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Aidez moi svp!! Barycentre
Je suis completemt perdu sur cette exercice si qql pourrait m'aider svp !
ABC est un triangle, M et N sont les point tels que AM=kAB (ce sont des vecteurs) et BN=kBC ou k est un réel différent de 0 et de 1. On note I le milieu de [AB, j celui de [BC] et G clui de [MN].
Il s'agit de demontrer que G, I et J sont alignés.
1)Exprimez M comme barycentre de A et B
2)Exprimez N comme barycentre de B et C
3)a)Prouvez que le barycentre de (A,1-k) , (B,k) , (B , 1-k) , (C,k) est le point G.
b) Deduisez-en que G est le barycentre de (I,1-k)et ((J,k).Concluez.
sa fait au moins deux heures que j'y suis et je n'y arrive pas .merci d'avance
Salut,
1)AM=kAB donc AM-kAB=0 donc AM-kAM-kMB=0 donc (k-1)MA+kMB=0 donc puisque l différent de 0 et de 1 on a :
M barycentre de (A,1-k) et (B,k)
2)BN=kBC donc BN-kBC=0 donc BN-kBN-kNC=0 donc (k-1)NB+kNC=0 donc puisque l différent de 0 et de 1 on a :
N barycentre de (B,1-k) et (C,k)
3)a)le barycentre des points (A,1-k) , (B,k) , (B , 1-k) , (C,k) est aussi (par associativité) le barycentre des points (M,1-k+k) et (N,1-k+k) soit le barycentre des points (M,1) et (N,1)
, soit encore le milieu de [MN], c'est donc le point G.
b)I milieu de [AB] donc I barycentre de (A,1-k) et (B,1-k)
De même, J milieu de [BC] donc J barycentre de (B,k) et (C,k)
Par associativité du barycentre on a:
si G barycentre de (A,1-k) , (B,k) , (B , 1-k) , (C,k)
alors G est aussi barycentre de (I,1-k+1-k) et (J,k+k)
soit G barycentre de (I,2-2k) et (J,2k)
Puis , par homogénéité du barycentre on a :
G barycentre de (I,1-k) et (J,k)
Conclusion , par propriété du barycentre on obtient que :vec(IG) = k.vec(IJ)
Donc vec(IG) et vec(IJ) sont colinéaires
Donc (IG) // (IJ) et puisqu'elles ont un point commun (I), elles sont confondues ,donc: I,J et G alignés
cqfd.
Voilà........
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