²
|BM|² = (X+1)² + (Y - rac(3))² + Z²

Si on veut |AM|=|BM|, on a aussi: |AM|²=|BM|²

(X-2)² + Z² = (X+1)² + (Y - rac(3))² + Z²    (1)
(X-2)² = (X+1)² + (Y - rac(3))²
X² - 4X + 4 = X² + 2x + 1 + (Y - rac(3))²
-6X + 4 = + 1 + Y² - 2rac(3).Y + 3
-6X = Y² - 2rac(3).Y    quel que soit Z
Lieu de M
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c)
P(X ; Y ; Z) est dont tel  que on a le système:

Y = 0
-6X = Y² - 2rac(3).Y
Z quelconque.

-> X = 0; Y = 0 et Z quelconque.

l'ensemble des points P de l'espace équidistants des points A, B et C est
l'axe (O; vect(k))
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4)
D'après le point précédent, D a pout coordonnées D(0 ; 0 ; Zd) avec Zd à
déterminer.

|AD|² = |AB|² ->
4 + (Zd)² =  3² + 3 + 0
(Zd)² =  8
Zd = +/- 2racine(2)

Si on veut ne garder que le 3ème coordonnée positive, on a: D(0 ; 0
; 2.racine(2))
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5)
a)

C(-1;-racine(3);0)
D(0 ; 0 ; 2.racine(2))

vecteur(CD): (1 ; racine(3) ; 2.racine(2))
vecteur(CM) = a.vecteur(CD)     avec a dans [0 ; 1]

vecteur(CM): (a ; racine(3).a ; 2.racine(2).a)
Soit M(X ; Y ; Z)

vecteur(CM) : (X + 1 ; Y + racine(3) ; Z)

-> le système:
X + 1 = a
Y + racine(3) = racine(3).a
Z =  2.racine(2).a

-> M(a-1 ; racine(3) .(a-1) ; 2.racine(2).a)

vect(AM) :  (a-3 ; racine(3) .(a-1) ; 2.racine(2).a)
vect(BM) :  (a ; racine(3) .(a-2) ; 2.racine(2).a)

vect(AM).vect(BM) = a(a-3) - 3(a-1)(2-a) + 8a²
vect(AM).vect(BM) = a²-3a - 3(-a²+3a-2) + 8a²
vect(AM).vect(BM) = 12a²-12a+6

|AM|² = (a-3)² + 3(a-1)² + 8a²
|AM|² = a²-6a+9+3a²-6a+3+8a²
|AM|² = 12a²-12a+12

|BM|² = a² + 3(a-2)²+8a²
|BM|² = 12a² - 12a + 12

|AM|.|BM| = 12a²-12a+12

vect(AM).vect(BM) = |AM|.|BM|.cos(AMB)
12a²-12a+6 =  (12a²-12a+12).cos(AMB)
cos(AMB) = 6.(2a²-2a+1)/[12.(a²-a+1)]
cos(AMB) = (2a²-2a+1)/[2.(a²-a+1)]
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5)
La suite est une simple étude de fonction ...
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Sauf distraction.    

Ma résolution du 3b me semble bizarre.

Autrement:
Les points équidistants de A et B se trouvent dans le plan perpendiculaire
à (AB) passant par le point milieu de [AB].

vect(AB): (-3 ; racine(3) ; 0)

Le plan cherché est donné par= -3x + racine(3)y + d = 0
Il passe par le milieu de [AB] de coordonnées (1/2 ; (1/2).racine(3)
; 0)
-> -3/2 + (racine(3))²/2 + d = 0
-3/2 + 3/2 + d = 0
d = 0.
Le plan lieu M a pour équation: -3x + racine(3)y = 0
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3c)
P(X ; Y ; Z) est dont tel que on a le système:

Y = 0
-3X + rac(3).Y = 0
Z quelconque.

-> X = 0; Y = 0 et Z quelconque.

L'ensemble des points P de l'espace équidistants des points A, B et C est
l'axe (O; vect(k))
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Sauf nouvelle distraction.