Je sais pas si je dois poster une réponse, la date est passée lol mais bon si tu es quand même interessée contacte moi par mail sur frangaignard@libertysurf.fr en renvoyant l'énoncé bien sur...

1)
f(x) = (a)+(b/x)+(c/(x+1))
f(x) = [ax(x+1) + b(x+1) +cx]/[x(x+1)]
f(x) = [ax² +x(a+b+c) + b]/(x²+x)

Que l'on identifie avec f(x) =  (2x²+2x-1)/(x²+x)

On obtient le système:
a = 2
a+b+c=2
b = -1

-> a = 2; b = -1 et c = 1
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2)
f(-1-x) = [2(-1-x)²+2(-1-x)-1)/((-1-x)²+(-1-x)]
f(-1-x) = [2(1+2x+x²)-2-2x-1)/(1+2x+x²-1-x)
f(-1-x) = (2x²+2x-1)/(x²+x)

Et on a donc f(-1-x) = f(x)
Ce qui montre que la droite d'equation x=-1/2 est un axe de symetrie pour la courbe (C)
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3)
f(x) = (2x²+2x-1)/(x²+x)
f '(x) = ((4x+2)(x²+x) -(2x+1)(2x²+2x-1))/(x²+x)²
f '(x) = (4x³+6x²+2x-4x³-4x²+2x-2x²-2x+1)/(x²+x)²
f '(x) = (2x+1)/(x²+x)²

f '(x) > 0 pour x compris dans ]0 ; +oo[ -> f(x) est croissante.

lim(x-> 0+) f(x) = -1/0+ = -oo
lim(x-> +oo) f(x) = 2

La droite d'équation x = 0 est asymptote verticale à C.
La droite d'équation y = 2 est asymptote horizontale à C
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4)
Intersections avec l'axe des abscisse:
f(x) = 0
(2x²+2x-1)/(x²+x) = 0
2x²+2x-1 = 0

x = [-1 +/- V(1+2)]/2   (V pour racine carrée)
x = -(1 +/- V3)/2

Intersections avec l'asymptote horizontale:
Résoudre le système:
y = (2x²+2x-1)/(x²+x)
y = 2

(2x²+2x-1)/(x²+x) = 2
2x²+2x-1 = 2x²+ 2x
-1 = 0
C'est impossible, C ne rencontre pas son asymptote horizontale.
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Sauf distraction.  

pour cet exo je bloque ke sur la kestion 5
f est la fonction numerique definie sur ]-;-1[]0;+[ par :
f(x) = (2x²+2x-1)/(x²+x)  et (C) sa courbe reprsentative dans le plan muni du repere orthonormé (O,,i,j) ( unité 2cm)
1) determiner les reels a,b,c tels que pour tout x appartenant a Df on ait : f(x) = (a)+(b/x)+(c/(x+1))
2) calculer f(-1-x). montrer que la droite d'equation x=-1/2 est un axe de symetrie pour la courbe (C)
3) etudier alor la fonction f sur l'intervalle ]0;+[ : variation et limite.
4) preciser les points d'intersection avec l'axe des abcisses et les asymptotes.
5)On considère la suite(Un)définiepour tout élément n de N* par Un=2-f(n)
a)Calculer U1+U2+.....+Un=Sn
b)Determiner la limite de Sn kan n tend vers +l'infini

U(n) = 2-f(n)

f(n) = 2 - (1/n) + (1/(n+1))

U(n) = 2 - f(n)
U(n) = (1/n) - (1/(n+1))

U1 = (1/1) - (1/2)
U2 = (1/2) - (1/3)
U3 = (1/3) - (1/4)
...
U(n) = (1/n) - (1/(n+1))

S(n) = (1/1) - (1/2) + (1/2) - (1/3) + (1/3) - (1/4) + ... +  (1/n) - (1/(n+1))
Presque tout se simplifie ->

S(n) = (1/1) - (1/(n+1))
S(n) = 1 - (1/(n+1))
S(n) = n/(n+1)

lim(n-> oo) Sn = 1
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Sauf distraction. Vérifie.