Bonsoir,

C'est un peu difficile d'expliquer ce genre d'exercices sans
figure mais bon, on va s'en passer et essayer d'être le
plus clair possible.

Nommons E et F les points d'intersection de D respectivement avec (SB)
et (SC).
L'intersection du plan P avec la face SBC est le segment [EF].
M appartient à [AB], donc l'intersection de P avec la face SAB
est [ME].
L'intersection du plan P avec le plan ABC est la parallèle à (D) passant par M,
elle coupe (AC) en N. Donc l'intersection avec la face ABC est
[MN].
Enfin l'intersection du plan P avec la face SAC est [NF].

Le quadrilatère MNFE est un trapèze car par construction (MN) et (EF)
sont parallèles.
Or (EF) (ou D) et (BC) sont parallèles donc (MN) et (NC) sont parallèles.
Si M est le milieu de [AB], on utilise une propriété des milieux :
"Si, dans un triangle, une droite passe par le milieu d'un côté
et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième
côté en son milieu."
Donc N est le milieu de [AC].

@+

merci  a toi Victor

1)
Dessine un triangle ABC (base du tétraèdre).
Place un point S quelque part dans le triangle.

Trace AS, BS et CS les arètes du tétraèdre.

Place un point Q quelque part sur [SC].
trace la // à BC passant par Q, elle coupe BS en un point que tu marques
R.
La droite passant par Q et R est la droite D de l'énoncé.

Place un point M sur [AC].
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M et Q sont dans le plan CSA.
Donc le point de rencontre de (MD) et (SA) est dans ce plan.
Prolonger MQ et AS pour trouver leur point de rencontre, soit T ce point.

T est sur la droite AS et par là dans le plan ASB.
T est sur la droite MQ et par là dans le plan P.

R est sur BS et donc dans le plan ASB.
R est sur la droite RQ et par là dans le plan P.

Tracer RT, cette droite est à la fois dans le plan ASB et dans le plan P.

AB est dans le plan ASB.
-> Notons N le point de rencontre de la droite(RT) avec [AB].

Le quadrilatère RQMN est le quadrilatère intresection du tétraède et
du plan P.

Remarque: dans le cas particulier où les droites MQ et AS seraient //, on ne
peut pas trouver le point T, la droite RN dans ce cas est // à MQ
et on peut donc aussi trouver le point N dans ce cas).

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2)
Montrons que MN // QR par l'absurde.

M, N ,Q et R sont coplanaires (dans le plan P). Si elles étaient concourantes,
elle aurait un point de rencontre. Appelons K ce point.

K étant sur la droite(QR) est dans le plan BCS.
K étant sur la droite(MN) est dans le plan ABC.

Donc K serait sur l'intersection de ces 2 plans, soit sur la droite
BC.
Ceci est impossible puisque K est sur QR qui est // à BC.
-> (MN) et (QR) bien que coplanaires ne sont pas concourantes. Elles
sont donc //.

Et donc le quadrilatère RQMN a ses cotés opposés QR et MN //, c'est
donc un trapèze.
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3)
Comme MN // QR, applique Thalès (regarde sur le dessin) et tu devrais trouver.
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Attention, je n'ai rien relu et peut-être ecrit des sottises.  

merci pour ceux ki m'ont aider!!!